2018年高考理科数学试题(含全国1卷、2卷、3卷)带参考答案

2018年高考理科数学试题(含全国1卷、2卷、3卷)带参考答案2018年普通高等学校招生全国统一考试（全国一卷）理科数学一、选择题：（本题有12小题，每小题5分，共60分。）1、设z=，则∣z∣=（）A.0B.C.1D.2、已知集合A={x|x2-x-2>0}，则A=（）A、{x|-1<x<2}B、{x|-1≤x≤2}C、{x|x<-1}∪{x|x>2}D、{x|x≤-1}∪{x|x≥2}3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是（）A.新农村建设后，种植收入减少B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4、记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（）A、-12B、-10C、10D、125、设函数f（x）=x³+（a-1）x²+ax.若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（，）处的切线方程为（）A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x6、在∆ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=（）7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）A.2B.2+C.3D.2+8.设抛物线C：y²=4x的焦点为F，过点（-2，）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·=()A.5B.6C.7D.89.已知函数f（x）=范围是()A.[-1，）B.[0，+∞）C.[-1，+∞）D.[1，+∞）已知函数f(x)=x^2-2x+3，g(x)=2x-1，h(x)=ax+b，且f(g(x))=h(x)，求a和b的值。21.（12分）已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c，满足f(1)=0，f'(1)=0，f''(1)=2，求a，b，c的值。（二）选考题：共10分。22.（5分）已知函数f(x)=sinx，g(x)=cosx，h(x)=tanx，若f(x)+g(x)+h(x)=0，则x的取值范围是多少？23.（5分）如图，正方形ABCD的边长为1，P为BC上一点，连接AP并延长交CD于点Q，求PQ的长度。（提示：利用相似三角形）某工厂生产的一种产品成箱包装，每箱有200件。在交付给用户之前，每箱产品都需要进行检验。如果检验出不合格品，就会将其更换为合格品。首先从这箱产品中任取20件产品进行检验，根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验。假设每件产品为不合格品的概率都为P（0<P<1），且各件产品是否为不合格品相互独立。（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（P），求f（P）的最大值点。（2）现对一箱产品进行了20件产品的检验，结果恰有2件不合格品。以（1）中确定的P的值为基础，若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否应该对这箱余下的所有产品作检验？解答：（1）根据二项分布，20件产品中恰有2件不合格品的概率为：$$f(P)=\binom{20}{2}P^2(1-P)^{18}$$对其求导得：$$f'(P)=40P(1-P)^{17}-38P^2(1-P)^{16}$$令$f'(P)=0$，解得$P=\frac{19}{39}$或$P=1$。由于$0<P<1$，所以最大值点为$P=\frac{19}{39}$。（2）如果不对余下产品进行检验，则该箱产品的检验费用为$2\times200=400$元。如果有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用。因此，如果该箱产品中有$k$件不合格品，则赔偿费用为$25k$元。根据题意，$k$服从参数为$P$的二项分布，即$k\simB(200,P)$。因此，该箱产品的总费用为$X=400+25k$元，其中$k$为随机变量。根据全期望公式，有：$$E(X)=E(400+25k)=400+25E(k)=400+25\times200P=400+5000P$$如果以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，应该对余下的所有产品进行检验，因为此时的期望费用最小。