式即可求得横截面上的最大拉应力和最大压应力课件

杆件的组合变形

答疑课程：工程力学《二》2017-04-15答疑课程：工程力学《二》组合变形的概念与实例双向弯曲拉（压）弯组合变形目录123弯扭组合变形4组合变形的概念与实例双向弯曲拉（压）弯组合变形目录123

一、组合变形的概念

构件在荷载作用下发生两种或两种以上的基本变形,

则构件的变形称为组合变形。二、解决组合变形问题的基本方法－叠加法叠加原理的成立要求：内力，应力，应变，变形等与外力之间成线性关系。1、组合变形的概念和实例一、组合变形的概念二、解决组合变形问题的基本方法－叠加法三、工程实例三、工程实例式即可求得横截面上的最大拉应力和最大压应力ppt课件

具有双对称截面的梁，它在任何一个纵向对称面内弯曲时均为平面弯曲。

故具有双对称截面的梁在两个纵向对称面内同时承受横向外力作用时，在线性弹性且小变形情况下，可以分别按平面弯曲计算每一弯曲情况下横截面上的应力和位移，然后叠加。2、双向弯曲具有双对称截面的梁，它在任何一个纵向对称面内弯曲时均1.外力分解：2.内力计算：3.应力计算：1.外力分解：2.内力计算：3.应力计算：利用叠加原理得x

截面上C

点处的正应力为上述分析计算中，式中各物理量均可取绝对值，而各项应力的正、负号可按拉为正，压为负直观地判断。

(a.1)利用叠加原理得x截面上C点处的正应力为上述分析计算中4．强度计算图示矩形截面梁的危险截面显然在固定端截面处，而危险点则在角点和处。危险点的最大应力与强度条件为4．强度计算图示矩形截面梁的危险截面显然在固定端截面处，而危（a.2）

对于有外凸角点的截面，例如矩形截面、工字形截面等，最大应力一定发生在角点处。而对于没有外凸角点的截面，需要先求截面上中性轴的位置。根据中性轴定义，中性轴上各点处的正应力均为零，令代表中性轴上任意点的坐标，由式（a.1）令，即得中性轴方程为（a.2）对于有外凸角点的截面，例如矩形截面、工字形截面等中性轴与y轴的夹角q为上式表示中性轴为通过截面形心的直线。

式中，为合弯矩与轴的夹角。

斜弯曲平面弯曲中性轴与y轴的夹角q为上式表示中性轴为通过截面形心的直线中性轴将横截面分为两部分，一部分受拉应力，一部分受压应力。作平行于中性轴的两直线，分别与横截面的周边相切，这两个切点D1，D2就是该截面上拉应力和压应力为最大的点。将危险点的坐标代入（a.1）式，即可求得横截面上的最大拉应力和最大压应力。危险点的应力状态为单向应力状态或近似当作单向应力状态，故其强度条件为（a.3）

中性轴将横截面分为两部分，一部分受拉应力，一部分受压应力。作例题1

图示矩形截面木梁荷载作用线如图所示。已知q=0.5kN/m，l=4m，

=30°，容许应力[

]=10MPa，试校核该梁的强度。q

80120zyABlq解：例题1图示矩形截面木梁荷载作用线如图所示。已知q8012ABlq

80120zyq此梁安全。ABlq80120zyq此梁安全。例题2

工字形截面简支梁，跨长为，作用在跨中的集中力，力的作用线与横截面铅直对称轴之间的夹角为，并通过截面的形心。已知钢的许用应力为，试为该梁选择工字钢型号。例题2工字形截面简支梁，跨长为，作用在跨中解：

解：对工字钢，大约在6～10之间，现设为8，则由上式得解出

查25a工字钢

验算：对工字钢，大约在6～10之间，现设为8，则由上式得解出故可选25a工字钢。

如果，即平面弯曲时，读者可以自己计算得出

,可见斜弯曲时最大应力远大于平面弯曲的最大应力，这是因为与相比小很多的缘故。故可选25a工字钢。如果，即平面弯曲时，读者可例题3

求图示悬壁梁的最大正应力，并指出作用点的位置。P1=1kNP2=1.6kN1m1myzzy9cm18cmAB解：最大拉应力在固端截面A点，最大压应力在固端截面B点，二者大小相等。固端截面：例题3求图示悬壁梁的最大正应力，并指出作用点的位置。P1=

在外力作用下同时发生拉伸(压缩)与弯曲两种基本变形，称为拉弯组合变形。在计算时不考虑剪力的作用。3、拉伸（压缩）与弯曲的组合变形在外力作用下同时发生拉伸(压缩)与弯曲外力分解一、横向力与轴向力共同作用外力分解一、横向力与轴向力共同作用2．内力计算在m-m

截面上3．应力计算C点的总应力为2．内力计算在m-m截面上3．应力计算C点的总应力为4．强度计算危险截面在固定端处,最大应力为拉应力，发生在梁的固定端截面处的下边缘，其值为其强度条件为

上边缘的应力叠加后，也可能出现压应力。对抗压强度与抗拉强度不同的材，还应对上边缘的压应力进行强度计算。4．强度计算危险截面在固定端处,最大应力为拉应力，发生在梁的

例题4

结构如图所示，已知最大吊重Fmax=8kN，AB为工字钢梁，材料为Q235，许用应[σ]=100MPa，试选用工字钢型号。例题4结构如图所示，已知最大吊重Fmax=1、先计算出CD的杆长2、取AB为研究对象，画受力简图为计算方便将FCD分解1、先计算出CD的杆长2、取AB为研究对象，画受力简图为计3、画出FN图和M图C截面左侧具有最大的轴力和弯矩为危险截面。+=C截面左侧下边缘两种压应力叠加，达到最大应力，为危险点。3、画出FN图和M图C截面左侧具有最大的轴力和弯矩为危险截面4、在还未选定工字钢型号之前，可先不考虑轴向内力FN的影响，根据弯曲强度条件来选择，然后根据组合应力进行校核。+=查表选用:I164、在还未选定工字钢型号之前，可先不考虑轴向内力FN的影响，5、校核危险点+=由于最大应力超出很小，超出部分在5%以内，仍可认为是安全的。因此可以选择I165、校核危险点+=由于最大应力超出很小，超出部分在5%以内，

