【解析】山西省吕梁市交城县2022-2023学年八年级下学期数学期中考试试卷

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山西省吕梁市交城县2022-2023学年八年级下学期数学期中考试试卷

一、单选题

1．（2023八下·交城期中）化简的正确结果是（）

A．4B．2C．D．

2．（2023八下·交城期中）下列二次根式，化简后能与合并的是（）

A．B．C．D．

3．（2023八下·交城期中）在中，，则的面积为（）

A．6B．C．10D．20

4．（2023八上·太原期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三、股四、弦五”这一结论，被记载于我国古代一部著名的数学著作中．这部著作是（）

A．《九章算术》B．《周髀算经》

C．《孙子算经》D．《海岛算经》

5．（2023八下·交城期中）下列运算正确的是（）

A．B．C．D．

6．（2023八下·交城期中）如图，在平行四边形中，，则的长为（）

A．B．C．D．

7．（2023八下·交城期中）下列命题中正确的是（）

A．平行四边形的对角线互相垂直

B．矩形的对角线相等

C．对角线相等的平行四边形是菱形

D．对角线互相垂直的平行四边形是正方形

8．（2023八下·交城期中）已知，若是整数，则的值可能是（）

A．B．C．D．

9．（2023八下·交城期中）如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米，米，米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（）

A．65B．85C．90D．150

10．（2023八下·交城期中）如图，点E是平行四边形的边的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接，若，则四边形是（）

A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形

二、填空题

11．（2023八下·交城期中）二次根式有意义，则实数的取值范围是．

12．（2023八下·交城期中）已知△ABC的三边长分别为，，，则的形状是．

13．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何”翻译成数学问题是：如图所示，中，∠ACB＝90°，AC＋AB＝10，BC＝3，求AC的长，如果设AC＝x，则可列方程为（方程不用化简）．

14．（2023八下·交城期中）如图，在平行四边形中，对角线交于点O，交于点E，已知的周长为8，，则的长为．

15．（2023·长沙模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为．

三、解答题

16．（2023八下·交城期中）计算：

（1）

（2）

17．（2023八下·交城期中）已知三角形的三边，，，可以求出这个三角形的面积．古希腊几何学家海伦的公式为：（其中）；我国南宋著名数学家秦九韶的公式为：．若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积．

（1）你认为选择（填海伦公式或秦九韶公式）能使计算更简便；

（2）请利用你选择的公式计算出这个三角形的面积．

18．（2023八下·交城期中）如图，在四边形中，平分，，点E是上一点，，若，，求的长．

19．（2023八下·交城期中）如图，在平行四边形中，点E是边上一点，且，的平分线交于点F，连接．

（1）尺规作图：根据题意将图形补充完整（保留作图痕迹，不写做法，标注相应字母）；

（2）求证：四边形是菱形．

20．（2023八下·交城期中）如图，在矩形中，点E、点F分别是、的中点，连接，，，，与交于点G，与交于点H．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）请判断四边形的形状，并说明理由．

21．（2023八下·交城期中）按要求作图：下面三幅网格图中的小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点称为格点．

（1）在图1中作一个边长都为整数的格点直角三角形；

（2）在图2中作一个边长分别为，，的格点三角形；

（3）在图3中作一个有一边长为的格点平行四边形．

（4）请判断图2中所作的形状，并说明理由．

22．（2023八下·交城期中）问题情境：

勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法．下面利用拼图的方法探究证明勾股定理．

（1）定理表述：

请你结合图1中的直角三角形，叙述勾股定理（可以选择文字语言或符号语言叙述）；

（2）尝试证明：

利用图1中的直角三角形可以构造出如图2的直角梯形，请你利用图2证明勾股定理．

（3）定理应用：

某工程队要从点A向点E铺设管道，由于受条件限制无法直接沿着线段铺设，需要绕道沿着矩形的边和铺设管道，经过测量米，米，已知铺设每米管道需资金1000元，请你帮助工程队计算绕道后费用增加了多少元？

