山东省青岛市平度前楼中学高二数学理模拟试题含解析

山东省青岛市平度前楼中学高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的图象与函数的图象在开区间上的一种较准确的判断是ks5uA.至少有两个交点

B.至多有两个交点C.至多有一个交点

D.至少有一个交点参考答案：C

2.下列判断错误的是（）A．“am2＜bm2”是“a＜b”成立的充分不必要条件B．命题“?x∈R，x3﹣x2﹣1≤0”的否定是“?x0∈R，x03﹣x02﹣1＞0”C．“若a=1，则直线x+y=0和直线x﹣ay=0互相垂直”的逆否命题为真命题D．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题参考答案：D【考点】四种命题．【分析】利用特称命题的性质，充要条件的定义，全称命题的性质，及复合命题真假的判断方法，逐一分析四个答案，即可得到结论．【解答】解：“am2＜bm2”能推出“a＜b”，但是，由“a＜b”当m=0时，则推不出“am2＜bm2”故A正确；全称命题的否定为特称命题，则命题“?x∈R，x3﹣x2﹣1≤0”的否定是“?x0∈R，x03﹣x02﹣1＞0，故B正确；若a=1，则直线x+y=0和直线x﹣ay=0互相垂直，为真命题，则其逆否命题为也真命题，故C正确若p∧q为假命题，则p，q可能一个为真命题，一个为假命题，故D错误，故选D【点评】本题考查逻辑语言，充要条件的判断及复合命题真假性的判断．属于基础题．3.抛物线的焦点坐标是

（

）（A）（,0）

（B）(－,0)

（C）（0,）

（D）（0,－）参考答案：A4.设函数，满足，则与的大小关系A

B

C

D参考答案：D5.定义为n个正数的“均倒数”已知各项均为正数的数列的前n项的“均倒数”为，又，则

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：B6.用数学归纳法证明：（n∈N*）时第一步需要证明（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】用数学归纳法证明不等式．【分析】直接利用数学归纳法写出n=2时左边的表达式即可，不等式的左边需要从1加到，不要漏掉项．【解答】解：用数学归纳法证明，第一步应验证不等式为：；故选C．7.设（R,且），则大小关系为（

）（A）（B）（C）（D）参考答案：D8.设O是正三棱锥P—ABC底面是三角形ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与PA、PB的延长线分别交于Q、R，则和式

（

）

A．有最大值而无最小值

B．有最小值而无最大值

C．既有最大值又有最小值，两者不等

D．是一个与面QPS无关的常数参考答案：解析：设正三棱锥P—ABC中，各侧棱两两夹角为α，PC与面PAB所成角为β，则vS－PQR=S△PQR·h=PQ·PRsinα)·PS·sinβ。另一方面，记O到各面的距离为d，则vS－PQR=vO－PQR+vO－PRS+vO－PQS，S△PQR·d=△PRS·d+S△PRS·d+△PQS·d=PQ·PRsinα+PS·PRsinα+PQ·PS·sinα，故有：PQ·PR·PS·sinβ=d(PQ·PR+PR·PS+PQ·PS)，即=常数。故选D9.设,，则的大小关系是（

）A

B

C

D

参考答案：B略10.已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1参考答案：A【考点】双曲线的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先求出焦点坐标，利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，可得=2，结合c2=a2+b2，求出a，b，即可求出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线的一个焦点在直线l上，令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，∴=2，∵c2=a2+b2，∴a2=5，b2=20，∴双曲线的方程为﹣=1．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若曲线与直线恰有三个公共点，则的值为