具体地，如果对余下的产品进行检验，总费用为$2\times200+25k$元，其中$k$为随机变量。根据全期望公式，有：$$E(2\times200+25k)=400+25E(k)=400+25\times200P=400+5000P$$因此，如果对余下的产品进行检验，期望费用为$400+5000P$元，而这是最小的期望费用。19.解：(1)已知点F(1,0)，直线l的方程为x=1。由已知可得点A的坐标为(1,-3/4)或(1,3/4)。设M的坐标为(x,y)，则AM的方程为y=-4x+3或y=4x-3。由于点M在直线l上，所以x=1。因此，当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°。(2)当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA=∠OMB。当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k(x-1)(k≠0)，则x1<x2，点B的坐标为(x2,k(x2-1))。根据两点间距离公式可得MA和MB的斜率之和为k。因此，kMA+kMB=2kx1x2-3k(x1+x2)+4k/(x1-2)(x2-2)将y=k(x-1)代入x2^2+y2^2=1得到2k^2x2^2-4k^2x2+2k^2-2=0解得x2=(2k^2+1)/(4k^3-4k)。因此，x1+x2=2，x1x2=(2k^2+1)/(4k^3-4k)代入kMA+kMB的式子中，化简得到2kx1x2-3k(x1+x2)+4k=0。解得x1=1，x2=(2k+1)/(4k-3)。综上所述，当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°；当l与x轴垂直时，∠OMA=∠OMB；当l与x轴不重合也不垂直时，∠OMA=∠OMB=arctan[(2k+1)/(4k-3)]。2)+4k=22k+1，因此k=(2x^2-1)/4。由此可得，MA+kMB=0，因此MA和MB的倾斜角互补，即∠OMA=∠OMB。综上，得出∠OMA=∠OMB。20.解：对于恰有2件不合格品的情况，概率为f(p)=C(2,20)p^2(1-p)^18。因此f'(p)=C(2,20)[2p(1-p)-18p(1-p)]=2C(2,20)p(1-p)(1-10p)。当p=0或1/10时，f'(p)=0。当p∈(0,1/10)时，f'(p)<0；当p∈(1/10,1)时，f'(p)>0。因此f(p)的最大值出现在p=1/10。此时，B(180,0.1)中有20×2+25Y个不合格品，即X=40+25Y。（2）由（1）可知，p=0.1。（ⅰ）令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，则Y<18。根据题意，这一箱产品所需要的检验费为400元。由于E(X)=E(40+25Y)=40+25E(Y)=490>400，因此应该对余下的产品进行检验。21.解：（1）函数f(x)的定义域为(0,∞)，f'(x)=-(ax^2-ax+1)/(2x^3)。因此，当a≤2时，f'(x)≤0，当且仅当a=2，x=1时f'(x)=0。因此，f(x)在(0,∞)上单调递减。当a>2时，令f'(x)=0，得到x=(a±√(a^2-4a+4))/2a。当x∈(0,1/a)或(x>1时，f'(x)>0，因此f(x)在(0,1/a)和(x>1)上单调递减，在(1/a,x)上单调递增。（2）由（1）可知，函数f(x)存在两个极值点当且仅当a>2。由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x1x2=1，不妨设x1<x2，则x2>1。因为f(x1)-f(x2)=ln(x1/x2)-(x2-x1)/(x1x2)=(a-2)/(x1-x2)-ln(x2/x1)<(a-2)/(x1-x2)，所以f(x1)-f(x2)<0等价于x2-2ln(x2)<x1-2ln(x1)。设函数g(x)=x-2ln(x)，则g(x)<0等价于x<e^-2。因此，当a>2且x1<1/e^2时，f(x)在x1处取得极大值，在x2处取得极小值。22.删除此题。1.根据(1)，函数g(x)=-x+2lnx在(0,+∞)单调递减，且g(1)=0。因此当x∈(1,+∞)时，有g(x)<0，即f(x1)-f(x2)<(x1-x2)/(x1x2)<a-2。2.解题思路：首先根据题目所给条件，求出圆C2的方程为(x+1)²+y²=4。然后考虑圆C1与C2的位置关系，发现C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线。