23．（2023八下·交城期中）如图1，四边形是菱形，点E，点F分别是，边上的动点，，连接，交对角线于点G，H．

（1）求证：；

（2）如图2，连接，，请判断四边形是什么特殊四边形？并说明你的理由；

（3）在图2中，如果，，试探究在点E，F运动过程中，如果四边形成为正方形，则的长度是多少？（请直接写出答案）

答案解析部分

1．【答案】B

【知识点】二次根式的性质与化简

【解析】【解答】解：，

故答案为：B。

【分析】利用二次根式的性质计算求解即可。

2．【答案】C

【知识点】二次根式的性质与化简；同类二次根式

【解析】【解答】解：A：不能化简，不符合题意；

B：不能和合并，不符合题意；

C：能和合并，符合题意；

D：不能和合并，不符合题意；

故答案为：C。

【分析】利用二次根式的性质和同类二次根式判断求解即可。

3．【答案】A

【知识点】三角形的面积；勾股定理

【解析】【解答】解：∵在中，，

∴，

∴，

故答案为：A.

【分析】利用勾股定理先求出BC=4，再利用三角形的面积公式计算求解即可。

4．【答案】B

【知识点】数学常识

【解析】【解答】“勾三、股四、弦五”这一结论最早在数学著作《周髀算经》中提出来的，

故答案为：B．

【分析】数学常识题。

5．【答案】C

【知识点】算术平方根；二次根式的乘除法；二次根式的加减法

【解析】【解答】解：A：，计算错误；

B：，计算错误；

C：，计算正确；

D：，计算错误；

故答案为：C.

【分析】利用算术平方根，二次根式的加减乘除法则计算求解即可。

6．【答案】B

【知识点】平行四边形的性质

【解析】【解答】解：∵，

∴AD=2.8cm，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC=AD=2.8cm，

故答案为：B.

【分析】根据题意先求出AD=2.8cm，再利用平行四边形的性质计算求解即可。

7．【答案】B

【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的性质；正方形的判定

【解析】【解答】解：A：平行四边形的对角线不一定互相垂直，命题错误；不符合题意；

B：矩形的对角线相等，命题正确，符合题意；

C：对角线相等的平行四边形是矩形，命题错误，不符合题意；

D：对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，命题错误，不符合题意；

故答案为：B.

【分析】根据平行四边形，矩形，正方形的判定与性质对每个选项一一判断即可。

8．【答案】D

【知识点】平方差公式及应用

【解析】【解答】解：∵，是整数，

又∵，

∴的值可能是，

故答案为：D.

【分析】根据题意，利用平方差公式计算求解即可。

9．【答案】B

【知识点】勾股定理；平移的性质

【解析】【解答】解：由图可知：∠C=90°，

∵AC=5米，AB=13米，

∴（米），

∵由平移的性质可得：水平的防滑毯的长度为：BC=12米，铅直的防滑毯的长度为AC=5米，

∴至少需防滑毯的长为：AC+BC=17(米)，

∵防滑毯宽为5米，

∴至少需防滑毯的面积为：17x5=85(平方米)，

故答案为：B.

【分析】利用勾股定理先求出BC=12米，再求出至少需防滑毯的长为：AC+BC=17(米)，最后计算求解即可。

10．【答案】B

【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；三角形全等的判定（ASA）

【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD//BC，AB=CD，

∴∠ADE=∠FCE，

∵点E是平行四边形ABCD的边CD的中点，

∴CE=DE，

∵∠AED=∠FEC，

∴△AED≌△FEC(ASA)，

∴AD=CF，

∵AD//BC，

∴ADIICF，

∴四边形ACFD是平行四边形，

∵AB=AF，

∴AF=CD，

∴平行四边形ACFD是矩形，

故答案为：B.

【分析】利用平行四边形的性质求出AD//BC，AB=CD，再利用全等三角形的判定方法求出△AED≌△FEC，最后利用矩形的判定方法证明即可。

11．【答案】任意实数

【知识点】二次根式有意义的条件

【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，

∴，

∴实数a的取值范围是任意实数，

故答案为：任意实数.

