数学人教A版高中必修一（2019新编）5-5-2简单的三角恒等变换（分层作业）

5.5.2简单的三角恒等变换（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2022·安徽省宿州市苐三中学高一期中）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用倍角公式，即得.【详解】因为，所以.故选：D.2．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高一期末）已知函数，则的（

）A．最小正周期为，最小值为 B．最小正周期为，最小值为C．最小正周期为，最小值为 D．最小正周期为，最小值为【答案】B【分析】先化简函数，再结合周期公式求解周期，根据解析式求解最值.【详解】因为，所以最小正周期为,最小值为.故选：B.3．（2022·四川省成都市新都一中高一期末（文））若，则（

）A． B． C．4 D．－4【答案】A【分析】直接由正切倍角公式求解即可.【详解】.故选：A.4．（2022·四川成都·高一期末（文））已知，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】对平方后，结合同角三角函数平方关系及正弦的二倍角公式进行求解.【详解】平方得：，即，解得：故选：A5．（2022·上海市奉贤中学高一阶段练习）对任意的锐角，下列不等关系中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据锐角三角函数值的范围结合两角和差公式判断A、B；令，结合倍角公式检验判断C；根据三角函数的单调性判断D.【详解】若为锐角，则，A错误；，B错误；令，则，即∵，则∴且，则，C错误；令∵，则在上单调递减，则∴又∵，则，D正确；故选：D.6．（2022·江苏南通·高一期末）函数图象的一条对称轴方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由和差公式化简函数，由整体法令，即可求解.【详解】，令，即，故函数图象的一条对称轴方程为．故选：C7．（2022·贵州·黔西南州金成实验学校高一期末）若，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意求得和的值，结合两角差的余弦公式，即可求解.【详解】由题意，可得，，因为，，可得，，则.故选：C.二、多选题8．（2022·福建省福州高级中学高一期末）在内，使成立的x取值范围不是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】由，得，然后根据正弦函数的性质可求出的范围，从而可求出在内的范围，进而可得答案.【详解】由，得，所以，即，所以，即因为，所以，所以在内，能使成立的x取值范围为，故选：ABD三、填空题9．（2022·西藏·林芝市第二高级中学高一期末）____．【答案】【分析】利用两角差的正弦公式即可得到化简结果【详解】又故答案为：或10．（2022·广东·深圳市华美外国语（国际）学校高一期中）若，则__.【答案】【分析】根据二倍角的正弦公式先化简，再利用同角三角函数间的基本关系求解即可.【详解】解：若，则，故答案为：.【点评】本题考查二倍角的正弦公式，同角三角函数间的基本关系，属于基础题.11．（2022·湖北·丹江口市第一中学高一期中）设凼数（a为实数）在区间上最小值为-4，则a的值等于____________.【答案】【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简，然后利用换元法和函数单调性得到最小值，即可求出.【详解】，令，则，，所以当时，取得最小值，，所以.故答案为：-4.12．（2022·全国·高一单元测试）已知都是锐角，，则___________.【答案】##【分析】要求，先求，结合已知可有，利用两角差的余弦公式展开可求.【详解】、为锐角，，，由于为锐角，故答案为：13．（2022·全国·高一课时练习）已知，，，，则的值为_______．【答案】【分析】根据余弦倍角公式，同角三角函数关系及角的范围求出，，，再利用凑角法，正弦的差角公式求出答案.【详解】，即又因为，所以，所以，因为，，所以，又，所以，而，所以故答案为：14．（2022·全国·高一课时练习）已知为锐角，且，则___________.【答案】【分析】根据同角关系可由余弦求出正弦，然后由二倍角公式以及两角和的正弦即可求解.【详解】因为为锐角，且，所以，所以.所以.故答案为：四、解答题15．（2022·黑龙江·鸡西市第四中学高一期末）化简(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】三角换元之后，逆用和差角公式即可化简【详解】（1）（2）16．（2022·浙江·杭州高级中学高一期末）设函数(1)求的最小正周期及其图像的对称中心；(2)若且，求的值.【答案】(1)，对称中心为(2)【分析】（1）利用三角恒等变换公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）依题意可得，再由的取值范围，求出的范围，即可求出，最后根据及两角和的余弦公式计算可得.【详解】（1）解：因为，即，所以的最小正周期为．令，解得，，所以函数的对称中心为．（2）解：因为，即，所以，因为，所以，所以，所以17．（2022·江西九江·高一期末）已知．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据同角三角函数关系求出，再使用正弦的和角公式进行化简求值；（2）先使用二倍角公式求出的值，再使用余弦的差角公式进行求值.【详解】（1）因为，所以，所以.（2）由二倍角公式得：，，所以．18．（2022·安徽·涡阳县第九中学高一期末）已知函数．(1)求函数的最大值；(2)把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数的单调递减区间【答案】(1)4；(2)，.【分析】（1）根据降幂公式，结合余弦函数的最值性质进行求解即可；（2）根据余弦型函数图象的变换性质，结合余弦型函数的单调性进行求解即可.【详解】（1）∴当时取得最大值4；（2）因为把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，所以，令，可得函数的单调递减区间为，．19．（2022·陕西·延安市第一中学高一期中）在①函数；②函数；这两个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题．已知______（只需填序号），函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为.(1)求函数的解析式；(2)求函数的单调递减区间及其在上的最值．【答案】(1)；(2)，最小值为，最大值为2.【分析】（1）选条件①：根据降幂公式、辅助角公式，结合正弦型函数的周期公式进行求解即可；选条件②：根据两角和的正弦公式、辅助角公式，结合正弦型函数的周期公式进行求解即可；（2）根据正弦型函数的单调性，结合整体思想进行求解即可.【详解】（1）选条件①：，又由函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，，可知函数最小正周期，∴，∴．选条件②：，又函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，，所以可得最小正周期，∴，∴；（2）由（1）知，由，解得，∴函数单调递减区间为．由，从而,故在区间上的最小值为，最大值为2．.20．（2022·福建福州·高一期末）已知函数.(1)求其最小正周期；(2)当时，求函数的值域.【答案】(1)最小正周期为(2)【分析】（1）先用三角恒等变换化简得到，利用求出最小正周期；（2）在第一问的基础上，使用整体法求解三角函数的值域.（1）依题意，，则所以，函数的最小正周期为.（2）由（1）知，因，则，，，所以函数的值域为.21．（2022·江苏苏州·高一期末）已知函数.(1)若函数的图象过点，且，求的值；(2)若，且，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角恒等变换整理化简，根据题意代入整理得，结合角的范围求解；（2）根据题意代入整理，以为整体运算求解，注意根据角的范围判断三角函数值的符号．【详解】（1）因为.所以.因为函数的图象过点，所以.因为，所以，所以，解得.（2）因为，所以.因为，所以.所以，又，所以.因为，所以，所以.22．（2022·北京师大附中高一期末）已知函数.(1)求函数的单调递增区间；(2)求在区间［0，］上的最值.【答案】(1)（kZ）(2)最大值为1，最小值为-.【分析】（1）由三角函数降幂公式与二倍角公式，根据辅助角公式，化简函数为单角三角函数，根据正弦函数的单调性，可得答案；（2）利用整体思想，根据正弦函数的图象性质，可得答案.【详解】（1）=.因为y＝sinx的单调递增区间为（kZ），令（kZ），得（kZ）.所以的单调递增区间为（kZ）.（2）因为x∈［0，］，所以2x＋.当2x＋=，即x＝时，最大值为1，当2x＋=，即x＝时，最小值为-.【能力提升】一、单选题1．（2022·西藏拉萨·高一期末）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知求出，再利用余弦函数的二倍角公式求解即可.【详解】，则，故选：D.2．（2022·浙江·杭十四中高一期末）已知正实数，满足，则的最大值是（