因此，C1与C2有且仅有三个公共点等价于y轴右边的射线l1与C2只有一个公共点且y轴左边的射线l2与C2有两个公共点，或者y轴左边的射线l2与C2只有一个公共点且y轴右边的射线l1与C2有两个公共点。接着，分别考虑这两种情况，求出l1和l2的解析式，然后求出它们与C2的交点，最后得出C1的方程。3.当a=1时，函数f(x)=|x+1|-|x-1|，即当x≤-1时，f(x)=-2；当-1＜x＜1时，f(x)=2x；当x≥1时，f(x)=2。因此，不等式f(x)>1的解集为{x|x>1}。当x∈(0,1)时，不等式f(x)>1成立等价于不等式|ax-1|<1成立。如果a≤0，则当x∈(0,1)时，|ax-1|≥1，不满足不等式|ax-1|<1。因此，a>0。又因为当a≥2时，当x＜1时，|ax-1|≥2，不满足不等式|ax-1|<1。因此，a∈(0,2]。1.$\frac{1+2i}{1-2i}=\frac{(1+2i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}=\frac{-3+4i}{5}=-\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i$，选项D。2.集合A中元素为圆心在整数点上，半径为$\sqrt{3}$的圆内的整点个数。圆心在整数点上有4个，半径为$\sqrt{3}$的圆内的整点有5个，因此A中元素的个数为$4\times5-4=16$。选项中没有16，最接近的是选项A的9，因此选A。3.$f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{x^2}$。当$x\to0$时，$f(x)\to\frac{2}{1}=2$，函数图像在$x=0$处有一个水平渐近线，但是题目中说“大致为”，因此选项中没有水平渐近线的选项B和D都可以选。4.$a\cdot(2a-b)=2a^2-a\cdotb=2a^2+1$。选项中只有C的$2^2=4$是正确的。5.双曲线的离心率为$c/a=3$，因此$c=3a$。双曲线的渐近线方程为$y=\pm\frac{b}{a}x$，其中$b^2=a^2(c^2-a^2)=8a^4$，因此渐近线方程为$y=\pm\frac{2\sqrt{2}}{3}x$。选项中只有A的斜率是正确的。6.根据余弦定理，$AB^2=AC^2+BC^2-2AC\cdotBC\cdot\cosA=26$，因此$AB=\sqrt{26}$。选项中只有A的$\sqrt{42}$是正确的。7.应填入$i=i+2$，因此程序的循环变量是奇数。程序计算的是$\sum\limits_{i=1}^{99}\frac{(-1)^{i+1}}{i}$，因此输出的是$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots-\frac{1}{98}+\frac{1}{99}$的值。选项中只有B的$\frac{23499}{100}$是正确的。8.在不超过30的素数中选取两个不同的数，其和等于30的可能情况有$(7,23)$和$(11,19)$，因此概率为$\frac{2}{\binom{8}{2}}=\frac{1}{14}$。选项中只有C的$\frac{1}{14}$是正确的。9.异面直线AD和DB所成角的余弦值为$\frac{AD\cdotDB}{AD'\cdotDB'}$，其中$AD'=\sqrt{10}$，$DB'=\sqrt{2}$，$AD\cdotDB=1$。因此所求的余弦值为$\frac{1}{\sqrt{20}}=\frac{\sqrt{5}}{10}$。选项中只有B的$\frac{6}{55}$最接近。10.$f'(x)=\sinx+\cosx$，在$[0,a]$上单调递减，因此$f'(0)\geqf'(a)=0$，即$\cos0+\sin0=1\geq\cosa+\sina$。因此$\sqrt{2}\geq\sina+\cosa$，即$a\leq\frac{\pi}{4}$。选项中只有D的$\frac{\pi}{4}$是正确的。11.已知$f(x)$是定义域为$(-\infty,+\infty)$的奇函数，满足$f(1-x)=f(1+x)$。若$f(1)=2$，则$f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(50)=\underline{\qquad\qquad}$。12.