【分析】根据二次根式有意义的条件判断求解即可。

12．【答案】等腰直角三角形

【知识点】等腰直角三角形

【解析】【解答】解：∵△ABC的三边长分别为，，，

又∵，，

∴，

∴△ABC是等腰直角三角形，

故答案为：等腰直角三角形.

【分析】利用等腰三角形的性质和勾股定理判断求解即可。

13．【答案】

【知识点】勾股定理

【解析】【解答】解：∵，且，

∴，

在Rt△ABC中，由勾股定理可得：，

即：，

故可列出的方程为：，

故答案为：．

【分析】根据勾股定理可得，将数据代入可得，从而得解。

14．【答案】3

【知识点】平行四边形的性质

【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，

∴AB=CD，O为AC的中点，

∵EO⊥AC，

∴EO为AC的中垂线，

∴AE=EC，

∴△ABE的周长为：AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=8，

∴AB=CD=3，

故答案为：3.

【分析】根据平行四边形的性质求出AB=CD，O为AC的中点，再求出EO为AC的中垂线，最后计算求解即可。

15．【答案】3或6

【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）

【解析】【解答】解：当为直角三角形时，有两种情况：

①当点落在矩形内部时，如答图1所示．

连结，

在中，，，

，

沿折叠，使点落在点处，

，

当为直角三角形时，只能得到，

点、、共线，即沿折叠，使点落在对角线上的点处，如图，

，，

，

设，则，，

在中，

，

，

解得，

；

②当点落在边上时，如答图2所示．

此时为正方形，

．

综上所述，的长为3或6．

故答案为：3或6．

【分析】当为直角三角形时，有两种情况：①当点落在矩形内部时，如答图1所示．连结，先利用勾股定理计算出，根据折叠的性质得，而当为直角三角形时，只能得到，所以点、、共线，即沿折叠，使点落在对角线上的点处，则，，可计算出，设，则，，然后在中运用勾股定理可计算出．②当点落在边上时，如答图2所示．此时四边形为正方形．

16．【答案】（1）解：

；

（2）解：

．

【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算

【解析】【分析】（1）利用二次根式的加减乘除法则计算求解即可；

（2）利用二次根式的性质，完全平方公式，平方差公式计算求解即可。

17．【答案】（1）秦九韶公式

（2）解：∵

∴

∴

=

【知识点】二次根式的性质与化简；定义新运算

【解析】【解答】解：（1）∵一个三角形的三边长分别是，，，都是根号形式，

∴用秦九韶公式能使计算更简便，

故答案为：秦九韶公式.

【分析】（1）观察所给的式子，结合公式判断求解即可；

（2）根据题意先求出，再结合公式计算求解即可。

18．【答案】解：∵，，

∴，

∵，

，

∴，

∴是直角三角形，

∴

∴，

∵

∴，

∵平分，

∴．

【知识点】勾股定理的逆定理；角平分线的定义

【解析】【分析】根据题意先求出，再求出是直角三角形，最后根据角平分线计算求解即可。

19．【答案】（1）解：如图所示即为所求；

（2）证明：∵四边形是平行四边形，

∴，

∴，

∵平分，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴四边形为平行四边形，

∵，

∴四边形为菱形．

【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；作图-角的平分线

【解析】【分析】（1）根据题意要求作图即可；

（2）根据平行四边形的性质求出，再根据角平分线求出，最后利用菱形的判定方法证明即可。

20．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，

∴，，

∵，分别是、的中点，

∴，，

∴，

∴四边形是平行四边形；

（2）解：四边形为菱形；理由如下：

∵四边形是矩形，

∴，，，

∵，分别是、的中点，

∴，，

∴，

∴四边形和四边形均为平行四边形，

∴，，

∴四边形是平行四边形，

在与中，

∴，

∴，，

∴，

∴，

∴四边形是菱形．

【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【分析】（1）根据矩形的性质求出，，再根据线段的中点求出，，最后证明求解即可；

