2023年湖北省重点学校高一（下）期中联考数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023年湖北省重点学校高一（下）期中联考数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知全集U=A∪B={x∈NA.{0,3,4} B.{2.已知复数z=2+ai1+2i(A.−1 B.2 C.3 D.3.△ABC中内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，(a+b+cA.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形4.函数f(x)=2sin(ωA.φ=π3 B.φ=π65.△ABC的斜二测画法的直观图为△A′B′C′，A′A.3 B.62 C.66.△ABC中内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若△ABC的面积为A.22 B.33 C.7.在△ABC中，AB=AC=2，BC=23，D为BA.82π3 B.558.在△ABC中，AD为BC上的中线，G为△ABC的重心，M，N分别为线段AB，AC上的动点，且M，N，GA.32 B.3 C.2 D.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.如图，点A，B，C，P，Q是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足PQ/​/平面AA. B. C. D.10.下列各式中，值是12的是(

)A.cosxcos(x+11.已知OP=(35,−45)，将OP绕坐标原点O分别旋转−60°，A.点P1的坐标为(33−410,412.欧拉公式eiθ=cosθ+isA.|ei(3π2+θ)三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知(2−i)z=i2023(14.已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为3.则四棱台的高为______．15.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A=2π3，a=7，b16.已知f(x)=3cos2ωx+si四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

已知复数z=m−1+(m2+m−2)i(m∈R)18.(本小题12.0分)

已知向量a，b满足|a|=1，b=(1,3)

(1)若|a19.(本小题12.0分)

如图所示，BD为平面四边形ABCD的对角线，设AB=2，sin∠ABD=3sin∠ADB，△BCD为等边三角形，记∠B20.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=cos(2ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使f(x)的解析式唯一确定；

条件①：f(x21.(本小题12.0分)

如图，在正四棱锥P−ABCD中AB=2，PA=4，PM=2MB，N、E、F分别为PD、B22.(本小题12.0分)

已知△ABC中，AB=2，AC=3，BP=13BC，Q是边AB(含端点)上的动点．

(1)若AQ=25AB，

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：由题意可得：U={x∈N|0<x+1<6}={0,1,2,2.【答案】D

【解析】解：因为z=2+ai1+2i=(2+ai)(1−23.【答案】A

【解析】解：由(a+b+c)(a+c−b)=3ac，整理得a2+c2−b2=ac，

所以cosB=a2+c2−b224.【答案】D

【解析】解：由题得最小正周期T=2πω=π，可得ω=2，所以f(x)=2sin(2x+φ)．

f(x)的图象向右平移π6个单位长度后为偶函数y=2sin(25.【答案】B

【解析】解：由已知可知，S△A′B′C′=12×4×3×16.【答案】C

【解析】解：在△ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2−2abcosC，

又S△A7.【答案】C

【解析】解：如下图所示：

圆柱O1O2的底面圆直径为2r，母线长为h，则O1O2的中点O到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则O为圆柱O1O2的外接球球心．

翻折前，在△ABC中，AB=AC=2，BC=23，D为BC的中点，则AD⊥BC，

且AD=AB2−BD2=22−3=1，

翻折后，则有AD⊥BD，AD⊥PD，

又因为BD⋂PD=D，BD、PD⊂平面PBD，所以，AD⊥平面PBD，

8.【答案】B

【解析】解：由题意在△ABC中，AD为BC上的中线，G为△ABC的重心，

且AM=λAB，AN=μAC，0≤λ，μ≤1，

故AG=23AD=23×12(AB+AC)=13(AB+AC)=19.【答案】BD【解析】解：对于A，由PQ为上底面的面对角线，PQ与下底面过B的面对角线平行，

所以PQ与平面ABC相交，故A错误；

对于B，由中位线定理可得PQ//AC，PQ⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，可得PQ/​/平面ABC，故B错误；

对于C，取中点D，连接DB，DQ，CP，可得截面为正六边形ABDQPC，即有PQ⊂平面ABC，故C错误；

对于D，连接BD，设AB10.【答案】AC【解析】解：cosxcos(x+π3)+sinxsin(x+π3)=11.【答案】BC【解析】解：∵OP=(35,−45)，

∴|OP|=(35)2+(−45)2=1，

对于选项A：设点P，P1所对应的任意角为分别为α，α1，

则由三角函数的定义可知cosα=35，sinα=−45，a1=α−π3，

∴sinα1=sin(α−π3)=12sinα−32cosα=−412.【答案】AB【解析】解：对于A，由欧拉公式可知，|ei(3π2+θ)|=|cos(3π2+θ)+isin(3π2+θ)|=|sinθ−icosθ|=sin2θ+(−cosθ)2=1，

故选项A正确；

对于B：由欧拉公式可知，ei(π13.【答案】15【解析】解：由in的计算规律，可得i2023=i505×4+3=−i，

所以z14.【答案】7【解析】解：正四棱台对角面等腰梯形的高即为该正四棱台的高，

因为正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为3，

则该四棱台对角面等腰梯形的上下底边长分别为22,42，腰长为3，

因此等腰梯形的高为32−(42−15.【答案】158【解析】解：由正弦定理得BCsinA=ACsinB，

∴sinB=37sin2π3=3314，∠A=2π316.【答案】14046【解析】解：因为f(x)=32(1+cos2ωx)+12sin2ωx=12sin2ωx+32cos2ωx+32

=sin(2ωx+π3)+32，

如果存在实数x17.【答案】解：(1)因为z⋅i=−(m2+m−2)+(m−1)i为纯虚数，

所以m2+m−2=0m−1【解析】(1)利用复数的乘法化简复数z，根据复数的概念可得出关于m的等式与不等式，解之即可；

(2)18.【答案】解：(1)由题得|b|=2，

|a+2b|2=a2+4a⋅b+4b2=4a【解析】(1)由已知求出a⋅b=−2，再利用向量模的公式求解；

19.【答案】解：(1)∵AB=2，sin∠ABD=3sin∠ADB，

∴在△ABD中，由正弦定理得ADAB=sin∠ABDsin∠ADB=3，即AD=3AB=23，

∴由余弦定理得cosθ=12【解析】(1)利用正弦定理可得AD=23，再利用余弦定理求出cosθ，即可得出答案；20.【答案】解：(1)选①③，

因为T=2π2ω=π，所以ω=1，

所以f(x)=cos(2x+φ)，

又因为x=π3为对称轴，所以2π3+φ=kπ，

而|【解析】(1)要使f(x)解析式唯一，可选①③，结合周期公式、对称轴处满足的性质求解；

(2)21.【答案】解：(1)证明：连接BD，

∵四边形ABCD为正方形，E、F分别为BC、CD中点，

∴EF/​/BD，

又B，D，N，P，M五点共面，EF⊄平面PMN，BD⊂平面PMN，

∴EF/​/平面PMN，

(2)在正四棱锥P−ABCD中，连接BD，AC交于点O，连接PO，【解析】(1)通过证明EF//BD得到EF/​/平面PM22.【答案】解：(1)已知△ABC中，AB=2，AC=3，BP=13BC，Q是边AB(含端点)上的动点，