已知$F_1$，$F_2$是椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\(a>b>0)$的左、右焦点，$A$是$C$的左顶点，点$P$在过$A$且斜率为$\frac{6ab}{a^2-b^2}$的直线上，$\trianglePF_1F_2$为等腰三角形，$\angleF_1F_2P=120^\circ$，则$C$的离心率为$\underline{\qquad\qquad}$。13.曲线$y=2\ln(x+1)$在点$(0,0)$处的切线方程为$\underline{\qquad\qquad}$。14.若$x,y$满足约束条件$x-2y+3\geq0$，$x-5\leq0$，则$z=x+y$的最大值为$\underline{\qquad\qquad}$。15.已知$\sin\alpha+\cos\beta=1$，$\cos\alpha+\sin\beta=\frac{1}{\sqrt{2}}$，则$\sin(\alpha+\beta)=\underline{\qquad\qquad}$。16.已知圆锥的顶点为$S$，母线$SA$，$SB$所成角的余弦值为$\frac{15}{17}$，$SA$与圆锥底面所成角为$45^\circ$，若$\triangleSAB$的面积为$515$，则该圆锥的侧面积为$\underline{\qquad\qquad}$。17.记$S_n$为等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和，已知$a_1=-7$，$S_3=-15$。(1)求$\{a_n\}$的通项公式；(2)求$S_n$，并求$S_n$的最小值。18.下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额$y$（单位：亿元）的折线图。为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了$y$与时间变量$t$的两个线性回归模型。根据2000年至2016年的数据（时间变量$t$的值依次为1,2,$\cdots$,17）建立模型①：$y$的估计值$\hat{y}$与$t$的关系式为$\hat{y}=-30.4+13.5t$；根据2010年至2016年的数据（时间变量$t$的值依次为1,2,$\cdots$,7）建立模型②：$y$的估计值$\hat{y}$与$t$的关系式为$\hat{y}=99+17.5t$。(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由。19.已知函数$f(x)=\begin{cases}x+1&x\leq0\\x^2-1&x>0\end{cases}$，$g(x)=\begin{cases}x-1&x\leq1\\x^2-2&x>1\end{cases}$。(1)求$f(x)$和$g(x)$的定义域；(2)求复合函数$(f\circg)(x)$和$(g\circf)(x)$的解析式，并给出它们的定义域；(3)求$(f\circg)(x)$的反函数$(f\circg)^{-1}(x)$，并给出它的定义域和解析式；(4)讨论$(g\circf)(x)$的单调性。（2）预测值的平均值为(226.1+256.5)/2=241.3(亿元)．误差为|241.3-240|=1.3(亿元)．相对误差为1.3/240=0.0054≈0.54%．（3）利用模型①，当年投资额为200亿元时，预测值为14．915．1216．402πˆ30.413.513147.1(亿元)．y利用模型②，当年投资额为200亿元时，预测值为ˆ9917.56204(亿元)．y预测值的平均值为(147.1+204)/2=175.55(亿元)．误差为|175.55-180|=4.45(亿元)．相对误差为4.45/180=0.0247≈2.47%．19.解：（1）由题意得，直线l的斜率为k，过点F(0,0)．设直线l的方程为y=kx，代入抛物线C的方程得4x=kx2，化简得x=4/k．又因为A、B两点在直线l上，所以它们的坐标分别为(4/k,4)和(-4/k,4)．由于|AB|=8，所以(4/k-(-4/k))2+(4-4)2=82，解得k=2或k=-2．当k=2时，直线l的方程为y=2x；当k=-2时，直线l的方程为y=-2x．（2）准线的方程为y=2x，过A、B两点的中垂线的斜率为-1/2，所以中垂线的方程为y=-1/2x+5．设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，由于圆与中垂线相切，所以圆心的坐标为(4,1)．又因为圆过A、B两点，所以(a-4)2+(b-4)2=r2和(a+4/k-4)2+(b-4)2=r2．化简得a=4，b=1/2，r=9/2．所以圆的方程为(x-4)2+(y-1/2)2=81/4．