经典逻辑的基本定律

经典逻辑的基本定律

达科斯塔的巴西逻辑家是第二个协调逻辑的创始人（n.c.dacosta）。次协调逻辑是一种激进的非经典逻辑,它以限制(不)矛盾律为主要特征。它于1980年代末开始引进到我国学术界,笔者之一也是主要引进者(可参看其当时的系列论文和专著)。一、次协调逻辑系统的理论基础矛盾律是经典逻辑最基本的规则之一。在经典逻辑中由相互矛盾的命题可以演绎出任意命题(即承认司各特规则),所以说,如果一个逻辑系统的逻辑后承集包含一对矛盾,它就会包含所有的命题。这叫做系统的平庸化。从经典逻辑眼光看,一切不一致(即包含矛盾命题)的逻辑系统,都是平庸的。但次协调逻辑学家却把“矛盾”和“平庸”这两者区别开来,认为应当允许有“不平庸的矛盾”(nontrivialcontradiction)存在。理由是:从逻辑哲学观点看,逻辑来源于科学与社会生活,逻辑的形式系统是以日常推理和科学推理为背景或现实原型的。值得注意的是,矛盾的命题和现象在理论研究和现实经验中却是很常见的。这里仅举一个科学理论中的例子。第一个“矛盾演算”的构造者雅斯科夫斯基(卢卡西维茨的学生)就注意到,玻尔在1913年发表了划时代的论文《论原子构造和分子构造》(Ⅰ.Ⅱ.Ⅲ),其中所提出的原子模型就包含矛盾,次协调逻辑系统是能够容纳“不平庸矛盾”的,因为它虽含有形如A∧﹁A那样的“矛盾”(即有不一致性),却又不会使任何公式都变成定理(即又有不平庸性)。巴西逻辑学家达科斯塔的系统就是其中最有影响力的次协调逻辑系统。在他的C1-系统(等级系列的第一级)中,最有特征性的是公理12.A°→((B→A)→((B→﹁A)→﹁B))。这是一个蕴涵式,其前件A°是命题满足矛盾律﹁(A∧﹁A)的缩写。A右上角画圈,叫做“稳固性算子”,意即让A受矛盾律的约束。其后件则是经典逻辑的归谬律(B→A)→((B→﹁A)→﹁B)。这就意味着,只有在虚设矛盾律成立的前提下,归谬律才能成立。作为定理或推论就有:在更一般情况下,矛盾律并非普遍有效;归谬律并非普遍有效;司各特规则也并非普遍有效。这样,在次协调逻辑中,矛盾律的适用性是受限制的。唯有满足矛盾律的命题和它的否定才能蕴涵任意命题,但这只是在有限制的范围内才能够成立。另一个公理13.A°∧B°→(A∧B)°∧(A∨B)°∧(A→B)°,它表明,满足矛盾律的命题和逻辑联词构成的更复杂的命题也是满足矛盾律的。此外系统中与否定有关的公理还有排中律A∨﹁A和单方向的双重否定律﹁﹁A→A。这些公理和与否定无关的经典逻辑公理一起构成了次协调逻辑C经典逻辑禁止一切逻辑矛盾,次协调逻辑则放宽了逻辑矛盾律的禁令,即在形式系统内允许有“不平庸的矛盾”。近年来,现代物理学关于“全同粒子”不可辨别的特异性质,给次协调逻辑学家达科斯塔及其合作者带来了新的灵感和启示。使之进一步认识到,若放松经典的同一性原则,人们将可以得到称为“禁自返逻辑”的另一种非经典逻辑。所谓同一性原则,指的是一个命题等价于自身,或者任一个体变项都与自身等同。“禁自返逻辑”就是部分地或完全地限制同一性原则而得到的新逻辑系统,其核心理念来源于薛定谔,他认为经典的同一性对量子力学中描述的全同粒子是没有意义的。本文将在第五节详细介绍达科斯塔等人在这种观点的启发下发展的“禁自返逻辑”,并利用它对量子同一性作出的逻辑解释。二、量子态的真实与量的概念在经典物理学中,人们相信一个物理系统的状态是与观测无关的“客观存在”。海森堡在《严密自然科学基础近年来的变化》中指出,经典物理学的基本假定之一就在于“认为对于空间和时间中发生的事件,有一个不依赖于任何观察的进程”。而在量子物理学中,情况发生了不可思议的变化。首先,经典物理学中系统的状态是由欧几里得空间中的向量来表示的,该向量直接反映了物理状态的取值;量子物理学中系统的状态则是由希尔伯特空间中的向量来表示的,该向量经过若干计算才能反映物理状态的值。具体地说,量子物理学中任一物理状态都可以表示成某种性质(或若干性质)的可能取值的加权叠加,而某个取值的权重则代表这种取值在观测中显现出来的可能性程度的大小。