2022-2023学年湖南省郴州市高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年湖南省郴州市高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知复数z满足z(1−i)=3+i(A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.某校为了解学生的学习情况，采用分层抽样的方法从高一780人、高二600人、高三n人中，抽取35人进行问卷调查，已知高一被抽取的人数为13人，则n等于(

)A.660 B.720 C.780 D.8003.若一个圆锥的轴截面是一个底边长是2，腰长为π的等腰三角形，则它的侧面展开图的圆心角是(

)A.2π B.π2 C.2 4.已知α、β是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，则下列四个说法中正确的是(

)A.若m//n，n//α，则m//α

B.若m//n，m⊂α，n⊂β，则α5.“网红”打卡地高椅岭，位于郴州苏仙区飞天山高椅岭村，丹霞奇景集聚凸显，被称之为“被上帝遗忘的地方”.如图是高椅岭最高峰美丽坦，下面是登云天梯.现测量美丽坦的高度时，选取了与美丽坦底部B在同一平面内的两个测量基点C与D，测得∠BCD=60°，∠CDB=80°，CDA.72m B.75m C.90m6.已知|a|=3，b=(1,1)，且aA.23a B.13b C.7.数学来源于生活，约3000年以前，我国人民就创造出了属于自己的计数方法.十进制的算筹计数法就是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.下图是利用算筹表示数1～9的一种方法.例如：3可表示为“≡”，26可表示为“=⊥”，现有5根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则用1～9这9个数字表示的所有两位数中，个位数与十位数之和为A.13 B.512 C.128.如图，在△ABC中，CM=2MB，过点M的直线交射线AB于点P，交AC于点

A.3 B.83 C.1+2二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知复数z满足iz+2+A.z的虚部是2i B.z2=5−12i

10.下列说法正确的是(

)A.从容量为N的总体中抽取一个容量为n的样本，当选取抽签法抽样、随机数法抽样和分层随机抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则p1=p2=p3

B.若P(AB)=19,P(A−11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则A.若|AB+AC|=|AB−AC|，则△ABC为直角三角形

B.若a12.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点A.在平面AA1B1B内存在直线与平面AMN平行

B.在BC1上存在点Q，使得A1Q与平面BB1C1C所成的角为60°

C.若点E是D

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.数据24，11，12，13，15，14，17，18，20，10的第60百分位数是______．14.在平行四边形ABCD中，E为BC的靠近B的三等分点，若AB=2，AD=15.某校有高一学生1000人，其中男生600人，女生400人，为了获取学生身高信息，采用男、女按比例分配分层抽样的方法抽取样本50人，并观测样本的指标值(单位：cm)，计算得男生样本的均值为170，方差为20，女生样本的均值为160，方差为30，据此估计该校高一年级学生身高的总体方差为______．16.已知四棱锥P−ABCD的各个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD//BC，AB=AD=CD=4四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

已知向量a=(1,0),b=(m,1)，且|a−2b|=2．

(Ⅰ18.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，E为PB的中点，F为PD的中点．

(1)19.(本小题12.0分)

在锐角△ABC中，内角所A，B，C对的边分别为a，b，c，若满足cosC=2a−c2b．

20.(本小题12.0分)

为迎接第二届湖南旅发大会，郴州某校举办“走遍五大洲，最美有郴州”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图：

(1)根据直方图，估计这次知识能力测评的平均数；

(2)用分层随机抽样的方法从[60,70)，[90,100]21.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=a⋅b−32,a=(sinx,cosx),b=(3sinx,sinx),x∈R．

(122.(本小题12.0分)

