上海市北海中学高三数学理上学期期末试题含解析

上海市北海中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知为锐角，且＝,＝－,则＝（A）

（B）

（C）

（D）以上答案都不对参考答案：A2.已知f(x)＝，其中＝(2cosx，－sin2x)，＝(cosx,1)(x∈R)．(1)求f(x)的周期和单调递减区间；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝，·＝3，求边长b和c的值(b＞c)．参考答案：略3.已知向量,若,则实数的取值范围是(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：B4.已知集合，，若，则实数a值集合为（

）A.{－1} B.{2} C.{－1,2} D.{－1,0,2}参考答案：D【分析】,可以得到，求出集合的子集，这样就可以求出实数值集合.【详解】,的子集有，当时，显然有；当时，；当时，；当，不存在，符合题意，实数值集合为，故本题选D.【点睛】本题考查了通过集合的运算结果，得出集合之间的关系，求参数问题.重点考查了一个集合的子集，本题容易忽略空集是任何集合的子集这一结论.5.圆台的高为2，上底面直,，下底面直径，与不平行，则三棱锥体积的最大值是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B6.将函数（）的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的最小值为（

）（A）

(B)

(C)

(D)

参考答案：B将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，可得，求得的最小值为，故选B．7.集合A={x∈N|0＜x＜4}的真子集个数为（）A．3 B．4 C．7 D．8参考答案：C【考点】16：子集与真子集．【分析】先求出集合的元素的个数，再代入2n﹣1求出即可．【解答】解：∵集合A={x∈N|0＜x＜4}={1，2，3}，∴真子集的个数是：23﹣1=7个，故选：C．8.若，则z=A．－1－i B．－1+i C．1－i D．1+i参考答案：D,.

9.设i是虚数单位，若复数，则（

）A.B.C.D.参考答案：A，.10.已知实数x，y满足不等式组，则的最大值为（

）A.3 B.9 C.22 D.25参考答案：B【分析】根据约束条件，做出可行域，利用目标函数的几何意义，找到最优解，从而得到最值【详解】做出可行域，如图所示，做出直线：，平移直线，由图可知，当过点A（2,1）时，截距最大，此时z最小，所以，故选B【点睛】本题考查简单的线性规划问题，属基础题二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若，则满足的取值范围是

。参考答案：

12.设函数，点为函数图像上横坐标为的点，为坐标原点．,，用表示向量与的夹角，记，那么____________．参考答案：答案：

解析:∵

∴（事实上）故

13.已知数列{an}的通项为an=sin（+）+（n∈N*），则数列{an}中最小项的值为

．参考答案：考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得n=4k，k∈N*时，an=sin+；n=4k+1，k∈N*时，an=sin（）+；n=4k+2，k∈N*时，an=sin（）+；n=4k+3，k∈N*时，an=sin（）+．由此能求出数列{an}中最小项的值．解答： 解：∵an=sin（+）+（n∈N*），∴n=4k，k∈N*时，an=sin+=，n=4k+1，k∈N*时，an=sin（）+=，n=4k+2，k∈N*时，an=sin（）+=，n=4k+3，k∈N*时，an=sin（）+=．∴数列{an}中最小项的值为．故答案为：．点评：本题考查数列中最小项的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦函数的周期性质的合理运用．14.如图所示的程序框图输出的结果为