例如自旋为1/2的电子在z轴方向的自旋可能的取值有两种:向上和向下,而某个电子的自旋态则是这两种取值的加权叠加;实际测量的结果只可能是两种取值的其中之一,但在测量之前向上和向下这两种互斥状态就必须同时存在,共同构成物理系统的数学描述的一部分。量子物理学的这种数学描述若按照经典的本体论来理解,就会变得离奇而荒谬:如果用量子态来描述硬币或者猫的状态,就意味着硬币在被观察之前的状态是既朝上又朝下的,猫在被观察之前是既死又活的,于是在经典观念中矛盾的状态就在某一时刻同时存在,似乎违背了经典逻辑的矛盾律。如果真的是这样,那么这一理论将导致灾难性的后果。因为任一命题都可以由这一对相互矛盾的命题推演出来,所有命题就都将成为真实的结论,这显然是荒谬的。其实,问题的症结恰恰出在经典的观念和眼光本身的局限性。所以在次协调逻辑介入之前,对量子叠加态的“经典”解读都试图绕开矛盾。例如工具主义者认为,量子物理学对物理状态的描述并不对应于现实状态的存在,而仅仅是一种数学计算的方法或者工具。这样一来,所谓测量之前的量子叠加态并不是真实存在的,所以“相互矛盾的命题同时成立”的问题也就自然被消解。然而,实在论者则另是一样。戴维·玻姆提出了量子势因果解释和本体论解释。他勾勒了关于新型量子场和粒子之间关系的清晰的本体论图像,认为物理实在包括粒子和量子场(量子势)这样两种形式,其粒子的概念与经典物理中粒子的概念相仿,而量子势则携带着能够对量子场全局起控制作用的“主动信息”,以导波的方式对粒子的运动起引导作用,其结果要在粒子总体的统计行为中才显示出来。通俗地说,粒子活像一艘由无线电波导航而自动驾驶的船。导波具有德布罗意物质波相似的性质,这就是人们往往把玻姆和德布罗意的观点归结为同一个类型的理由。量子现象的“相对态”或者“多世界”解释被认为是一种更加精简的解释,是另一种绕开矛盾的解释理论。宇宙波函数被看作唯一的终极实在,因此它显得更加简单、彻底和一贯。解释的关键在于一个类比:类比于爱因斯坦的参照系的相对性,似乎也可以悟出量子态自己的“相对性原理”,尽管在含义上存在着本质的区别。由被测对象、仪器与观察者所组成的复合系统处于叠加的纠缠态之中。每一个测量都只是从这个复合整体中提取其中一个成分即一个相对态而已。在笔者看来,读者只须把相对论类比贯彻到底,只须仔细想想在相对论中,相对于不同参照系的观察者可以有各自不同的“局域时间”和“局域长度”,它们同样也是真实的(如果不信,则你可以亲自参与其中进行观测)。那么就不难理解“量子态的相对性”的真实性了。如果将这相对态加以实体化,按“本体论方式”来理解,那么就可以得到“多世界解释”。如果从观察者视角,按“认识论方式”来理解,那么又可以引申出“多心解释”来。多世界解释认为量子叠加态中所有的可能态都是实在的,只是相互矛盾的状态分别属于不同的世界。因为我们的每一次测量都局限于我们自身存在的世界内,所以我们不会得到矛盾的测量结果;而测量的行为仅仅是导致了不同世界的分裂,测量之前相互矛盾的状态只是潜在地包含于尚未分裂的不同世界之中而已。日内瓦学派的学者认为,虽然“潜在状态”和“现实状态”都属于“实在”的范畴,却又有所区别:只有被测量显现出来的“现实状态”才是“实存”的(exsist),而在测量之前系统却并非如此,它只代表被显现为现实状态的可能性。这就使得笔者联想起海森堡对“潜在”的看法。海森堡指出,几率波的概念是理论物理学中全新的东西,它是古代亚里士多德“潜在”概念的定量表述,是介乎可能与实在之间的一种新奇的物理实在。三、量表的次协调逻辑尽管量子叠加态的问题引发的多种解释性理论之间存在着明显的区别,却都在默认经典逻辑矛盾律的前提下认为,不经适当解释的量子叠加态包含了相互矛盾的逻辑命题。因此,这些解释性理论的所有努力,几乎都是在寻找某种途径使得那些表观矛盾最终得到化解,从而避免量子物理学与经典逻辑的冲突。然而达科斯塔等人却站在次协调逻辑的立场上,认为量子叠加态所造成的“矛盾”并不是使得经典逻辑中理论的逻辑后承集平庸化的那种“逻辑矛盾”,而是次协调逻辑中可以被允许的“不平庸矛盾”。