如图，正方形ABCD中，边长为4，E为AB中点，F是边BC上的动点.将△ADE沿DE翻折到△SDE，△BEF沿EF翻折到△SEF．

(1)求证：平面

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：复数z满足z(1−i)=3+i(其中i为虚数单位)，

由条件得z=3+i1−i=(32.【答案】B

【解析】解：根据题意可得：13780=35780+600+n，解得n=7203.【答案】C

【解析】解：由题意，圆锥的底面半径为r=1，母线长为l=π，

设侧面展开图的圆心角为α，则αl=2πr，可得α=4.【答案】D

【解析】解：若m//n，n//α，有可能m⊂α，故A错误；

若m//n，m⊂α，n⊂β，有可能α，β相交，故B错误；

若m⊥α，α⊥5.【答案】A

【解析】解：在△BCD中，由条件∠CBD=40°，

由正弦定理：CDsin∠CBD=BCsin∠CDB，

∴BC=6.【答案】C

【解析】解：根据题意，b=(1,1)，则|b|=2，

b在a方向上的投影向量为|b7.【答案】A

【解析】解：1根算筹只能表示1，2根算筹可表示2和6，3根算筹可表示3和7，4根算筹可表示4和8，5根算筹可表示5和9，

因此5根算筹表示的两位数有14，18，41，81，23，27，32，72，63，67，36，76，共12个，

其中个位数与十位数之和为5的有14，41，23，32，共4个，

所以所求概率为P=412=13．

故选：A．

根据题意把58.【答案】B

【解析】解：在△ABC中，CM=2MB，

z则AM−AC=2(AB−AM)，解得AM=23AB+13AC，

由题意可知，AB=1mAP,AC=1nAQ，

因此A9.【答案】BD【解析】解：由复数z满足iz+2+3i=0，可得(iz+2+3i)⋅(−i)=0，所以z=−3+2i，

对于A中，复数z=−3+2i的虚部为2，所以A不正确；

对于B10.【答案】AB【解析】解：对于A，三种抽样方法，总体中每个个体被抽中的概率均为nN，A正确；

对于B，由P(A−)=23，得P(A)=13，因此P(AB)=13×13=P(A)P(B)，事件A与事件B相互独立，B正确；

对于C，“至多一次击中”的事件与“两次均未击中”的事件可以同时发生，它们不互斥，不是对立事件，C错误；

对于D，11.【答案】AC【解析】解：对于A：因为|AB+AC|=|AB−AC|，即|AB+AC|2=|AB−AC|2，

则AB2+2AB⋅AC+2AC2=AB2−2AB⋅AC+2AC2，整理得AB⋅AC=0，

所以AB⊥AC，即△ABC为直角三角形，故A正确；

对于B：若12.【答案】AC【解析】解：对于A，取AA1的点F，连接B1F，

∵AF//B1M，AF=B1M，∴AFB1M为平行四边形，

∵B1F//AM，B1F⊄平面AMN，AM⊂平面AMN，∴B1F//平面AMN，故A正确；

对于B，设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点Q在BC1上，22≤B1Q≤1，

∵A1B1⊥平面BB1C1C，∠A1QB1为A1Q与平面BB1C1C所成的角，

∵tan∠A1QB1=A1B1B1Q=1B1Q，∴1≤tan∠A1QB1≤2<3，

∴45°≤∠A1QB1<60°，故B错误；

对于C，连接EF，

则EF//AD//B1C1，EF=AD=B1C1，

则EFB1C1为平行四边形，C1E//B1F，又B1F//AM，

则C1E//AM，C1E⊄平面AM13.【答案】16

【解析】解：这10个数从小到大排列为10，11，12，13，14，15，17，18，20，24，

因为10×60%=6，

所以第60百分位数是第6个数和第7个数的平均数，即15+172=16．

14.【答案】−22【解析】解：建立以B为原点的平面直角坐标系，如图所示：

则B(0,0),C(6,0),E(2,015.【答案】48

【解析】解：根据题意，某校有高一学生1000人，其中男生600人，女生400人，

可得总体的均值为x−=6001000×170+4001000×160=166，16.【答案】72π

3【解析】解：(1)在等腰梯形ABCD中，连接AC，

∵AD//BC，AB=AD=CD=4，∠ABC=π3，

则∠BAD=∠ADC=2π3，∠CAD=π6，

∴∠BAC=π2，

取BC中点O1，连接O1A，O1D，

则O1A=O1B=O1C，

所以△AO1B，△CO1D均为正三角形，

即O1A=O1B=O1C=O1D，

即O1是梯形ABCD外接圆圆心，

而O为四棱锥P−ABCD的外接球球心，

因此O1O⊥平面ABCD，

又PA⊥平面ABCD17.【答案】解：(Ⅰ)∵a=(1,0),b=(m,1)，

∴a−2b=(1,0)−(2m,2)=(1−2m【解析】(Ⅰ)由平面向量模的坐标运算即可求m，再由平面向量夹角的公式计算即可；

(Ⅱ)由平面向量垂直的性质计算即可．

本题考查平面向量的坐标运算，夹角，模，数量积等知识，属于中档题．

18.【答案】(1)证明：连接BD，在△PBD中，E为PB的中点，F为PD的中点，

则EF//BD，

又BD⊂底面ABCD，EF⊄底面ABCD，

所以EF//底面ABCD；

(2)解：取AB的中点M，连接PM，

因为PA=PB=2，

所以PM⊥AB，

又平面PAB⊥底面ABCD，平面PAB∩底面ABCD=AB，PM⊂平面PAB，

所以PM⊥底面ABCD【解析】(1)连接BD，可得EF//BD，利用线面平行的判定定理可证得结论；

(2)取AB的中点M，由面面垂直的性质可得PM⊥底面AB19.【答案】解：(1)由余弦定理得cosC=2a−c2b=a2+b2−c22ab，

整理得a2+c2−ac=b2，

又cosB=a2+c2−b22ac=12，

∵B∈(0,π)，

∴【解析】(1)利用余弦定理边角互化，即可得出答案；

(2)利用正弦定理，将a20.【答案】(1)解：由频率分布直方图，根据平均数的计算公式，估计这次知识能力测评的平均数：

x−=(65×0.01+75×0.015+85×0.045+95×0.03)×10=84.5分．

(2)解：由频率分布直方图，可得[60,70)的频率为0.1，[90,100]的频率为0.3，

所以用分层随机抽样的方法从[60,70)，[90,100]两个区间共抽取出4名学生，

可得从[60,70)抽取1人，即为a，从[90,100]中抽取3人，即为1，2，3，

从这4名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，有(a,1)，(a,2)，(a,3)，(1,2)，(1,3)，(2,3)，(1,【解析】(1)根据频率分布直方图的平均数的计算公式，即可求解；

(2)根据分层抽样的分法，得到从[60,70)抽取1人，即为a，从[90,100]中抽取3人，即为1，2，3，利用列举法求得基本事件的总数和所有事件中包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；

(3)21.【答案】解：(1)由题意得，f(x)=a⋅b−32=3sin2x+sinxcosx−32

=32(1−cos2x)+12sin2x−32=sin(2x−π3)，

当x∈[π3,π2]时，π3≤2x−π3≤2π【解析】(1)利用三角恒等变换化简f(x)，根据三角函数的性质求出b，c，进而由f(A)=32求得A