广东省湛江市雷州东里第二中学2022年高三数学文下学期摸底试题含解析

广东省湛江市雷州东里第二中学2022年高三数学文下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中有误的是（

）A.成绩在[70,80]分的考生人数最多B.不及格的考生人数为1000人C.考生竞赛成绩的平均分约70.5分D.考生竞赛成绩的中位数为75分参考答案：D【分析】根据频率分布直方图中数据，逐项判断即可得出结果.【详解】A选项，由频率分布直方图可得，成绩在的频率最高，因此考生人数最多，故A正确；B选项，由频率分布直方图可得，成绩在的频率为，因此，不及格的人数为，即B正确；C选项，由频率分布直方图可得：平均分等于，即C正确；D选项，因为成绩在频率为，由的频率为，所以中位数为，故D错误.故选D【点睛】本题主要考查频率分布直方图，会分析频率分布直方图即可，属于常考题型.2.已知集合，,则A．

B．C．

D．参考答案：D3.已知集合，则A∪B=（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B求解一元二次不等式可得，据此可知，选项A错误；，选项B正确；集合AB之间不具有包含关系，选项CD错误；本题选择B选项.

4.已知集合，，则集合不可能是（

）A.

B.C.

D.参考答案：D集合,对于A,，满足；对于B,集合为点集，满足；对于C，，满足；对于D，,，故选D.5.设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（

）A．B．C．D．参考答案：D根据线面垂直的性质可知选项D正确。6.已知a，b，c为三条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列说法正确的是（

）A.若，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，，，则参考答案：D【分析】由空间线面、面面平行的性质和判定逐一判断各选项即可.【详解】A,若，,则或，故A不正确.B,若，，，则或与相交，故B不正确.C，若，，则或，故C不正确.D,如图，由可得，易证，故D正确.【点睛】本题考查空间线面的位置关系.使用空间线面、面面平行(垂直)的判定定理和性质定理时，一定要保证条件完整才能推出结论.7.已知等差数列{an}的公差为d（d≠0），且a3+a6+a10+a13=32，若am=8，则m为(

) A．12 B．8 C．6 D．4参考答案：B考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：根据a3+a6+a10+a13中各项下标的特点，发现有3+13=6+10=16，优先考虑等差数列的性质去解．解答： 解：a3+a6+a10+a13=32即（a3+a13）+（a6+a10）=32，根据等差数列的性质得2a8+2a8=32，a8=8，∴m=8故选：B．点评：本题考查了等差数列的性质．掌握等差数列的有关性质，在计算时能够减少运算量，凸显问题的趣味性．8.复数的共扼复数表示的点在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限

D．第四象限参考答案：C9.某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为……（） A． B． C． D．参考答案：A6节课共有种排法.语文、数学、外语三门文化课中间隔1节艺术课有种排法，三门文化课中、都相邻有种排法，三门文化课中有两门相邻有，故所有的排法有，所以相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为,选A.

10.椭圆x2＋my2＝1的离心率为，则m的值为()A．2或

B．2

C．4或

D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.存在两条直线与双曲线相交于四点A，B，C，D，且四边形ABCD为正方形，则双曲线的离心率的取值范围为__________。参考答案：12.如图，在三棱锥P-ABC中，△PAC，△ABC都是边长为6的等边三角形，若二面角P-AC-B的大小为120°，则三棱锥P-ABC外接球的面积为

.参考答案：84π13.已知圆C过点，且与圆M:关于直线对称.若Q为圆C上的一个动点，则的最小值为 .参考答案：－4设圆心C，则，解得，则圆C的方程为，将点的坐标代入得，故圆C的方程为，设，则，且==，法一：令，，则≥-2法二：令，则，所以≥-4，的最小值为;14.右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是

．参考答案：记其中被污损的数字为，由题知甲的5次综合测评的平均成绩是，乙的5次综合测评的平均成绩是，令，解得，即的取值可以是，因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是。15.已知函数，若，则实数a的取值范围是

；参考答案：因函数为增函数，且为奇函数，，，解得.

16.已知数列满足，且，则的值是

参考答案：5略17.若变量，满足，的最大值为，则实数

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝x－ln(x＋a)的最小值为0，其中a＞0.(1)求a的值；(2)若对任意的x∈[0，＋∞)，有f(x)≤kx2成立，求实数k的最小值；参考答案：(1)f(x)的定义域为(－a，＋∞)．.………2分由f′(x)＝0，得x＝1－a＞－a.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－a,1－a)1－a(1－a，＋∞)f′(x)－0＋f(x)极小值因此，f(x)在x＝1－a处取得最小值，故由题意f(1－a)＝1－a＝0，所以a＝1.………5分(2)当k≤0时，取x＝1，有f(1)＝1－ln2＞0，故k≤0不合题意．

………6分当k＞0时，令g(x)＝f(x)－kx2，即g(x)＝x－ln(x＋1)－kx2.g′(x)＝－2kx＝.令g′(x)＝0，得x1＝0，x2＝＞－1.………8分①当k≥时，≤0，g′(x)＜0在(0，＋∞)上恒成立，因此g(x)在[0，＋∞)上单调递减，从而对任意的x∈[0，＋∞)，总有g(x)≤g(0)＝0，即f(x)≤kx2在[0，＋∞)上恒成立，故k≥符合题意．………10分综上，k的最小值为.