所以,采用这种次协调逻辑的解释似乎既能够与量子叠加态的物理理论很好地对应起来,又能够自然而然地避免经典逻辑视野中量子叠加态可能导致的逻辑“灾难”。促使他们采用次协调逻辑来解释量子叠加态的原因主要有两点。第一是量子物理学的实际发展,几乎都与站在不同哲学立场上对它的支持和反对毫不相干:无论站在实用主义或工具主义的立场上支持它,还是以经典的物理本体论、实在论或经典逻辑为出发点去攻击它,量子物理学的数学和物理理论发展从未受到过影响。即使刻意避免矛盾,也于事无补,由于并没有能够加强或削弱量子物理学的理论基础,因此可以想象这本来就与量子叠加态的疑难无关;反过来说,即使不去刻意地避免矛盾,只要人们能够合理说明量子叠加态当中所谓的“矛盾”不会导致任何命题都为真的灾难性后果,量子叠加态的奇异性质,也就不再是值得大惊小怪的了。次协调逻辑恰好能够做到这一点。第二是技术应用的原因。暂且不管量子物理学的理论如何,在诸如量子计算(quantumcomputation)和量子密码学(quantumcryptography)等量子物理的技术应用层面上,相互“矛盾”的量子叠加态也起到了重要的作用。例如量子计算中就要用到叠加态的信息流中相互矛盾的通道,而量子密码学则要利用相互矛盾的叠加项之间的关系传递“不可克隆”的信息,从而达到防止窃听的目的。鉴于理论和应用两方面的原因,达科斯塔等人相信量子叠加态呈现的“矛盾”既不会削弱量子物理理论,又具有某种实际意义,那么用次协调逻辑来描述这种“矛盾”就是再恰当不过的了。看来次协调逻辑系统C除去这种考量之外,ZF1的符号记法和公理系统都和第一节介绍的次协调逻辑系统无异。达科斯塔等人的次协调集合论的本质核心在于,引入一个特殊的包含“不平庸矛盾”的谓词K,如果叠加态S包含了两种经典意义上互斥的状态s1和s2,那么K(S,s1)就表示“S具有连带s1的叠加谓词”。通过这种形式,量子叠加态与其中一种可能被实际测量“现实化”的“潜在状态”之间的关系就被表示出来了。有了这种记号,量子叠加态所导致的“矛盾”就可以得到合理表达:这显然是一个包含矛盾的逻辑公式,但由于次协调逻辑的性质,人们并不能从这种矛盾出发推出所有的命题。于是把这个公式加入ZF1的公理系统并不会导致其逻辑后承集的平庸化,这就使得这种记法成为描述量子叠加态的一种良好的表达方式。四、同粒子的“序数可区分性”描述微观粒子运动变化规律的量子物理学理论,通常认为全同粒子具有不可区分性。这种不可区分性体现在两个方面:第一是全同粒子具有完全相同的内部性质,例如所有电子具有相同的质量、电荷,自旋都为1/2,人们无法通过其内部性质及其所表现的现象对它们进行区分;第二是在全同粒子组成的系统中,描述该系统的物理定律或系统的整体行为在交换全同粒子的情况下保持不变。全同粒子的这种不变性在量子力学的数学表达式中有很好的体现。一个全同粒子的所有可能状态均可以用一个希尔伯特空间中的向量表示,而两个全同粒子的状态就要用两个希尔伯特空间的张量积中的向量来表示。若采用狄拉克记号,则可将一个粒子的状态表示成|1>,而二粒子状态则可以表示成|1>|2>。微观粒子按照自旋和统计状态的不同分为玻色子和费米子两种。若现在有两个同种玻色子,假设它们能被区分,分别标记为1号和2号,且它们可能的存在状态有两种,分别称为u状态和v状态,则它们的二粒子状态只有以下三种可能:容易看出,在所有的三种可能性中,交换粒子的编号所得到的仍然是原来的状态。也就是说,人们无法通过任何实验结果确定哪个粒子处于u状态,哪个粒子处于v状态,因为两种情况只能产生相同的结果。这样一来,最初给两个粒子编号的步骤是徒劳的,同种玻色子之间根本不存在这种“序数可区分性”。费米子的情况略有不同。与上面条件一致的两个同种费米子的二粒子状态只有一种可能,即:这种表示似乎给了人们区分同种费米子的依据,因为交换粒子编号得到的表达式和此前的表达式相差一个负号。