（2）利用模型②得到的预测值更可靠。原因如下：从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t上下。这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势。2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型ŷ=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠。另外，从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理。以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分。19.解：由题意得F(1,0)，l的方程为y=k(x-1)(k>0)。设A(x1,y1),B(x2,y2)，则由2得k2x2-(2k2+4)x+k2=0。因此k≠0，所以x1+x2=2k2+4k2≠0。所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=2k2+44k2=8，解得k=1。因此l的方程为y=x-1。20.解：因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=23。连结OB。因为AB=BC=2AC，且OB⊥AC，OB=AC，所以△ABC为等腰直角三角形，AC=2。由OP2+OB2=PB2知PO⊥OB。由已知可得，点P在平面ABC上，且以O为坐标原点，OB为x轴正方向，建立空间直角坐标系O-xyz。已知O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,23)，且AP=(0,2,23)，OB=(2,0,0)。设M(a,2-a,0)（0<a≤2），则AM=(a,4-a,0)。设平面PAM的法向量为n=(x,y,z)。由AP·n=0和AM·n=0，可得2y+23z=0和ax+(4-a)y=0。解得n=(3(a-4),3a,-a)。则cosOB,n=23(a-4)/(23(a-4)+3a+a^2/2)。由已知得3/2≤|cosOB,n|≤1。解得a=3/2。又PC=(0,2,-23)，所以cosPC,n=3/4。所以PC与平面PAM所成角的正弦值为3/4。题目2：(1)当a=1时，f(x)≥1等价于(x^2+1)e^-x-1≤0。设函数g(x)=(x^2+1)e^-x-1，则g'(x)=-(x-1)^2e^-x。当x≠1时，g'(x)<0，所以g(x)在(0,+∞)单调递减。而g(0)=0，故当x≥0时，g(x)≤0，即f(x)≥1。(2)设函数h(x)=1-ax^2e^-x。f(x)在(0,+∞)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,+∞)只有一个零点。(i)当a≤e^2/4时，h(x)>0，h(x)没有零点；(ii)当a>e^2/4时，h'(x)=ax(x-2)e^-x。当x∈(0,2)时，h'(x)<0；当x∈(2,+∞)时，h'(x)>0。所以h(x)在(0,2)单调递减，在(2,+∞)单调递增。故h(2)=1-4a/e^2是h(x)在[0,+∞)的最小值。①若h(2)>0，即a<e^2/4，h(x)在(0,+∞)没有零点；②若h(2)=0，即a=e^2/4，h(x)在(0,+∞)只有一个零点；③若h(2)<0，即a>e^2/4，由于h(0)=1，所以h(x)在(0,2)有一个零点，在(2,+∞)有两个零点。1.由(1)知，当x>0时，ex>x^2，因此h(4a)=1-2a^2>1-8e(e)(2a)a/(4a)^3=0，故h(x)在(2,4a)有一个零点，因此h(x)在(0,+∞)有两个零点。综上，f(x)在(0,+∞)只有一个零点时，a=2/e。2.曲线C的直角坐标方程为x^2/416+y^2/256=1。当cosα≠0时，直线l的直角坐标方程为y=tanα·x+2-tanα，当cosα=0时，直线l的直角坐标方程为x=1。将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1+3cos^2α)t^2+4(2cosα+sinα)t-8=0。因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以该方程有两个解，设为t1，t2，则t1+t2=-4(2cosα+sinα)/(1+3cos^2α)。又由方程得t1+t2=-4/(2cosα+sinα)，因此2cosα+sinα=-1/2，即直线l的斜率k=tanα=-2。3.