辽宁省沈阳市第九十二高级中学2021年高三数学文上学期期末试卷含解析

辽宁省沈阳市第九十二高级中学2021年高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知［－1,1］，则方程所有实数根的个数为A．2

B.3

C.4

D.5参考答案：D略2.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（

）A．向左移个单位

B．向左移个单位 C．向右移个单位

D．向右移个单位参考答案：B∵，所以要得到函数的图象，只需要将函数的图象向左平移个单位．故选B．3.已知平面直角坐标系上的区域D由不等式组给定.若M(x，y)为D上动点，点A的坐标为(，1)．则的最大值为（

）A．3

B．4

C．3

D．4参考答案：B4.一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)如图所示，则该几何体的侧面积为(

)cm2。

A．80

B．12

C．48

D．20参考答案：A略5.由曲线y=x2,y=x3围成的封闭图形面积为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A6.设，函数，若，则等于

(

)

参考答案：C7.=A.

B.

C.

D.参考答案：A略8.若全集为实数集，集合==(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：D,所以，即，选D.9.已知D=，给出下列四个命题：P1：?（x，y）∈D，x+y+1≥0；P2：?（x，y）∈D，2x﹣y+2≤0；P3：?（x，y）∈D，≤﹣4；P4：?（x，y）∈D，x2+y2≤2．其中真命题的是（）A．P1，P2 B．P2，P3 C．P2，P4 D．P3，P4参考答案：C【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】画出约束条件不是的可行域，利用目标函数的几何意义，求出范围，判断选项的正误即可．【解答】解：不等式组的可行域如图，p1：A（﹣2，0）点，﹣2+0+1=﹣1，故?（x，y）∈D，x+y≥0为假命题；

p2：A（﹣1，3）点，﹣2﹣3+2=﹣3，故?（x，y）∈D，2x﹣y+2≤0为真命题；p3：C（0，2）点，=﹣3，故?（x，y）∈D，≤﹣4为假命题；

p4：（﹣1，1）点，x2+y2=2故?（x，y）∈D，x2+y2≤2为真命题．可得选项p2，p4正确．故选：C．【点评】本题考查线性规划的解得应用，命题的真假的判断，正确画出可行域以及目标函数的几何意义是解题的关键．10.如图，直角梯形ABCD中，AD⊥AB,AB//DC,AB=4,AD=DC=2,设点N是DC边的中点，点是梯形内或边界上的一个动点，则的最大值是(

)

（A）4

（B）

6

（C）8

（D）10参考答案：B

经计算可知：再根据向量数量积的定义可知M在C点时数量积最大。命题意图：考查学生对向量数量积几何意义灵活应用能力二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.

.参考答案：12.现有三个小球全部随机放入三个盒子中，设随机变量为三个盒子中含球最多的盒子里的球数，则的数学期望为

．参考答案：略13.设,且满足,则的最大值为________参考答案：

14.（不等式）若、为正整数，且满足，则的最小值为_________；参考答案：36，当且仅当时等号成立。15.点F足椭圆的右焦点，直线是椭圆E的右准线，A是椭圆上异于顶点的任意一点，直线AF交于M，椭圆E在A点处的切线交于，则参考答案：0略16.用计算机产生随机二元数组成区域，对每个二元数组，用计算机计算的值，记“满足<1”为事件，则事件发生的概率为________.参考答案：，矩形的面积为，圆的面积为，所以由几何概型公式可得.17.已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别．参考答案：试题分析：∵总体的中位数为，∴a+b=21，故总体的平均数为10，要使该总体的方差最小，只需最小，又当且仅当a=b=10.5时，等号成立

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆两焦点分别为F1、F2、P是椭圆在第一象限弧上一点，并满足，过P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点