（2）根据矩形的性质求出，，，再求出，最后利用菱形的判定方法证明即可。

21．【答案】（1）解：如图所示，即为所求作三角形；

（2）解：如图所示，即为所求作三角形；

（3）解：如图所示，平行四边形即为所求作平行四边形；

（4）解：为直角三角形．

理由：∵，

，

∴，

∴为直角三角形．

【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形的性质；作图-三角形

【解析】【分析】（1）根据题意要求作三角形即可；

（2）根据题意作三角形即可；

（3）根据题意作平行四边形即可；

（4）利用勾股定理先求出，再判断求解即可。

22．【答案】（1）解：如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么

（2）解：，

，

∴，

∴；

（3）解：在中，，

∴（元）；

答：增加了8000元．

【知识点】三角形的面积；勾股定理

【解析】【分析】（1）结合图形，利用勾股定理作答即可；

（2）结合图形，利用三角形的面积公式求出，再求解即可；

（3）利用勾股定理求出AE=20，再求出（元）即可作答。

23．【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，

∴，，

在与中，

，

∴，

∴，

∵，

∴，

在与中，

，

∴，

∴；

（2）解：四边形是菱形，

证明：∵四边形是菱形，

∴，，

在与中，

，

∴，

∴，

同理：，

又∵由（1）可知：，

∴，

∴四边形是菱形；

（3）

【知识点】菱形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【解答】（3）解：连接，如图：

∵四边形是菱形，，

∴，，

∵四边形成为正方形，

∴，，

∴，

∵，，

∴，，

∴．

【分析】（1）利用菱形的性质求出，，再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；

（2）利用菱形的性质求出，，再求出，最后利用菱形的判定方法证明即可；

（3）结合图形，利用菱形和正方形的性质计算求解即可。

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山西省吕梁市交城县2022-2023学年八年级下学期数学期中考试试卷

一、单选题

1．（2023八下·交城期中）化简的正确结果是（）

A．4B．2C．D．

【答案】B

【知识点】二次根式的性质与化简

【解析】【解答】解：，

故答案为：B。

【分析】利用二次根式的性质计算求解即可。

2．（2023八下·交城期中）下列二次根式，化简后能与合并的是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】二次根式的性质与化简；同类二次根式

【解析】【解答】解：A：不能化简，不符合题意；

B：不能和合并，不符合题意；

C：能和合并，符合题意；

D：不能和合并，不符合题意；

故答案为：C。

【分析】利用二次根式的性质和同类二次根式判断求解即可。

3．（2023八下·交城期中）在中，，则的面积为（）

A．6B．C．10D．20

【答案】A

【知识点】三角形的面积；勾股定理

【解析】【解答】解：∵在中，，

∴，

∴，

故答案为：A.

【分析】利用勾股定理先求出BC=4，再利用三角形的面积公式计算求解即可。

4．（2023八上·太原期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三、股四、弦五”这一结论，被记载于我国古代一部著名的数学著作中．这部著作是（）

A．《九章算术》B．《周髀算经》

C．《孙子算经》D．《海岛算经》

【答案】B

【知识点】数学常识

【解析】【解答】“勾三、股四、弦五”这一结论最早在数学著作《周髀算经》中提出来的，

故答案为：B．

【分析】数学常识题。

5．（2023八下·交城期中）下列运算正确的是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】算术平方根；二次根式的乘除法；二次根式的加减法

【解析】【解答】解：A：，计算错误；

B：，计算错误；

C：，计算正确；

D：，计算错误；

故答案为：C.

【分析】利用算术平方根，二次根式的加减乘除法则计算求解即可。

6．（2023八下·交城期中）如图，在平行四边形中，，则的长为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】平行四边形的性质

【解析】【解答】解：∵，

∴AD=2.8cm，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC=AD=2.8cm，

故答案为：B.