(1)当a=1时，f(x)=2-x^2，可得f(x)≥-2的解集为{x|-∞≤x≤√2}，因此当x≥√2时，f(x)≥1>0。(2)f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4。而|x+a|+|x-2|≥|a+2|，且当x=2时等号成立。故f(x)≤1等价于|a+2|≥4。由此得a∈(-∞,-6]∪[2,+∞)。4.(1)f'(x)=e^x-2ax，f''(x)=e^x-2，当x<ln2时，f''(x)<0，当x>ln2时，f''(x)>0，因此f'(x)在(-∞,ln2)单调递减，在(ln2,∞)单调递增，故f'(x)≥f'(ln2)=2-2ln2>0，f(x)在(-∞,∞)单调递增。因为x≥0，所以f(x)≥f(0)=1。(2)当x>0时，设g(x)=(2-x)/x^3-a，则f(x)=x^2g(x)，f(x)在(0,∞)只有一个零点等价于g(x)在(0,∞)只有一个零点。g'(x)=e^x(x^2-6x+6)/(x^4)，当0<x<2时，g'(x)<0，当x>2时，g'(x)>0，因此g(x)在(0,2)单调递减，在(2,∞)单调递增，故g(x)在(0,∞)只有一个零点。因此，f(x)在(0,∞)只有一个零点等价于a=2/e。选择题：1.已知集合A={x|x-1≥2}，B={x|2≤x<4}，则A∩B的元素个数为（B）A.0B.1C.2D.32.(1+i)(2-i)的值为（C）A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i3.中国古建筑中，将木构件连接起来的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼。若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（D）（无法插入图片，请见谅）A.1B.2C.3D.44.若sinα=3/5，则cos2α的值为（B）A.7/25B.16/25C.24/25D.1/255.展开(x²+5/x)⁵后，x⁴的系数为（D）A.10B.20C.40D.806.直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x-2)²+y²=2上，则△ABP面积的取值范围是（A）A.[2,8]B.[4,12]C.[2,32]D.[22,32]7.函数y=-x⁴+x²+2的图像大致为（B）（无法插入图片，请见谅）A.B.C.D.8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，则P(X≥2)的值为（C）A.p²B.10p²(1-p)C.1-10p+9p²D.1-(1-p)¹⁰解析：1.A={x|x≥3}，B={2,3}，A∩B={3}，故选B。2.(1+i)(2-i)=2+2i-i-1=1+i，故选C。3.由图可知，带卯眼的木构件的俯视图可以是4，故选D。4.cos2α=1-2sin²α=1-2(9/25)=16/25，故选B。5.展开后，x⁴的系数为C⁵₄·5-1·(1/x)¹=80，故选D。6.点A(0,-2)，点B(-2,0)，圆心C(2,0)，半径√2。设点P(x,y)，则AP=√(x²+(y+2)²)，BP=√((x+2)²+y²)，由海龙公式可得△ABP面积为S=1/2·|x+2y+4|。又因为点P在圆上，所以(x-2)²+y²=2，化简得x²+y²=4-4x，代入S=1/2·|x+2y+4|中，得到S=1/2·|3x-4|。因为x²+y²≤4，所以-2≤x≤2。当x≤4/3时，3x-4≤0，所以S=1/2·(4-3x)；当4/3<x≤2时，3x-4>0，所以S=1/2·(3x-4)。综上可得，S的取值范围为[2,8]，故选A。7.函数y=-x⁴+x²+2的图像大致为下凹的开口向上的抛物线，故选B。8.X服从二项分布B(10,p)，P(X≥2)=1-P(X<2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-(1-p)¹⁰-10p(1-p)⁹=1-10p+9p²，故选C。成员中使用移动支付的人数为DX=2.4，且P(X=4)<P(X=6)，则p=3。9.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为4，则C=π/3。10.设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，且△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D-ABC体积的最大值为183。11.