（1）求P点坐标；（2）求证直线AB的斜率为定值；（3）求△PAB面积的最大值。参考答案：解：（1）由题可得则

…………2分（2）由题意知，两直线PA、PB的斜率必存在，设PB的斜率为，…………6分则BP的直线方程为：（3）设AB的直线方程：P到AB的距离为，…………12分19.已知函数f（x）=lnx﹣ax+（a∈R）．（1）当a=﹣时，求函数f（x）的单调区间和极值．（2）若g（x）=f（x）+a（x﹣1）有两个零点x1，x2，且x1＜x2，求证：x1+x2＞1．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）当a=﹣时，求导，令f′（x）＞0求得函数的单调递增区间，f′（x）＜0即可求得函数的单调递减区间，即当x=时，f（x）取极值；（2）求出个零点x1，x2，得到x1+x2=+=．构造函数h（t）=t﹣﹣2lnt，（0＜t＜1），根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）当a=﹣时，f（x）=lnx+x+，（x＞0），求导，f′（x）=+﹣=，令f′（x）=0，解得：x=或x=﹣1（舍去），当f′（x）＞0，解得：x＞，当f′（x）＜0，解得：0＜x＜，∴函数的单调递增区间为（，+∞），单调递减区间为（0，），∴当x=时，函数取极小值，极小值为2﹣ln3；（2）证明：根据题意，g（x）=f（x）+a（x﹣1）=lnx+﹣a，（x＞0），因为x1，x2是函数g（x）的两个零点，∴lnx1+﹣a=0，lnx2+﹣a=0，两式相减，可得ln=﹣，即ln=，故x1x2=．那么x1=，x2=令t=，其中0＜t＜1，则x1+x2=+=．构造函数h（t）=t﹣﹣2lnt，（0＜t＜1），则h′（t）=，∵0＜t＜1，h′（t）＞0恒成立，故h（t）＜h（1），即t﹣﹣2lnt＜0，则＞1，故x1+x2＞1．20.（本小题满分12分）已知函数．（I）求函数的单调递减区间；（II）若在上恒成立，求实数的取值范围；（III）过点作函数图像的切线，求切线方程参考答案：（Ⅰ）得

函数的单调递减区间是；

（Ⅱ）即设则

当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；最小值实数的取值范围是；

（Ⅲ）设切点则即设，当时是单调递增函数

最多只有一个根，又由得切线方程是.

21.（12分）（2015?兰山区校级二模）设数列{an}为等差数列，且a5=14，a7=20，数列{bn}的前n项和为Sn，b1=且3Sn=Sn﹣1+2（n≥2，n∈N）．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）若cn=an?bn，n=1，2，3，…，求数列{cn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】：数列的求和．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（Ⅰ）由已知条件利用等差数列的性质，求出首项和公差，由此能求出an=3n﹣1．由3Sn=Sn﹣1+2（n≥2，n∈N），得3Sn=Sn﹣bn+2，即bn=2﹣2Sn，由此能求出bn=2?．（Ⅱ）由cn=an?bn=2（3n﹣1）?，利用错位相减法能求出数列{cn}的前n项和Tn．解：（Ⅰ）∵数列{an}为等差数列，且a5=14，a7=20，公差d=（a7﹣a5）=3，∴a1+4×3=14，解得a1=2，∴an=2+（n﹣1）×3=3n﹣1．…（1分）由3Sn=Sn﹣1+2（n≥2，n∈N），得3Sn=Sn﹣bn+2，即bn=2﹣2Sn，∴b2=2﹣（b1+b2），又b1=，∴b2=，==，…（2分）由3Sn=Sn﹣1+2，当n≥3时，得3Sn﹣1=Sn﹣2+2，两式相减得：3（Sn﹣Sn﹣1）=Sn﹣1﹣Sn﹣2，即3bn=bn﹣1，∴=（n≥3）…（4分）又=，∴{bn}是以b1=为首项，为公比的等比数列，于是bn=2?．…（5分）（Ⅱ）cn=an?bn=2（3n﹣1）?，∴Tn=2[2×+5×+8×+…+（3n﹣1）×]，…（6分）Tn=2[2×+5×+…+（3n﹣4）×+（3n﹣1）×]，…（8分）两式相减得Tn=2[3×+3×+3×+…+3×﹣﹣（3n﹣1）×]=2[1++++…+﹣﹣（3n﹣1）×]=2×﹣2×﹣（3n﹣1）×=﹣，∴Tn=﹣．…（12分）【点评】：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．22.已知椭圆C：的左右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上的一点，若，，的面积为1.（1）求椭圆C的方程；（2）过F2的直线l与C交于A，B两点，设O为坐标原点，若，求四边形AOBE面积的最大值.参考答案：（1）（2）【分析】（1）由椭圆的定义及勾股定理可求出a，又c，