第三章-刚体的定轴转动课件

第三章刚体的定轴转动第三章刚体的定轴转动本章教学内容：3-1刚体的定轴转动3-2力矩转动定律转动惯量3-3角动量角动量守恒定律3-4力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理3-5经典力学的成就和局限性本章教学内容：3-1刚体的定轴转动教学基本要求

一

理解描写刚体定轴转动的物理量，并掌握角量与线量的关系.

二

理解力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕定轴转动的转动定理.

三

理解角动量概念，掌握质点在平面内运动以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题.

能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简单系统的力学问题.

四理解刚体定轴转动的转动动能概念，能在有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒定律教学基本要求一理解描写刚体定轴转动的物理

刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体.（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）刚体的运动形式：平动、转动.

刚体平动质点运动

平动：若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线.§3-1刚体的定轴转动刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化

转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动.转动又分定轴转动和非定轴转动.

刚体的平面运动.转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动.

刚体的一般运动质心的平动绕质心的转动+刚体的一般运动质心的平动绕质心的转动+一刚体转动的角速度和角加速度参考平面角位移

角坐标<0q0>q约定沿逆时针方向转动沿顺时针方向转动角速度矢量

方向:右手螺旋方向参考轴一刚体转动的角速度和角加速度参考平面角位移角坐标<角加速度1）每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；2）任一质点运动均相同，但不同；3）运动描述仅需一个坐标.定轴转动的特点

刚体定轴转动（一维转动）的转动方向可以用角速度的正负来表示.角加速度1）每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；定轴转二匀变速转动公式

刚体绕定轴作匀变速转动质点匀变速直线运动

当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做匀变速转动.刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比二匀变速转动公式刚体绕定轴作匀变速转动质点匀变速直三角量与线量的关系三角量与线量的关系飞轮30s

内转过的角度

例1

一飞轮半径为0.2m、转速为150r·min-1，因受制动而均匀减速，经30s停止转动.试求：（1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开始后t=6s

时飞轮的角速度；（3）t=6s时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度.解（1）

t=30s

时，设.飞轮做匀减速运动时，

t=0s

飞轮30s内转过的角度例1一飞轮（2）时，飞轮的角速度（3）时，飞轮边缘上一点的线速度大小该点的切向加速度和法向加速度转过的圈数2222nsm6.31sm)π4(2.0--=×.==wra.（2）时，飞轮的角速度（3）时，飞轮边缘上一点的线速度大小该

例2

在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动.开始时，它的角速度，经300s后，其转速达到18000r·min-1.已知转子的角加速度与时间成正比.问在这段时间内，转子转过多少转？解由题意，令，即，积分得当t=300s

时所以例2在高速旋转的微型电机里，有一圆柱P*O:力臂

刚体绕Oz

轴旋转,力作用在刚体上点P,

且在转动平面内,为由点O到力的作用点P的径矢.

对转轴Z的力矩

一力矩§3-2力矩转动定律P*O:力臂刚体绕Oz轴旋O讨论

1）若力不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量

2）合力矩等于各分力矩的矢量和

其中对转轴的力矩为零，故对转轴的力矩O讨论1）若力不在转动平面内，把力分解为3）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消O3）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消O

例1

有一大型水坝高110m、长1000m，水深100m，水面与大坝表面垂直，如图所示.求作用在大坝上的力，以及这个力对通过大坝基点Q且与x轴平行的力矩.

解设水深h，坝长L，在坝面上取面积元作用在此面积元上的力yOhyxQyOx例1有一大型水坝高110m、令大气压为，则代入数据，得yOhyx令大气压为，则代入数据，得

对通过点Q

的轴的力矩yQOhy代入数据，得对通过点Q的轴的力矩yQOhyO二转动定律2）刚体质量元受外力，内力

1）单个质点与转轴刚性连接外力矩内力矩OO二转动定律2）刚体质量元受外力，内力

刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比

，与刚体的转动惯量成反比.

转动定律定义转动惯量O刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正三转动惯量

物理意义：转动惯性的量度.

质量离散分布刚体的转动惯量转动惯性的计算方法

质量连续分布刚体的转动惯量：质量元三转动惯量物理意义：转动惯性的量度.质量

对质量线分布的刚体：：质量线密度

对质量面分布的刚体：：质量面密度

对质量体分布的刚体：：质量体密度：质量元

质量连续分布刚体的转动惯量对质量线分布的刚体：：质量线密度对质量面分布的刚体：：质O´O

解设棒的线密度为，取一距离转轴OO´

为处的质量元

例2一质量为、长为

的均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量.O´O如转轴过端点垂直于棒O´O解设棒的线密度为，取一距ORO

例3一质量为、半径为的均匀圆盘，求通过盘中心O

并与盘面垂直的轴的转动惯量.