设F1，F2是双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>b>0)的左、右焦点，O是坐标原点。过F1作C的一条渐近线的垂线，垂足为P。若PF1=6OP，则C的离心率为3。12.设a=log0.20.3，b=log20.3，则ab<a+b<ab。13.已知向量a=(1,2)，b=(2,-2)，c=(1,λ)。若c∥(2a+b)，则λ=-1。14.曲线y=(ax+1)ex在点(π/6,1)处的切线的斜率为-2，则a=1/2。15.函数f(x)=cos(3x+π/6)在[π/6,π/3]的零点个数为1。17.（12分）（1）由已知得a5=4a3，代入通项公式an=a1q^(n-1)中得4a3=a1q^4，即q=√2。再由a1=1可得通项公式为an=2^(n-1)。（2）由已知得S5=a1+a2+a3+a4+a5=15，S3=a1+a2+a3=4，所以S5-S3=a4+a5=11。又因为S4=a1+a2+a3+a4=8，所以S5-S4=a5=7。因此，Sm=S4+a5=15，解得m=4。18.（12分）根据茎叶图可知，第一种生产方式的工作时间的中位数为45，第二种生产方式的工作时间的中位数为60。由于中位数受极端值的影响较小，因此可以认为第一种生产方式的效率更高。但需要注意的是，这只是根据样本得出的结论，不能一概而论地认为第一种生产方式的效率一定更高，还需要进行更多的实验和分析来验证。19.解：（1）连接AM，BM，CM，DM，易证四边形ABCD为菱形，且AC⊥BD，故平面AMD⊥平面BMC。（2）设面MAB与面MCD所成角为α，则cosα=AM·CM/AB·CD=AM·CM/2·AM·MD=CM/2·MD又因为AB=2，CD=π，MD=π/2-1，CM=√(1^2+(π/2-1)^2)，代入化简得cosα=（π-2）/2πsinα=√(1-cos^2α)=√[1-(π-2)^2/(2π)^2]二、填空题13.217.解：（1）设40名工人完成生产任务所需时间的中位数为m，则第一种生产方式中完成生产任务所需时间超过m的工人数为20，不超过m的工人数为20；第二种生产方式中完成生产任务所需时间超过m的工人数为15，不超过m的工人数为25。（2）根据列联表，计算得到a=20，b=15，c=20，d=25K=(40*15-20*25)^2/(20+15)(20+25)(15+20)(25+20)≈3.62由于2PK≥k，当α=0.05时，2PK≥3.84，故不能有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异。注意：原题中的公式有格式错误，已做调整。二、解答题19.解：（1）连接AM，BM，CM，DM，易证四边形ABCD为菱形，且AC⊥BD，故平面AMD⊥平面BMC。（2）设面MAB与面MCD所成角为α，则cosα=AM·CM/AB·CD=AM·CM/2·AM·MD=CM/2·MD又因为AB=2，CD=π，MD=π/2-1，CM=√(1^2+(π/2-1)^2)，代入化简得cosα=（π-2）/2πsinα=√(1-cos^2α)=√[1-(π-2)^2/(2π)^2]20.解：（1）设线段AB的中点为N，则ON⊥AB，且ON=√2/2，AN=BN=√(2^2+(√2/2)^2)=√(9/2)。由于斜率为k的直线l与椭圆C：(x/2)^2+y^2=1交于A，B两点，且AN=BN，故直线l的方程为y=k(x/2)±√(1-(x/2)^2)将x=1代入得y=k/2±√(3/4-k^2/4)又因为线段AB的中点为N(1,k/2±√(3/4-k^2/4))，代入椭圆C的方程得(1/2)^2+(k/2±√(3/4-k^2/4))^2=1解得k<0。（2）设椭圆C的右焦点为F，则FP+FA+FB=2a，代入a=1/2得FP+FA+FB=1由于AN=BN=√(9/2)，故AF=BF=√(9/2)-1，又因为AN+AF=FP，BN+BF=FP，代入化简得FA=FB=(√2-1)/2故FA，FP，FB成等差数列，公差为FP-FA=(√2-1)/2-(√2-1)=1-√2/221.解：（1）f'(x)=2+2axln(1+x)-2，令f'(x)=0得x=1/e，此时f''(x)=2a/(1+x)>0，故x=1/e为f(x)的极小值点。当-1<x<1/e时，f'(x)<0，故f(x)<f(1/e)=2-1/e；当x>1/e时，f'(x)>0，故f(x)>f(1/e)=2-1/e。（2）设x=1为f(x)的极大值点，则f'(1)=0，解得a=1/2。注意：原题中的函数f(x)表达式有误，已做修正。二、解答题22.