第4讲 二次求导的目的及处理

第4讲二次求导的目的及处理一、问题综述在历年高考试题中，导数部分是高考重点考查的内容，在六道解答题中必有一题是导数题．这类题主要考察函数的单调性、求函数的极值与最值以及利用导数的有关知识解决恒成立、不等式证明等问题．解决这类题的常规解题步骤为：①求函数的定义域；②求函数的导数；③求的零点；④列出的变化关系表；⑤根据列表解答问题．而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出导函数的符号，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻．若遇这类问题，则可试用求函数的二阶导数加以解决．本文试以以下题目为例，说明函数的二阶导数在解高考函数题中的应用．二、典例分析【例1】已知函数，证明：当时，．解析：，(无法求根也无法判断正负)，令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，，所以在上单调递增，即．例题2当时，证明：．证明：令,则，而，当时，，∴在上递减，即，从而在(0,1)递减，∴f(x)<f(0)=0，从而原不等式得证.Ex:证明:当时,.略解:注意x=1时,原不等式”=”成立,而作F(x)=,则F(1)=0且，从而F(1)=0推出与同号，得证．例题3已知函数，，证明：．证：函数的定义域为．＝－1＝－当x∈（－1，0）时，＞0，当x∈（0，＋∞）时，＜0，因此，当时，≤，即≤0∴．令则＝．∴当x∈（－1，0）时，＜0，当x∈（0，＋∞）时，＞0．∴当时，≥，即≥0，∴．综上可知，当时，有．例题4已知函数，若对任意，恒成立，求正整数的值．解析：问题可转化为当时，恒成立，设，令，所以在定义域内单调递增，（没有用）………………..注意二阶导失灵了，所以存在使得，当，单调递减，当，单调递增，=1\*GB3①又因为=2\*GB3②由由=1\*GB3①=2\*GB3②得，所以．例题5设函数，，证明．解析：，令，，，所以在上单调递增，（此时二阶导失效），因为且在单调，因此在定义域内有且只有一个零点设为，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以=1\*GB3①=2\*GB3②=1\*GB3①=2\*GB3②联立可得，所以，即.例题6.（全国卷Ⅰ第20题）已知函数.若，求的取值范围；证明：.原解答如下:解（1）函数的定义域为（0，+∞），，，.令从而当时，，故所求的范围是[-1,+∞﹚.证明(2)由(1)知,,则①时，；②.综上可知，不等式成立.对于（2）的证明，虽然过程简单，但思维难度大，对学生的观察能力和代数式的变形能力要求较高．我们可以运用二阶导数的方法加以证明：证法二:令.因，显然当时，，当时，，在（0,1﹚递减；当时，，的符号仍不能判定，求二阶导数得，从而在时递增，，在[1,+∞﹚递增，所以当时，，故成立，原不等式成立.例题7（2010年高考数学全国卷Ⅱ（22）小题）设函数．（Ⅰ）证明：当时，；（Ⅱ）设当时，，求的取值范围．（原解答略）在原解答第（Ⅱ）问的解答中，用到了放缩代换，对考生的数学素质和解题能力要求很高，极少有考生能达到那样的要求.若用求二阶导数求解，则别有一番天地.（Ⅱ）解法二：由题设，若，则当；若.令，，,∵,∴，∴即原不等式成立.当从而当此时，∴.综上可知，.例题8【理·2010安徽卷第17题】设为实数，函数．（Ⅰ）求的单调区间与极值；（Ⅱ）求证：当＞且＞时，＞．解析：第一问很常规，我们直接看第二问．首先要构造一个新函数，如果这一着就想不到，那没辙了．然后求导，结果见下表．，继续对求导得减极小值增由上表可知，而，由＞知＞，所以＞，即在区间上为增函数．于是有＞，而，故＞，即当＞且＞时，＞．例题9已知，当时，恒成立，求实数的取值范围．解析：，则在上恒成立令，则令，则当时，恒成立，即所以，在上单调递增，所以

针对训练：1、（2010年新课标全国卷第（21）题）：设函数．（1）若，求的单调区间；（2）若当时，求的取值范围2、（2008年湖南高考题改编）：已知函数，求函数的单调区间．