解设圆盘面密度为，在盘上取半径为，宽为的圆环而圆环质量所以圆环对轴的转动惯量ORO例3一质量为、四

平行轴定理P

转动惯量的大小取决于刚体的质量、形状及转轴的位置.

质量为

的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为，则对任一与该轴平行，相距为

的转轴的转动惯量CO注意圆盘对P轴的转动惯量O四平行轴定理P竿子长些还是短些较安全？

飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？竿子长些还是短些较安全？飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘

例4

质量为的物体A

静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为R、质量为的圆柱形滑轮C，并系在另一质量为的物体B

上.滑轮与绳索间没有滑动，且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计.问：（1）两物体的线加速度为多少？水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（2）物体B

从

再求线加速度及绳的张力.静止落下距离

时，其速率是多少？（3）若滑轮与轴承间的摩擦力不能忽略，并设它们间的摩擦力矩为ABC例4质量为的ABCOO

解（1）隔离物体分别对物体A、B

及滑轮作受力分析，取坐标如图，运用牛顿第二定律、转动定律列方程.ABCOO解（1）隔离物体分别对物体A、B如令，可得（2）

B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率ABC如令，可得（2）B由静止出发作（3）考虑滑轮与轴承间的摩擦力矩，转动定律结合（1）中其它方程（3）考虑滑轮与轴承间的摩擦力矩，转动定律结ABCABC

例5

一长为质量为匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O

相接，并可绕其转动.由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O

转动.试计算细杆转动到与竖直线成角时的角加速度和角速度.

解细杆受重力和铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得例5一长为质量为式中得由角加速度的定义代入初始条件积分得式中得由角加速度的定义代入初始条件积分得

力矩的时间累积效应冲量矩、角动量、角动量定理.一质点的角动量定理和角动量守恒定律

质点运动状态的描述

力的时间累积效应冲量、动量、动量定理.刚体定轴转动运动状态的描述§3-3角动量角动量守恒定律力矩的时间累积效应1

质点的角动量

质点以角速度作半径为

的圆运动，相对圆心的角动量

质量为的质点以速度在空间运动，某时刻相对原点

O

的位矢为，质点相对于原点的角动量大小

的方向符合右手法则.1质点的角动量质点以角速度

作用于质点的合力对参考点O

的力矩，等于质点对该点O

的角动量随时间的变化率.2

质点的角动量定理作用于质点的合力对参考点O的力矩，等于

质点所受对参考点O

的合力矩为零时，质点对该参考点O

的角动量为一恒矢量.

恒矢量

冲量矩

质点的角动量定理：对同一参考点O

，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量.3

质点的角动量守恒定律质点所受对参考点O的合力矩为零时，质

例1

一半径为R

的光滑圆环置于竖直平面内.一质量为m

的小球穿在圆环上,并可在圆环上滑动.小球开始时静止于圆环上的点A

(该点在通过环心O

的水平面上),然后从A点开始下滑.设小球与圆环间的摩擦略去不计.求小球滑到点B

时对环心O

的角动量和角速度.

解小球受重力和支持力作用,支持力的力矩为零,重力矩垂直纸面向里由质点的角动量定理例1一半径为R的光滑圆环置于竖考虑到得由题设条件积分上式考虑到得由题设条件积分上式

例2

一质量

的登月飞船,在离月球表面高度

处绕月球作圆周运动.飞船采用如下登月方式:当飞船位于点A

时,它向外侧短时间喷气,使飞船与月球相切地到达点B

,且OA

与OB

垂直.飞船所喷气体相对飞船的速度为

.已知月球半径

;在飞船登月过程中,月球的重力加速度视为常量

.试问登月飞船在登月过程中所需消耗燃料的质量是多少?BhORA例2一质量

解设飞船在点A的速度,月球质量mM,由万有引力和牛顿定律BhORA已知求所需消耗燃料的质量.解设飞船在点A的速度,得得

当飞船在A点以相对速度向外喷气的短时间里,飞船的质量减少了Δm

而为

,并获得速度的增量,使飞船的速度变为,其值为质量

在A点和B

点只受有心力作用,角动量守恒BhORA得得当飞船在A点以相对速度向外喷气的飞船在A点喷出气体后,在到达月球的过程中,机械能守恒即于是而BhORA飞船在A点喷出气体后,在到达月球的过程中,机械能守恒即二刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律1

刚体定轴转动的角动量2

刚体定轴转动的角动量定理非刚体定轴转动的角动量定理O二刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律1刚体

角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.

内力矩不改变系统的角动量.