【分析】根据题意先求出AD=2.8cm，再利用平行四边形的性质计算求解即可。

7．（2023八下·交城期中）下列命题中正确的是（）

A．平行四边形的对角线互相垂直

B．矩形的对角线相等

C．对角线相等的平行四边形是菱形

D．对角线互相垂直的平行四边形是正方形

【答案】B

【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的性质；正方形的判定

【解析】【解答】解：A：平行四边形的对角线不一定互相垂直，命题错误；不符合题意；

B：矩形的对角线相等，命题正确，符合题意；

C：对角线相等的平行四边形是矩形，命题错误，不符合题意；

D：对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，命题错误，不符合题意；

故答案为：B.

【分析】根据平行四边形，矩形，正方形的判定与性质对每个选项一一判断即可。

8．（2023八下·交城期中）已知，若是整数，则的值可能是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知识点】平方差公式及应用

【解析】【解答】解：∵，是整数，

又∵，

∴的值可能是，

故答案为：D.

【分析】根据题意，利用平方差公式计算求解即可。

9．（2023八下·交城期中）如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米，米，米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（）

A．65B．85C．90D．150

【答案】B

【知识点】勾股定理；平移的性质

【解析】【解答】解：由图可知：∠C=90°，

∵AC=5米，AB=13米，

∴（米），

∵由平移的性质可得：水平的防滑毯的长度为：BC=12米，铅直的防滑毯的长度为AC=5米，

∴至少需防滑毯的长为：AC+BC=17(米)，

∵防滑毯宽为5米，

∴至少需防滑毯的面积为：17x5=85(平方米)，

故答案为：B.

【分析】利用勾股定理先求出BC=12米，再求出至少需防滑毯的长为：AC+BC=17(米)，最后计算求解即可。

10．（2023八下·交城期中）如图，点E是平行四边形的边的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接，若，则四边形是（）

A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形

【答案】B

【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；三角形全等的判定（ASA）

【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD//BC，AB=CD，

∴∠ADE=∠FCE，

∵点E是平行四边形ABCD的边CD的中点，

∴CE=DE，

∵∠AED=∠FEC，

∴△AED≌△FEC(ASA)，

∴AD=CF，

∵AD//BC，

∴ADIICF，

∴四边形ACFD是平行四边形，

∵AB=AF，

∴AF=CD，

∴平行四边形ACFD是矩形，

故答案为：B.

【分析】利用平行四边形的性质求出AD//BC，AB=CD，再利用全等三角形的判定方法求出△AED≌△FEC，最后利用矩形的判定方法证明即可。

二、填空题

11．（2023八下·交城期中）二次根式有意义，则实数的取值范围是．

【答案】任意实数

【知识点】二次根式有意义的条件

【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，

∴，

∴实数a的取值范围是任意实数，

故答案为：任意实数.

【分析】根据二次根式有意义的条件判断求解即可。

12．（2023八下·交城期中）已知△ABC的三边长分别为，，，则的形状是．

【答案】等腰直角三角形

【知识点】等腰直角三角形

【解析】【解答】解：∵△ABC的三边长分别为，，，

又∵，，

∴，

∴△ABC是等腰直角三角形，

故答案为：等腰直角三角形.

【分析】利用等腰三角形的性质和勾股定理判断求解即可。

13．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何”翻译成数学问题是：如图所示，中，∠ACB＝90°，AC＋AB＝10，BC＝3，求AC的长，如果设AC＝x，则可列方程为（方程不用化简）．

【答案】

【知识点】勾股定理

【解析】【解答】解：∵，且，

∴，

在Rt△ABC中，由勾股定理可得：，

即：，

故可列出的方程为：，

故答案为：．

【分析】根据勾股定理可得，将数据代入可得，从而得解。

14．（2023八下·交城期中）如图，在平行四边形中，对角线交于点O，交于点E，已知的周长为8，，则的长为．

【答案】3

【知识点】平行四边形的性质

【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，

∴AB=CD，O为AC的中点，

∵EO⊥AC，

∴EO为AC的中垂线，

∴AE=EC，

∴△ABE的周长为：AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=8，

∴AB=CD=3，

故答案为：3.