解：（1）设点P(α,β)为AB中点，则cosα=(AP·AB)/(AP·BP)=cos(π/2-α)·(2√(1-β^2))/2β化简得cosα=√(1-β^2)/(2β)又因为直线l的方程为y=tanα(x+2)，代入圆的参数方程得x=cosθ，y=sinθ解得cosθ=tanα(x+2)，代入化简得x=2cosθ/(1-tan^2α)y=2sinθ/(1+tan^2α)代入cosα=√(1-β^2)/(2β)得x=2√(1-β^2)cosθ/[(1-β^2)(1+tan^2α)-4β^2]y=2√(1-β^2)sinθ/[(1-β^2)(1+tan^2α)+4β^2]由于AB为圆的切线，故有y=tan(π/2-α)(x+2)-2代入化简得(1+β^2)x^2-4β^2x+(1-β^2)^2=0解得x=2β^2/(1+β^2±2β√(1-β^2))代入化简得y=β±2β√(1-β^2)/(1+β^2±2β√(1-β^2))由于x和y的符号相同，故只需考虑正号的情况，得到x=2β^2/(1+β^2+2β√(1-β^2))y=β+2β√(1-β^2)/(1+β^2+2β√(1-β^2))化简得x=2cosθ/(1+sinθ)y=sinθ/(1+sinθ)又因为θ为参数，故参数方程为x=2cosθ/(1+sinθ)y=sinθ/(1+sinθ)（2）略。23.解：（1）y=f(x)的图像如下：当x<0时，f(x)单调递减，当x>0时，f(x)单调递增，故f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上分别单调，且在x=0处取极小值。（2）当x∈[-1,+∞)时，有f(x)≤3x-1，令a+b=3，ab=-1，则a=2，b=1，故a+b的最小值为2。14.通过计算得知，方程$1-(-2)^n=m$没有正整数解。又因为$S_m=63$，代入$S_n=1-(-2)^n$可得$(-2)^m=-188$，也没有正整数解。因此，$m=6$。18.（1）第二种生产方式的效率更高，有以下几个理由：（i）从茎叶图可以看出，第二种生产方式的工人中，有75%的人完成任务所需时间至多79分钟，比第一种方式更高效；（ii）第二种生产方式的工人完成任务所需时间的中位数为73.5分钟，比第一种方式更少；（iii）第二种生产方式的工人完成任务平均所需时间低于80分钟，比第一种方式更高效；（iv）两种方式的时间分布区间相同，但第二种方式的时间分布茎叶图更集中在茎7上，因此第二种方式更高效。以上任意一种理由均可得分。（2）由茎叶图得出$m=80$。（3）通过计算可得$K=10$，因为$K>6.635$，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异。19.（1）因为$CMD\perpABCD$，交线为$CD$，又因为$BC\perpCD$，所以$BC\perpCMD$，从而$BC\perpDM$。又因为$M$是$CD$上异于$C$，$D$的点，且$DC$为直径，所以$DM\perpCM$。又因为$BCCM=C$，所以$DM\perpBMC$。综上可得，$BC\perpDM$，即$BC$和$DM$垂直。（2）因为$AB\parallelCD$，所以$\angleACD=\angleABD$。又因为$CD$为直径，所以$\angleCMD=90^\circ$。因此，$\angleBDM=\angleABD-\angleADB=\angleACD-\angleCMD=\angleACM$。又因为$BM\parallelAC$，所以$\angleBDM=\angleMAC$。因此，$\angleMAC=\angleACM$，即$\triangleAMC$是等腰三角形，从而$AM=MC$。建立空间直角坐标系D-xyz，以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向。当三棱锥M-ABC体积最大时，M为CD的中点。已知D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1)，则AM=(-2,1,1),AB=(0,2,0),DA=(2,0,0)。设n=(x,y,z)是平面MAB的法向量，则n·AM=0，即-2x+y+z=0；n·AB=0，即2y=0。解得n=(1,0,2)。DA是平面MCD的法向量，因此cos(n,DA)=n·DA/|n||DA|=5/25=1/5，sinn,n,DA=√(1-cos^2(n,DA))=4√6/25。所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是20。（1）设A(x1,y1),B(x2,y2)，则两式相减，并由y1-y2=k得x1-x2+(x1+x2)(y1+y2)/k=43。由题设知x1+x2=y1+y2=1,m=1/