ARCH模型专题课件

ARCH模型简介ARCH模型专题考察严平稳随机序列{yt},且E

yt

<

.记其均值Eyt=

,协方差函数

k=E{(yt-

)(yt+k-

)}.其条件期望(或条件均值):E(yt

yt-1,yt-2,…)

(yt-1,yt-2,…)(1.1)依条件期望的性质有E

(yt-1,yt-2,…)=E{E(yt

yt-1,yt-2,…)}=Eyt=

.(1.2)记误差(或残差):et

yt-

(yt-1,yt-2,…).(1.3)一、前言ARCH模型专题随机序列的条件均值E(et

yt-1,yt-2,…)=E{yt-

(yt-1,yt-2,…)

yt-1,yt-2,…}=E(yt

yt-1,yt-2,…)-E{

(yt-1,yt-2,…)

yt-1,yt-2,…}=

(yt-1,yt-2,…)-

(yt-1,yt-2,…)=0.(1.4)

随机序列的条件方差Var(et

yt-1,yt-2,…)=E{[et-E(et

yt-1,yt-2,…1)]2

yt-1,yt-2,…}=E{et2

yt-1,yt-2,…}

S2(yt-1,yt-2,…).(1.5)此处S2(yt-1,yt-2,…)为条件方差函数.注意,et的条件均值是零,条件方差是非负的函数S2(yt-1,yt-2,…),它不一定是常数。ARCH模型专题自回归函数依(0.3)式,平稳随机序列{yt}总有如下表达式:yt=

(yt-1,yt-2,…)+et,(1.6)其中

(yt-1,yt-2,…)被称为自回归函数,不一定是线性的.

{et}为鞅差序列（因为对它的求和是离散的鞅序列.由于{yt}是严平稳随机序列,且E

yt

<

,上述推演是严格的,从而{et}是严平稳的鞅差序列.）ARCH模型专题条件异方差自回归模型将et标准化,即令

t

et/S(yt-1,yt-2,…).则有E(

t

yt-1,yt-2,…)=E[et/S(yt-1,yt-2,…)

yt-1,yt-2,…]={1/S(yt-1,yt-2,…)}E[et

yt-1,yt-2,…]=0.（1.7）E(

t2

yt-1,yt-2,…)=E[et2/S2(yt-1,yt-2,…)

yt-1,yt-2,…]={1/S2(yt-1,yt-2,…)}E[et2

yt-1,yt-2,…]={S2(yt-1,yt-2,…)}/{S2(yt-1,yt-2,…)}=1.(1.8)同样，{

t}也是平稳鞅差序列。于是0.6式可以写成yt=

(yt-1,yt-2,…)+S(yt-1,yt-2,…)

t（1.9）此式可称为条件异方差自回归模型所谓条件异方差就是指:条件方差S2(yt-1,yt-2,…)不为常数.ARCH模型专题在条件异方差模型问世以前,时间序列分析主要讨论自回归结构,或者说,主要讨论

(yt-1,yt-2,…)的有关内容.当条件异方差模型问世后,在时间序列分析中,特别是建模分析中,就包含了两个内容,一个与

(yt-1,yt-2,…)有关;另一个与S(yt-1,yt-2,…)有关.

如何统计分析它们,是摆在我们面前的主要问题.考虑如下的模型yt=et,(1.10)它的标准化的模型(0.12)为yt=S(yt-1,yt-2,…)

t.(1.11)这一模型几乎含盖了所有的条件异方差模型.接着发现相关性分析和谱分析不能对(1.1)式的序列作出更深刻的分析.为了进一步获得它的深入的结构特征,必须引入新的概念和新的方法.ARCH模型专题(ARCH---AutoregressiveConditionalHeteroscedasticity)Engle(1982)引入条件方差的概念来分析方差变化的原因，首先提出并使用了如下的模型:yt=S(yt-1,yt-2,…)

t

ht1/2

t,(2.1)ht=

0+

1yt-12+

2yt-22+…+

pyt-p2,(2.2)

0>0,

i

0,i=1,2,…,p.其中{

t}为i.i.d.的序列,

t

N(0,1),且

t与{yt-1,yt-2,…}独

立,为了简化记号,记ht=S2(yt-1,yt-2,…).此模型被称为自回归条件异方差模型,简记ARCH(p),其中p表示模型的阶数.二、ARCH模型ARCH模型专题其一,限定{

t}为i.i.d.序列，这是很强的限制,这是由于现有理论的基楚所限.其二,限定条件方差有2.2式的简单形式,即ht=S2(yt-1,yt-2,…)=

0+

1yt-12+

2yt-22+…+

pyt-p2,是为了统计分析方便.其三,限定

t服从正态分布,是为了求极大似然估计方便.限制

t

N(0,1),而不用

t

N(0,

2),是因为{

t}满足标准化的1.8模型式.其四,限制

0>0,

i

0,i=1,2,…,p,是为了保证条件方差函数ht=S2(yt-1,yt-2,…)>0.限制

0>0,而不是

0

0,这是为了保证模型(1.5)(1.6)有平稳解.ARCH模型专题在对ARCH模型的理论研究和应用中,人们自然会发问:在2.2式中,yt的条件方差S2(yt-1,yt-2,…)

ht=

0+

1yt-12+

2yt-22+…+

pyt-p2,只依赖于p个历史值,能否考虑依赖全部历史值的情况?Bollerslev(1986)给出了回答,他提出了如下的更广的模型,即GARCH模型:yt=S(yt-1,yt-2,…)

t

ht1/2

t,(2.3)ht=

0+

1yt-12+

2yt-22+…+

pyt-p2+

1ht-1+…+

qht-q,(2.4)

0>0,

i

0,i=1,2,…,p;

j

0,j=1,2,…,q.(2.5)其中{

t}为i.i.d.的N(0,1)分布,且

t与{yt-1,yt-2,…}独立.GARCH模型ARCH模型专题其一,利用(1.12)式反复迭代可得知,ht=S2(yt-1,yt-2,…)确实依赖序列的全部历史值,但是,ht仅依赖有限个参数.其二,在1997年诺贝尔经济学奖,被两位研究期权定价理论的Black-Scholes方程的学者获得.从理论上人们发现,Black-Scholes方程的解是连续时间变化的随机过程,对它进行等间隔离散化采样,所得到的序列,恰好满足GARCH模型.于是,GARCH模型更被认可,而且,金融界特别偏爱GARCH模型.其三,如前所述,(1.13)式的条件

0>0,仍不能放宽为

0

0.而且,(1.13)式中的条件

i

0,i=1,2,…,p,还应附加一个限制:

1+

2+…+

p>0,ARCH模型专题你拥有序列观测值y1,y2,…,yn,如果要为它们建立ARCH（GARCH)模型,将面对着下列问题:（1）为什么要建立GARCH模型?（2）用多少阶数的模型?（3）怎样获得模型的参数值?回答了这些问题,就解决了为GARCH模型建模的问题.ARCH模型专题最小二乘法估计极大似然估计三、ARCH模型参数估计ARCH模型专题根据观测数据y1,y2,…,yn,判断所要拟合的模型是否适用,称为模型检验.模型检验,有在建立模型前进行的,有在之后进行的.对于GARCH模型来说,在为数据y1,y2,…,yn建立GARCH模型前,首先应当判断有没有必要.如前言所说到,平稳序列的条件方差S(yt,yt-1,…)可能是常数值,此时就不必建立GARCH模型.于是判断条件方差S(yt,yt-1,…)是否为常数,就应当在建模前完成.即使经判断后,条件方差不是常数,它也未必满足GARCH模型.