【分析】根据平行四边形的性质求出AB=CD，O为AC的中点，再求出EO为AC的中垂线，最后计算求解即可。

15．（2023·长沙模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为．

【答案】3或6

【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）

【解析】【解答】解：当为直角三角形时，有两种情况：

①当点落在矩形内部时，如答图1所示．

连结，

在中，，，

，

沿折叠，使点落在点处，

，

当为直角三角形时，只能得到，

点、、共线，即沿折叠，使点落在对角线上的点处，如图，

，，

，

设，则，，

在中，

，

，

解得，

；

②当点落在边上时，如答图2所示．

此时为正方形，

．

综上所述，的长为3或6．

故答案为：3或6．

【分析】当为直角三角形时，有两种情况：①当点落在矩形内部时，如答图1所示．连结，先利用勾股定理计算出，根据折叠的性质得，而当为直角三角形时，只能得到，所以点、、共线，即沿折叠，使点落在对角线上的点处，则，，可计算出，设，则，，然后在中运用勾股定理可计算出．②当点落在边上时，如答图2所示．此时四边形为正方形．

三、解答题

16．（2023八下·交城期中）计算：

（1）

（2）

【答案】（1）解：

；

（2）解：

．

【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算

【解析】【分析】（1）利用二次根式的加减乘除法则计算求解即可；

（2）利用二次根式的性质，完全平方公式，平方差公式计算求解即可。

17．（2023八下·交城期中）已知三角形的三边，，，可以求出这个三角形的面积．古希腊几何学家海伦的公式为：（其中）；我国南宋著名数学家秦九韶的公式为：．若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积．

（1）你认为选择（填海伦公式或秦九韶公式）能使计算更简便；

（2）请利用你选择的公式计算出这个三角形的面积．

【答案】（1）秦九韶公式

（2）解：∵

∴

∴

=

【知识点】二次根式的性质与化简；定义新运算

【解析】【解答】解：（1）∵一个三角形的三边长分别是，，，都是根号形式，

∴用秦九韶公式能使计算更简便，

故答案为：秦九韶公式.

【分析】（1）观察所给的式子，结合公式判断求解即可；

（2）根据题意先求出，再结合公式计算求解即可。

18．（2023八下·交城期中）如图，在四边形中，平分，，点E是上一点，，若，，求的长．

【答案】解：∵，，

∴，

∵，

，

∴，

∴是直角三角形，

∴

∴，

∵

∴，

∵平分，

∴．

【知识点】勾股定理的逆定理；角平分线的定义

【解析】【分析】根据题意先求出，再求出是直角三角形，最后根据角平分线计算求解即可。

19．（2023八下·交城期中）如图，在平行四边形中，点E是边上一点，且，的平分线交于点F，连接．

（1）尺规作图：根据题意将图形补充完整（保留作图痕迹，不写做法，标注相应字母）；

（2）求证：四边形是菱形．

【答案】（1）解：如图所示即为所求；

（2）证明：∵四边形是平行四边形，

∴，

∴，

∵平分，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴四边形为平行四边形，

∵，

∴四边形为菱形．

【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；作图-角的平分线

【解析】【分析】（1）根据题意要求作图即可；

（2）根据平行四边形的性质求出，再根据角平分线求出，最后利用菱形的判定方法证明即可。

20．（2023八下·交城期中）如图，在矩形中，点E、点F分别是、的中点，连接，，，，与交于点G，与交于点H．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）请判断四边形的形状，并说明理由．

【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，

∴，，

∵，分别是、的中点，

∴，，

∴，

∴四边形是平行四边形；

（2）解：四边形为菱形；理由如下：

∵四边形是矩形，

∴，，，

∵，分别是、的中点，

∴，，

∴，

∴四边形和四边形均为平行四边形，

∴，，

∴四边形是平行四边形，

在与中，

∴，

∴，，

∴，

∴，

∴四边形是菱形．

【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【分析】（1）根据矩形的性质求出，，再根据线段的中点求出，，最后证明求解即可；

（2）根据矩形的性质求出，，，再求出，最后利用菱形的判定方法证明即可。

21．（2023八下·交城期中）按要求作图：下面三幅网格图中的小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点称为格点．

（1）在图1中作一个边长都为整数的格点直角三角形；

（2