）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】由题意，利用换元思想，利用三角函数的性质，可得答案.【详解】令，，，则，当且仅当时，取的最大值，且最大值是.故选：D.3．（2022·江苏南通·高一期末）若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】结合二倍角公式、诱导公式，由即可转化求值【详解】．故选：A4．（2022·陕西师大附中高一期中）已知函数，若，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据三角函数的二倍角公式化简，然后利用正弦函数的性质化简并比较a,b的表达式，可得答案.【详解】由题意得，故，，故，故选：C5．（2022·湖北黄石·高一期末）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将化为，利用诱导公式以及二倍角的余弦公式，化简求值，可得答案.【详解】因为，所以,故选：A.二、多选题6．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变，再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象．若，则的值可能为（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】先化简，再经过图象变化得到，得到周期和最大值，再结合即可得到答案【详解】解：，先将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变，所得图象对应的函数解析式为，再将所得图象向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式为，故其最小正周期，，要使，则，结合选项知，当n＝1时，，当n＝2时，，故选：AD．7．（2022·湖北黄石·高一期末）已知函数，则下列说法中正确的是（

）A．的最大值为2 B．的最小正周期为C．的图像关于直线对称 D．的图像关于点对称【答案】ABC【分析】将解析式经过恒等变换后化为，再对其性质逐一判断即可.【详解】因为，所以的最大值为2，故A正确.最小正周期是，故B正确.将代入，可得，则其图像关于直线对称，故C正确.当时，，所以的图像关于点对称．故D错误.故选:ABC.8．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则（

）A．图象的对称中心为B．图象的对称轴方程为C．的增区间为D．的最大值是，最小值是【答案】ACD【分析】利用辅助角公式可化简得到；利用整体代换法可求得的对称中心、对称轴和单调增区间，对比选项可知ABC正误；根据正弦型函数值域可求得值域，可知D正确.【详解】；对于A，令，解得：，此时，的对称中心为，A正确；对于B，令，解得：，的对称轴为，B错误；对于C，令，解得：，的增区间为，C正确；对于D，，，最大值是，最小值是，D正确.故选：ACD.三、填空题9．（2022·西藏拉萨·高一期末）已知函数，则下列结论中正确的是___________．①函数的最小正周期为