．参考答案：

略15.已知i为虚数单位，复数，则复数在复平面上的对应点位于第▲象限。参考答案：三略16.若的展开式中的系数为2，则=

．参考答案：17.下列各结论中①抛物线的焦点到直线的距离为②已知函数的图象经过点，则的值等于③命题“存在，”的否定是“对于任意，正确结论的序号是

参考答案：①②三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.{an}前n项和为Sn，2Sn=an+1﹣+1，n∈N*，且a1，a2+5，a3成等差数列（1）求a1的值；（2）求{an}通项公式；（3）证明++…+＜．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）由2Sn=an+1﹣2n+1+1，n∈N*，分别取n=1，2时，可得a2=2a1+3，a3=6a1+13．利用a1，a2+5，a3成等差数列，即可得出；（2）当n≥2时，2an=2Sn﹣2Sn﹣1，化为，变形，利用等比数列的通项公式即可得出；（3）由≥3n﹣1．可得，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】（1）解：∵2Sn=an+1﹣2n+1+1，n∈N*，∴n=1，2时，2a1=a2﹣3，2a1+2a2=a3﹣7，∴a2=2a1+3，a3=6a1+13．∵a1，a2+5，a3成等差数列，∴2（a2+5）=a1+a3，∴2（2a1+8）=a1+6a1+13，解得a1=1．（2）解：当n≥2时，2an=2Sn﹣2Sn﹣1=，化为，∴，a1+2=3．∴数列是等比数列，∴，∴．（3）证明：∵≥3n﹣1．∴，∴++…++…+==．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推式的应用、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19.（14分）已知集合D={（x1，x2）|x1＞0，x2＞0，x1+x2=k}（其中k为正常数）．（1）设u=x1x2，求u的取值范围；（2）求证：当k≥1时不等式对任意（x1，x2）∈D恒成立；（3）求使不等式对任意（x1，x2）∈D恒成立的k2的范围．参考答案：【考点】不等式的综合．【专题】证明题；综合题．【分析】（1）利用基本不等式，其中和为定值，积有最大值；（2）结合（1）中的范围直接将左边展开，利用u在上单调递增即可，或者作差法比较；（3）结合（2）将（3）转化为求使对恒成立的k的范围，利用函数的单调性解决，或者作差法求解．【解答】解：（1），当且仅当时等号成立，故u的取值范围为．（2）解法一（函数法）=由，又k≥1，k2﹣1≥0，∴f（u）=u﹣在上是增函数所以=即当k≥1时不等式成立．解法二（不等式证明的作差比较法）===，将k2﹣4x1x2=（x1﹣x2）2代入得：=∵（x1﹣x2）2≥0，k≥1时4﹣k2x1x2﹣4k2=4（1﹣k2）﹣k2x1x2＜0，∴，即当k≥1时不等式成立．（3）解法一（函数法）记=，则，即求使对恒成立的k2的范围．由（2）知，要使对任意（x1，x2）∈D恒成立，必有0＜k＜1，因此1﹣k2＞0，∴函数在上递减，在上递增，要使函数f（u）在上恒有，必有，即k4+16k2﹣16≤0，解得．解法二（不等式证明的作差比较法）由（2）可知=，要不等式恒成立，必须4﹣k2x1x2﹣4k2≥0恒成立即恒成立由得，即k4+16k2﹣16≤0，解得．因此不等式恒成立的k2的范围是【点评】本题考查不等式的综合应用，以及利用转化思想、函数思想转化为函数问题利用函数的单调性解决不等式问题，属于中档题．20.（本小题满分12分）在中，已知，且cos2A+2sin=1．(1)求角的大小和边的长；(2)若点在内运动（包括边界）,且点到三边的距离之和为d,设点到的距离分别为x,y，试用x,y表示d，并求d的取值范围.参考答案：(1)A=

BC=(2)【知识点】解三角形C8（Ⅰ）cos2A+2sin2[(B+C)/2]=1→1-2sin2A+2sin2[(B+C)/2]=1→sinA=sin[(B+C)/2]

A=(B+C)/2；∴3A=180°，A=60°；

由余弦定理：BC2=AC2+AB2-2AC*AB*cosA=22+12-2*2*1*cos60°=3，∴BC=√3。（Ⅱ）由题意得：d在P与C点重合时最小为，d在AB上时取最大值，此时有(x/sinB)+(y/sinA)=AB；将sinA=sin60°=√3/2、sinB=1/2代入得：(2y/√3)+2x=2，即y=√3-√3x

∴d=x+y+0=（1-√3）x+√3；x的取值范围为0到1，所以d最大为√3

所以d的取值范围为到√3【思路点拨】根据余弦定理求出角和边，利用d的关系式求出最值。21.已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过F且与x轴垂直的直线交该抛物线于A，B两点，|AB|＝4．（1）求抛物线的方程；（2）过点F的直线l交抛物线于P，Q两点，若△OPQ的面积为4，求直线l的斜率（其中O为坐标原点）．参考答案：解：（1）由抛物线的定义得2p＝4，所以抛物线的方程为y2＝4x．（2）设直线l的方程为y＝k(x-1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．因为直线l与抛物线有两个交点，所以k≠0，得，代入y2＝4x，得，且恒成立，则