………12分19.（本题满分16分）和都是定义在集合上的函数,对于任意的，都有成立，称函数与在上互为“函数”.（1）若函数，，与互为“函数”,证明：.（2）若集合，函数，，判断函数与在上是否互为“

函数”，并说明理由.（3）函数(，在集合上互为“函数”,求的取值范围及集合.参考答案：（1）证明：函数与互为“函数“,则对于,

恒成立.即在上恒成立………………2分化简得………………2分所以当时，，即…1分（2）假设函数与互为“函数”，则对于任意的

恒成立.即，对于任意恒成立…2分.当时，.不妨取，则，所以………………2分

所以假设不成立，在集合上，函数与不是互为“函数”………1分.（3）由题意得，（且）………2分

变形得，，由于且

，因为，所以，即………2分

此时，集合………2分20.如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，BF⊥AE，F是垂足．（1）求证：BF⊥AC；（2）若CE=1，∠CBE=30°，求三棱锥F﹣BCE的体积．参考答案：考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：（1）欲证BF⊥AC，先证BF⊥平面AEC，根据线面垂直的判定定理可知只需证CE⊥BF，BF⊥AE且CE∩AE=E，即可证得线面垂直；（2）VF﹣BCE=VC﹣BEF=?S△BEF?CE=??EF?BF?CE，即可求出三棱锥F﹣BCE的体积．解答： （1）证明：∵AB⊥平面BEC，CE?平面BEC，∴AB⊥CE∵BC为圆的直径，∴BE⊥CE．∵BE?平面ABE，AB?平面ABE，BE∩AB=B∴CE⊥平面ABE，∵BF?平面ABE，∴CE⊥BF，又BF⊥AE且CE∩AE=E，∴BF⊥平面AEC，∵AC?平面AEC，∴BF⊥AC…（2）解：在Rt△BEC中，∵CE=1，∠CBE=30°∴BE=，BC=2又∵ABCD为正方形，∴AB=2，∴AE=，∴BF?AE=AB?BE，∴BF=，∴EF=∴VF﹣BCE=VC﹣BEF=?S△BEF?CE=??EF?BF?CE=????1=…点评：本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力，考查三棱锥F﹣BCE的体积的计算，属于中档题．21.已知函数f（x）=|x+2|﹣m，m∈R，且f（x）≤0的解集为[﹣3，﹣1]（1）求m的值；（2）设a、b、c为正数，且a+b+c=m，求.++的最大值．参考答案：【考点】RA：二维形式的柯西不等式；R4：绝对值三角不等式．【分析】（1）由题意，|x+2|≤m?，由f（x）≤0的解集为[﹣3，﹣1]，得，即可求实数m的值；（2）由（1）得：a+b+c=1，再利用柯西不等式求得++的最小值．【解答】解：（1）由题意，|x+2|≤m?，由f（x）≤0的解集为[﹣3，﹣1]，得，解得m=1；（2）由（1）可得a+b+c=1，由柯西不等式可得（3a+1+3b+1+3c+1）（12+12+12]≥（++）2，∴.++当且仅当.==，即a=b=c=时等号成立，∴++的最小值为3．【点评】本题主要考查绝对值三角不等式、柯西不等式的应用，属于基础题．22.（12分）如图是某几何体的直观图与三视图的侧视图、俯视图.在直观图中，2BN=AE，M是ND的中点.侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示.

（1）在答题纸上的虚线框内画出该几何体的正视图，并标上数据；

（2）求证：EM∥平面ABC；

（3）求证：平面NDE⊥平面CEM.

参考答案：解析：（1）正视图如图所示.（注：不标中间实线扣1分）………………2分

（2）证明：俯视图和侧视图，得∠CAB=90°，

DC=3，CA=AB=2，EA=2，BN=1，EA⊥ABC，

EA∥DC∥NB.取BC的中点F，连接FM、EM，

则FM∥DC∥EA，且FM=（BN+DC）=2.…4分∴FM平行且等于EA，∴四边形EAFM是平行四边形，∴AF∥EM，又AF平面ABC，∴EM平面ABC.……