。参考答案：无解12.若复数为实数，则实数________；参考答案：略13.抛物线y2=4x上一点A到点B（3，2）与焦点的距离之和最小，则点A的坐标为．参考答案：（1，2）【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线y2=4x可得焦点F（1，0），直线l的方程：x=﹣1．如图所示，过点A作AM⊥l，垂足为M．由定义可得|AM|=|AF|．因此当三点B，A，M共线时，|AB|+|AM|=|BM|取得最小值．yA，代入抛物线方程可得xA．【解答】解：由抛物线y2=4x可得焦点F（1，0），直线l的方程：x=﹣1．如图所示，过点A作AM⊥l，垂足为M．则|AM|=|AF|．因此当三点B，A，M共线时，|AB|+|AM|=|BM|取得最小值3﹣（﹣1）=4．此时yA=2，代入抛物线方程可得22=4xA，解得xA=1．∴点A（1，2）．故答案为：（1，2）．14.在等差数列{an}中，若a3=50,a5=30，则a7=

.参考答案：1015.设p：|4x－3|≤1；q：(x－a)(x－a－1)≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．参考答案：[0，]16.若复数z满足z＝|z|－3－4i，则＝________.参考答案：略17.已知关于面的对称点为，而关于轴的对称点为，则

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.．(本题满分10分)已知函数f(x)＝x2＋2x＋alnx.(1)若f(x)是区间(0,1)上的单调函数，求a的取值范围；(2)若?t≥1，f(2t－1)≥2f(t)－3，试求a的取值范围．参考答案：解(1)f′(x)＝2x＋2＋，∵f(x)在(0,1)上单调，∴x∈(0,1)，f′(x)≥0或x∈(0,1)，f′(x)≤0(这里“＝”只对个别x成立)．∴a≥－2(x2＋x)或a≤－2(x2＋x)．从而a≥0或a≤－4.(2)f(2t－1)≥2f(t)－3?2(t－1)2－2alnt＋aln(2t－1)≥0①令g(t)＝2(t－1)2－2alnt＋aln(2t－1)，则g′(t)＝4(t－1)－＋＝当a≤2时，∵t≥1，∴t－1≥0,2(2t－1)≥2，∴g′(t)≥0对t＞1恒成立，∴g(t)在[1，＋∞)上递增，∴g′(t)≥g(1)＝0，即①式对t≥1恒成立；若a＞2时，令g′(t)＜0，且t＞1，解得1＜t＜，于是，g(t)在上递减，在上递增，从而有g＜g(1)＝0，即①式不可能恒成立．综上所述，a≤2.19.（本小题满分12分）在三角形中，角、、的对边分别为、、，且三角形的面积为.（Ⅰ）求角的大小（Ⅱ）已知,求sinAsinC的值参考答案：(1)在三角形ABC中,由已知可得0﹤﹤(2)

由正弦定理可得

20.如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，分别是，的中点，点在直线上，且；（1）证明：无论取何值，总有；（2）当取何值时，直线与平面所成的角最大？并求该角取最大值时的正切值；（3）是否存在点，使得平面与平面所成的二面角为30o，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由．参考答案：证明：（1）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则A1（0，0，1），B1（1，0，1），M（0，1，），N（，0），，C

N

（1）∵，∴∴无论取何值，AM⊥PN………………4分（2）∵（0，0，1）是平面ABC的一个法向量。∴sinθ=|cos<|=∴当＝时，θ取得最大值，此时sinθ=,cosθ=,tanθ=2

………8分（3）假设存在，则，设是平面PMN的一个法向量。则得令x=3，得y=1+2,z=2-2∴∴|cos<>|=化简得4∵△＝100-4413＝-108<0∴方程（*）无解∴不存在点P使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30o21.（本小题满分13分）已知二次函数满足：，且关于的方程的两实根是和3.(Ⅰ)求的解析式；（Ⅱ）设，且在区间上是单调函数，求实数的取值范围.参考答案：（Ⅰ）设，则.设的两根为，则解得，（Ⅱ），依题意有，22.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，为椭圆在轴正半轴上的焦点，、两点在椭圆上，且，定点.

（1）求证：当时；

（2）若当时有，求椭圆的方程；

（3）在（II）的椭圆中，当、两点在椭圆上运