守恒条件若不变，不变；若变，也变，但不变.刚体定轴转动的角动量定理3

刚体定轴转动的角动量守恒定律，则若讨论

在冲击等问题中常量角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.内力矩不改

有许多现象都可以用角动量守恒来说明.花样滑冰跳水运动员跳水

直升飞机的尾翼为什么要安装螺旋桨？有许多现象都可以用角动量守恒来说明.花样滑冰请看：猫刚掉下的时候，由于体重的缘故，四脚朝天，脊背朝地，这样下来肯定会摔死。请你注意，猫狠狠地甩了一下尾巴，结果，四脚转向地面，当它着地时，四脚伸直，通过下蹲，缓解了冲击。那么，甩尾巴而获得四脚转向的过程，就是角动量守恒过程。为什么猫从高处落下时总能四脚着地？请看：猫刚掉下的时候，由于体重的缘故，四脚朝天，脊背朝地，这

例3

质量很小长度为l

的均匀细杆,可绕过其中心O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平位置时,有一只小虫以速率

垂直落在距点O为

l/4

处,并背离点O

向细杆的端点A

爬行.设小虫与细杆的质量均为m.问:欲使细杆以恒定的角速度转动,小虫应以多大速率向细杆端点爬行?

解小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞前后系统角动量守恒例3质量很小长度为l的均匀细杆,可绕由角动量定理即考虑到由角动量定理即考虑到

例4

一杂技演员M

由距水平跷板高为h

处自由下落到跷板的一端A,并把跷板另一端的演员N

弹了起来.设跷板是匀质的,长度为l,质量为

,跷板可绕中部支撑点C

在竖直平面内转动,演员的质量均为m.假定演员M落在跷板上,与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞.问演员N可弹起多高?ll/2CABMNh

解碰撞前M

落在A点的速度

碰撞后的瞬间,M、N具有相同的线速度例4一杂技演员M由距水平跷板高为

把M、N和跷板作为一个系统,角动量守恒解得演员N以u

起跳,达到的高度ll/2CABMNh把M、N和跷板作为一个系统,角动量守恒解三、旋进——角动量定理的应用举例1、陀螺若，则在重力矩作用下，陀螺将绕垂直于板面的轴转动，即倒地。(2)当时，重力矩将改变的方向，而不改变的大小(因)。最终效果：陀螺绕竖直轴旋转

——

旋进旋进角速度三、旋进——角动量定理的应用举例1、陀螺若，则在重2.车轮的旋进（演示）讨论：

改变

的方向，旋进方向是否改变？

改变配重G，对旋进有什么影响？

用外力矩加速（或阻碍）旋进，会发生什么现象？2.车轮的旋进（演示）讨论：3.回转仪实验：如图所示的杠杆陀螺仪。当陀螺仪高速旋转时，移动平衡物B，杆不会倾斜，而是在水平面内绕O旋转。这种运动称为旋进运动，它是在外力矩作用下产生的回转效应。3.回转仪实验：4、抛体的旋进c5、旋进现象在自然界广泛存在：地球的旋进；用电子在外磁场中的旋进解释物质的磁化的本质；…...4、抛体的旋进c5、旋进现象在自然界广泛存在：

被中香炉惯性导航仪（陀螺）

角动量守恒定律在技术中的应用

被中香炉惯性导航仪（陀螺）角动自然界中存在多种守恒定律

动量守恒定律—空间平移对称能量守恒定律—时间平移对称角动量守恒定律—空间转动对称电荷守恒定律—量子力学的相移对称质量守恒定律宇称守恒定律—空间反演对称自然界中存在多种守恒定律动量守恒定律—空间平移对称电荷守恒力矩的功一力矩作功力的空间累积效应

力的功,动能,动能定理.力矩的空间累积效应力矩的功,转动动能,动能定理.二力矩的功率§3-4力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理力矩的功一力矩作功力的空间累积效应三转动动能四刚体绕定轴转动的动能定理

合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量.三转动动能四刚体绕定轴转动的动能定理圆锥摆子弹击入杆以子弹和杆为系统机械能不守恒.角动量守恒；动量不守恒；以子弹和沙袋为系统动量守恒；角动量守恒；机械能不守恒.圆锥摆系统动量不守恒；角动量守恒；机械能守恒.讨论子弹击入沙袋细绳质量不计圆锥摆子弹击入杆以子弹和杆为系统机械能不守恒.角动量守恒；Rhm'mm

和、分别为圆盘终了和起始时的角坐标和角速度.

例1

一质量为

、半径为R

的圆盘，可绕一垂直通过盘心的无摩擦的水平轴转动.圆盘上绕有轻绳，一端挂质量为m

的物体.问物体在静止下落高度h

时，其速度的大小为多少?设绳的质量忽略不计.

解拉力对圆盘做功，由刚体绕定轴转动的动能定理可得，拉力的力矩所作的功为mRhm'mm和物体由静止开始下落解得并考虑到圆盘的转动惯量由质点动能定理m物体由静止开始下落解得并考虑到圆盘的转动惯量由质点动能定理m

例2

一长为l,质量为

的竿可绕支点O自由转动.一质量为、速率为