例题5

混凝土拦水坝如图所示，横截面为矩形，宽度为，受水压和自重作用，混凝土的重力密度，水的重力密度，取一米长坝体分析，求坝体宽度的尺寸，使坝底不出现拉应力。解：取单位长坝体分析，水的分布压力为

坝底的轴力为

例题5混凝土拦水坝如图所示，横截面为矩形，宽度为坝底的弯矩为

最可能出现拉应力的是A点,令A点的应力为零，即

解出

坝底的弯矩为最可能出现拉应力的是A点,令A点的应力为零，即

当外力作用线与杆的轴线平行但不重合时，将引起轴向拉伸（压缩）和平面弯曲两种基本变形。二、偏心拉（压）

1.横截面上的内力

轴力FN=F弯矩当外力作用线与杆的轴线平行但不重合时，将引起由叠加原理，得C点处的正应力为式中A为横截面面积;Iy,Iz分别为横截面对y轴和z

轴的惯性矩;

(ey，ez

)为力F

作用点的坐标;(y,z)为所求应力点的坐标.

2.任意横截面C

点的应力由叠加原理，得C点处的正应力为式中A为横截面面积;Iy,利用惯性矩与惯性半径的关系3.中性轴与强度计算上式可改写为立柱的最大压应力发生在角点D1处(危险点),其强度条件为

利用惯性矩与惯性半径的关系3.中性轴与强度计算上式可改写为yzO对于没有棱角的截面，必须首先确定中性轴的位置，然后找到离中性轴最远的点，这就是危险点。

令

y0,z0代表中性轴上任一点的坐标，即得中性轴方程中性轴ayazD1D2

中性轴在y,z

两轴上的截距为yzO对于没有棱角的截面，必须首先确定中性轴的位置，然后找到例题6

螺旋夹紧装置如图所示，已知，，，，试确定夹具竖杆截面尺寸。解：这是一个单向偏心拉伸问题。容易得出，竖杆横截面上的内力竖杆内侧将出现最大拉应力。其强度条件为

FFFeFe例题6螺旋夹紧装置如图所示，已知，解：解出

解出

例题7正方形截面立柱的中间处开一个槽，使截面面积为原来截面面积的一半。求开槽后立柱的的最大压应力是原来不开槽的几倍。FFaaaa例题7正方形截面立柱的中间处开一个槽，使截面F未开槽前立柱为轴向压缩解：11FFa/2Faa开槽后1-1是危险截面危险截面为偏心压缩将力F

向1-1形心简化未开槽前立柱的最大压应力开槽后立柱的最大压应力未开槽前立柱为轴向压缩解：11FFa/2Faa开槽后1-1是同时发生弯曲和扭转两种基本变形，称为弯扭组合变形。4、弯曲与扭转的组合变形同时发生弯曲和扭转两种基本变形，称为弯扭组合变形。4、弯曲与1.内力分析

设一直径为

d

的等直圆杆AB,B端具有与AB成直角的刚臂。研究AB杆的内力。将力F

向AB

杆右端截面的形心B简化得横向力F

（引起平面弯曲）力偶矩m=Fa

（引起扭转）AB

杆为弯、扭组合变形1.内力分析设一直径为d的等直圆杆AB,画出AB段的内力图，可见固定端A截面为危险截面。FaTFlM危险点的应力状态（D1点)

2.应力分析

画出AB段的内力图，可见固定端A截面为危险截面。FaTFlM用第三或第四强度理论，其强度条件分别为将主应力代入上二式，得到用第三或第四强度理论表达的强度条件为用第三或第四强度理论，其强度条件分别为将主应力代入上二式，得第三强度理论第四强度理论将

和

的表达式代入上式，并考虑到圆截面WP＝2W，便得到

第三强度理论第四强度理论将和的表达式代入上式，并考虑例题8手摇绞车如图11.24所示。轴的直径，其许用应力，试按第三强度理论确定绞车的最大起吊重量F。解：轴的受力如图所示，图中，例题8手摇绞车如图11.24所示。轴的直径由第三强度理论得解出

由第三强度理论得解出

例题9

图示一钢制实心圆轴，轴上的齿轮C

上作用有铅垂切向力5kN，径向力1.82kN；齿轮D上作用有水平切向力10kN，径向力3.64

kN

。齿轮

C

的节圆直径d1=400mm,齿轮

D

的节圆直径d2=200mm。设许用应力

=100MPa

,试按第四强度理论求轴的直径。BACDyz5kN10kN300mm300mm100mmx1.82kN3.64kN例题9图示一钢制实心圆轴，轴上的齿轮解：(1)外力的简化将每个齿轮上的外力向该轴的截面形心简化BACDyz5kN10kN300300100x1.82kN3.64kN1kN·m使轴产生扭转

5kN

，3.64kN

使轴在xz

纵对称面内产生弯曲

1.82kN，10kN使轴在xy纵对称面内产生弯曲

(2)轴的变形分析xyzACBD5kN1kN·m1.82kN3.64kN10kN1kN.m300300100解：(1)外力的简化将每个齿轮上的外力BACDyz5kN1T=1kN·m圆杆发生的是斜弯曲与扭转的组合变形(3)绘制轴的内力图My图0.57CB0.36Mz图0.2271CB1CT图-xyzA