②时，取得最大值③在上单调递增

④的对称中心坐标是【答案】①③【分析】利用二倍角和辅助角公式化简可得，根据正弦型函数最小正周期、最值点、单调性和对称中心的求法依次判断各个选项即可.【详解】；对于①，的最小正周期，①正确；对于②，当时，，此时不取最大值，②错误；对于③，当时，，此时单调递增，③正确；对于④，令，解得：，此时，的对称中心为，④错误.故答案为：①③.10．（2022·山东临沂·高一期末）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为.若，则______.【答案】【分析】根据，，求得，代入即可求解.【详解】解：因为，，所以，，所以，故答案为：.11．（2022·全国·高一专题练习）已知对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围．【答案】【分析】利用换元令，整理得，分类讨论和数形结合分析处理.【详解】设，所以．所以对任意，不等式恒成立，所以对任意，不等式恒成立，当时，不等式不是恒成立；当时，在是增函数，在是减函数，在是减函数，在是增函数，所以函数在是增函数，在是减函数，所以当时，，与矛盾，所以舍去；当时，对任意，不等式恒成立，如图所示：所以．综合得．故答案为：.12．（2022·全国·高一课时练习）若，，则___________.【答案】-1【分析】利用诱导公式结合二倍角公式化简可得到或，然后结合角的范围分两种情况求解,即可求得答案.【详解】因为，所以，所以，所以，即或,当时，因为，所以，所以，所以，所以，所以.当时，即，所以，所以，则.因为，所以，所以，故不符合题意，应舍去，综合以上，故答案为：-113．（2022·山东东营·高一期末）已知圆心角为的扇形的半径为，是弧上一点，作矩形，如图所示这个矩形的面积最大值为__________．【答案】【分析】本题考查解三角在平面几何的应用，由三角形的知识易得，由三角函数公式化简以及三角函数的最值可得答案．【详解】解：设，扇形的半径为，圆心角为，所以，，所以矩形面积，，；当即即为弧的中点时，取最大值.故答案为：.四、解答题14．（2022·贵州六盘水·高一期末）已知函数的部分图象如图所示.(1)求函数的解析式；(2)将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数的图象.当时，求函数的最值.【答案】(1)(2)最大值为，最小值为【分析】（1）根据图象依次求得的值.（2）根据图象变换的知识求得，化简的解析式，根据三角函数最值的求法求得正确答案.【详解】（1）由图可知，，，，，所以，所以.（2）函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到，再向右平移个单位长度，得到，，，，所以，所以在区间上的最大值为，最小值为.15．（2022·辽宁·东北育才学校高一期中）已知函数，(1)化简；(2)若，，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）结合三角恒等变换的知识化简的解析式.（2）利用平方的方法求得正确答案.【详解】（1），，，，所以，.（2），，两边平方得，.16．（2022·浙江·高一期中）已知函数(1)求的最小正周期和单调增区间；(2)当时，，求.【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间为(2)【分析】（1）先化简，再由周期公式可得周期，由可解得递增区间；（2）由可得，进而得，则，即可求解【详解】（1）因为，所以的最小正周期为，由，得；所以单调递增区间为.（2）因为，所以，即，又，则，又，则，那么，从而.17．（2022·天津南开·高一期末）已知函数(1)求的最小正周期和对称中心;(2)求的单调递减区间；(3)当时，求函数f(x)的最大值及取得最大值时x的值【答案】(1)，；(2)；(3)当时，最大值为．【分析】（1）利用二倍角降幂公式、辅助角公式可得出，利用周期公式可计算出函数的最小正周期，解方程可得出函数的对称中心坐标；（2）解不等式，可得出函数的单调递减区间；（3）由，计算出的取值范围，利用正弦函数的性质可得出该函数的最大值以及对应的的值.【详解】（1），所以，函数的最小正周期为.由，可得，函数的对称中心为；（2）解不等式，解得.因此，函数的单调递减区间为；（3）当时，，当时，即当时，函数取得最大值，最大值为．18．（2022·天津南开·高一期末）已知.(1)求的值(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（2）由平方关系求得，再根据二倍角得余弦公式即可得解；（2）由（1）求得，再根据两角差得正切公式即可得解.（1）解：因为，所以，所以，又因为，所以；（2）解：由（1）得，所以，所以.19．（2022·浙江·杭州四中高一期末）已知函数.设，.(1)求的最小正周期；(2)求的值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式对进行化简，即可得到答案；（2）利用得到，结合的范围求出，由即可求得答案（1），所以的最小正周期为；（2）因为，所以，因为，所以，因为，所以，所以20．（2022·江苏南通·高一期末）已知，(1)求和的值(2)若，，求的大小．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）结合二倍角公式，商数关系