复数专题复习(经典、全面)

复数专题复习(经典、全面)复数专题复习一、复数的概念及运算：1.复数的概念：复数由实部和虚部组成，虚部用虚数单位i表示。2.复数的分类：复数可以分为实数、虚数和纯虚数，其中实数和虚数都可以表示为实部和虚部的和，纯虚数只有虚部没有实部。3.相等的复数：两个复数的实部和虚部都相等时，这两个复数相等。2.复数的几何意义：复数可以表示为复平面上的点，实部表示点在x轴上的坐标，虚部表示点在y轴上的坐标。3.复数的加、减、乘、除法则：加减法具有交换律和结合律，乘法具有交换律、结合律和分配律。除法可以用公式a+bi/c+di=(ac+bd)/(c^2+d^2)+i(bc-ad)/(c^2+d^2)来计算。4.复数的共轭与模：复数的共轭是把复数的虚部取负，模是复数到原点的距离，可以用勾股定理计算。5.复数共轭运算性质：复数的共轭运算具有分配律和结合律，乘积的共轭等于各因子的共轭的乘积，幂的共轭等于底数的共轭的幂。6.复数模的运算性质：复数模的乘积等于复数的乘积的模，复数的倒数的模等于复数的模的倒数。二、典型问题分析：考点1：复数的基本运算1.(1+3i)/(3-i)等于(3+i)/(10)2.z=1+i考点2：复数的模长运算1.z=3+2i2.1<|a|<2，z的取值范围是(1/5,5/2)考点3：复数的实部与虚部1.复数(1-i)的虚部为-1考点4：复数与复平面内的点关系1.复数1+i对应的点位于第一象限。1.在复平面中，第一象限是指实部和虚部都为正的区域，第二象限是指实部为负，虚部为正的区域，第三象限是指实部和虚部都为负的区域，第四象限是指实部为正，虚部为负的区域。2.复数$z=\sin2+i\cos2$对应的点位于第二象限。3.复数$\frac{2-i}{1+i}$对应的点位于第四象限。4.若复数$z=x^2-2x-3+(x^2-5x+6)i$对应的点在虚轴上，则实数$x=-1$或$x=3$。5.复数$a+bi$的共轭复数为$a-bi$。6.1.集合$\{f(n)\}$的元素个数为无数个。2.解方程得$a=-\frac{1}{2},b=-\frac{3}{4}$。3.解方程得$a=1,b=-\frac{3}{2}$。4.解方程得$m=-1,n=0$，因此$m+ni=-1$。7.1.解方程得$x=1,y=-2$。2.将复数化简得$\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i$，因此$x=\frac{1}{2},y=\frac{3}{2}$。3.解方程得$a=1,b=0$。4.解方程得$m=1$，因此$m+ni=1+i$。8.使得不等式$m^2-(m^2-3m)i<(m^2-4m+3)i+10$成立的实数的值为$m>5$。9.1.当$m=2$时，$z$是实数；当$m=0$时，$z$是虚数；当$m=-1$时，$z$是纯虚数；当$m=-2$时，$z$是零。2.解方程得$m=1$或$m=-1$。3.解方程得$a=2$。10.1.解不等式得$z\leq-1+4i$，因此$z$的最大值是$2+3i$。2.不正确的是$-i=i^2$，应为$i^2=-1$。3.解方程得$\alpha=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$或$\alpha=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$。1.答案：A．1B．2C．3D．4结论①和③可以直接计算得出，分别为1和0。结论②中，分母为0，不成立。结论④中，左边可以化简为(α+β)(α²-αβ+β²)，右边可以化简为2(αβ)²，所以当α+β=0时，结论成立，即正确的结论个数为1。2.答案：D.-4+4i将f(z1-z2)代入，得f(z1-z2)=1-(z1-z2)=2+3i-5+i=-4+4i。3.答案：C.4将|z+2-2i|=1代入，得|z-2-2i|的解为圆心为(2,2)、半径为1的圆。此时，|z-2-2i|的最小值为3-1=2。4.答案：C.p≥q将p、q代入，得p=2a，q=a²+1。因为a²≥0，所以p≥q。5.答案：D.4+i将6+5i、-2+3i代入，得线段AB的中点为2+4i，即点C对应的复数为4+i。6.答案：1⑴(1-i)²=2i⑵(3+4i)(3-4i)=25⑶1/(1+i)=(1-i)/2⑷[(1+i)+(3-2i)]/[(1-i)(5-12i)]=-1/4-i/87.答案：直线y=x将|z+1|=|z-i|代入，得z在以(-1/2,1/2)为圆心、半径为√2/2的圆上。将z对应的点画出来，可以看出它们构成的图形是直线y=x。8.答案：-1-2i设BC对应的复数为z，则z+1-2i=(z+1+3i)/2，解得z=-1-2i。9.答案：D.4+i将6+5i、-2+3i代入，得线段AB的中点为2+4i，即点C对应的复数为4+i。10.答案：第一象限将z=a+i(a²-a+3)代入，得Im(z)=a²-a+3>0，即z对应的点位于第一象限。11.答案：当a=1时，最小值为-2+3i；当a=-1时，最大值为4-3i。将z+1+3i展开，得z+1+3i=(a+1)+(a²-a+3)i。设z+1+3i对应的点为P，则P到直线y=a²-a+3的距离最短时，z+1+3i取得最小值；P到直线y=a²-a+3的距离最长时，z+1+3i取得最大值。根据解析几何的知识，P到直线的距离为|a²-a+4|/√