但是在实际测量中可测的量是量子态与其共轭状态的内积,量子态多一个负号,其共轭态也会多一个负号,由于“负负得正”的结果,乘积依然和交换之前没有区别。可见,同种费米子之间仍然没有那种“序数可区分性”。经典观念例如莱布尼茨同一律可表述为:如果X的每一个性质都为Y所具有,反过来Y的每一个性质都为X所具有,则X=Y。五、传统禁自返逻辑的形成达科斯塔等人认为,在处理量子理论与经典观念的矛盾时,与其特设性地假定量子力学中存在违背同一性原则的特殊粒子,不如摆脱旧的粒子本体论的束缚,从理论形式上探究更合适的新本体论。他们认为,逻辑学和本体论之间存在密切的联系,一种本体论总是相应于一种特定的逻辑学,反过来一种逻辑学则可能对应于一簇本体论。著名的科亨-施佩克尔定理(Kochen-Speckertheorem)明确表示,在量子力学的形式结构中不可能同时为自洽的不相交的子集赋予真值。他们据此认为,量子力学中的波函数不能被理解成“具有某些性质的个体的状态”,所以人们无法将量子实体的各种表现统一于一个单独的个体当中。从逻辑哲学观点看,各种逻辑联词和形式化的推理,都来自科学家实际使用的需要。量子力学对经典本体论的排斥,就会催生新本体论和作为其基础的另一种逻辑学。他们认为“禁自返逻辑”是对应新本体论的一个很好的可能性。既然无法按照经典意义对全同粒子加以区分的,那么经典意义的等同关系就可能在量子物理的语境中被排除或者被限制。而在禁自返逻辑中,或者逻辑系统不包含有经典的等词,或者经典等词的意义和使用范围至少部分地受到了限制,从而构成了量子物理理论的一种自然的逻辑描述。至此,新的联词“量子等同”(算子)已经呼之欲出了。为了建立一种合适的禁自返逻辑,达科斯塔等人将称为ZFU的公理化集合论作为他们的出发点。ZFU与策梅洛-弗兰尔克集合论的区别在于它包含了“本元”(urelement,或译:原元素),即并非集合的对象;ZFU的最后一条公理就是所有本元构成一个集合。接下来,他们在ZFU中加入了一些特殊的非空有限集m,m其中U表示所有本元的集合,Φ是空集。简单地说,m可以表示所有满足量子规律的对象集,m由这些特殊的集合就可以比较直观地定义一种新的等同关系“≡”(下文中称为“量子等同”联词):若x和y属于同一个量子对象集,则x≡y且y≡x;若x和y分属不同量子对象集,或x和y一个是量子对象,一个是经典对象,则并非且并非y≡x;若x和y同属于经典对象集,则x≡y当且仅当x=y。达科斯塔等人建立的禁自返逻辑ZFR就是在ZFU的基础上增加了m,m他们将新定义的等同关系“≡”称为“量子等同”,其理由就在于它所具备的量子特性,并认为采用这种“量子等同”的逻辑系统是适于描述量子个体性的部分缺失的手段。在有关逻辑同一和量子等同的观点中,他们主要关注两种论述:其一是如果a与b是量子等同的,那么在一个物理过程中将a换作b必定得到相同的结果;其二是由于抽象的“同一性”在很多物理学家看来是无意义的,所以量子对象有可能是“量子等同”的,却不是逻辑同一的。他们倾向于在拒斥第二种论述的前提下接受第一种说法,理由是在ZFR集合论中可以完全不出现“逻辑同一”这种概念,等价关系就只有“量子等同”这一种,甚至在元逻辑语言或者语义学中也可以用“量子等同”代替经典意义上的同一性,所以第二种说法在类似ZFR集合论的禁自返逻辑中显然是不恰当的,也正是在这个意义上,关于量子同一性的逻辑矛盾才有可能在禁自返逻辑的语境中得到化解。正如达科斯塔及其合作者们在处理量子叠加态的过程中试图从大处着眼,建立一种次协调的集合论以充当量子力学的基底逻辑学一样,他们在应对量子同一性问题时也在试图寻找这种可以称得上背景或基础的强集合论,甚至从一开始就构建这样的集合论,而后再对其进行扩充以解决量子同一性一类的问题。在他们看来,在以ZFR为基底逻辑的量子力学中讨论量子同一性问题主要有两条途径:第一是将经典逻辑的等词和“量子等同”共同用于量子力学中的量子对象;第二是在预先假定基于ZFR集合论的量子力学一致性的前提下将侧重点放在量子等同上,从而使量子力学中的某些理论方面得到简化。六、非经典逻辑系统的确立