一元函数的导数的几何意义及应用(教师版)

PAGEPAGE1一元函数的导数及其应用(一)一元函数的导数的几何意义及应用一、知识要点：（一）一元函数的导数的几何意义:函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率．（二）切线方程的计算：1.在某点处的切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．2.过某点的切线方程的计算：设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，又因为切线方程过点，所以，然后解出的值（有几个值，就有几条切线）注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．（三）利用导数的几何意义求参数的基本方法：利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围．（四）利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：1.函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．2.切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．3.曲线“在”点处的切线与“过”点的切线的区别：曲线在点处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为，是唯一的一条切线；曲线过点的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．（五）求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点1.注意曲线上横坐标的取值范围；2.谨记切点既在切线上又在曲线上。二、题型：（一）求与导数的几何意义相关量1．已知是可导函数，如图所示，直线是曲线在处的切线，令，是的导函数，则（

A

）A．0 B．1 C． D．【详解】由图可知：过，所以，又过，所以，即．而，所以故选：A．2．已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率为（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】根据函数对称性求出时的解析式，利用导数的几何意义求解.【详解】因为是偶函数，所以函数的图象关于对称，则，当时，，，，则，，即曲线在点处切线的斜率为2.故选：C.3．若曲线存在与直线垂直的切线，则k的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】对求导后根据题意可得在上有解.令，求导判断单调性求得值域，从而可得不等式，求解即可.【详解】对求导得，当时，曲线不存在与直线垂直的切线，当时，若曲线存在与直线垂直的切线，只需在上有解.令，求导得，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，则，且当时，，所以，解得，所以k的取值范围是.故选：D.4．已知函数与的图象关于直线对称，直线与的图象均相切，则的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据与的图象关于直线对称，得到，设直线与函数的图象的切点坐标为，与函数的图象的切点坐标为，由斜率相等得到，然后再利用斜率和倾斜角的关系求解.解：因为函数与的图象关于直线对称，所以与互为反函数，所以，则．由，得，设直线与函数的图象的切点坐标为，与函数的图象的切点坐标为，则直线的斜率，故，显然，故，所以直线的倾斜角为，故选：B．（二）切线方程(Ⅰ)在某点处的切线方程1．已知函数，则的图象在处的切线方程为（

A

）A．B．C．D．【详解】由题意知，所以，又，所以的图象在处的切线方程为，即.故选：A.2．设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴交点坐标，即可得其面积.【详解】，则，即该切线方程为，即，令，则，令，则，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积.故选：A.(Ⅱ)过某点的切线方程1．(多选题)过点作曲线的切线，则切线方程可能是（

BC

）A．B．C．D．【详解】.当点是切点时，此时切线的斜率为：，所以切线方程为：；当点是不切点时，设切点为，即，此时切线的斜率为：，所以切线方程为：，把点代入得：，，解得：，或舍去，所以切线方程为：，故选：BC2.过坐标原点作曲线的切线，则切点的纵坐标为()A．B．1C.D.答案:B解析:设切点为，切线为,由，得，所以，所以曲线在点处的切线的方程为，又过点,所以，解得，所以切点为，纵坐标为1.故选：B.(三)公切线1．斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（

）A．0或2 B．或2 C．或0 D．0或1【答案】A【分析】设直线的方程为，先根据直线和圆相切算出，再由导数的几何意义算出.【详解】依题意得，设直线的方程为，即，由直线和圆相切可得，，解得，当时，和相切，，设切点为，根据导数的几何意义，，又切点同时在直线和曲线上，即，解得.即时，；当时，和相切，，设切点为，根据导数的几何意义，，又切点同时在直线和曲线上，即，解得.即时，.综上所述，或.故选：A.2．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则.【答案】【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.【详解】由得，，故曲线在处的切线方程为；由得，设切线与曲线相切的切点为，由两曲线有公切线得，解得，则切点为，切线方程为，根据两切线重合,所以，解得.故答案为：3．(多选题)若直线是曲线与曲线的公切线，则（

BD

）A．B．C．D．【详解】令，则，令，有，则，即有，即，故，令，则，令，有，则，即有，即，故有，即.故选：BD.4．若存在直线与曲线，都相切，则a的范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用导数分别求得与相切的切线方程，可得，进而可得有解，从而利用导数可求的范围.解：设直线与相切与点，因为，所以切线方程，即，设直线与相切与点，因为，所以切线方程，即，，所以有解，令，，所以函数在，上单调递减，在，上单调递增，因为，，所以，所以，的范围为.故选：A.【点睛】思路点睛：本题考查曲线公切线相关问题的求解，求解曲线公切线的基本思路是假设切点坐标，利用导数的几何意义分别求得两曲线的切线方程，根据切线方程的唯一性构造方程组来进行求解.(四)求参数 1．曲线在点处切线的斜率为3，则实数．【答案】1【分析】根据导数几何意义，求出在处的导数即可得解.【详解】的导数为，可得曲线在点处切线的斜率为，解得.故答案为：1.2.已知为非零实数，直线与曲线相切，则______.答案：解析:设切点坐标为，对函数求导得，所以，解得，.3.若曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数的取值为（）A．

B．

C．或

D．或解析：因为，，所以曲线在点处的切线方程为，切线与坐标轴的交点分别为，，，或(五)求与切线有关最值或范围问题1．曲线在点处的切线在y轴上的截距的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据导数的几何意义得到切线方程，即可得到纵截距，然后构造函数，求导，根据单调性求值域即可.【详解】因为，所以所求切线方程为，令，则，令，则.所以当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，所以.因为，，所以该切线在y轴上的截距的取值范围为.故选：B.2．若点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用导数求得平行于直线与曲线相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式，即可求解.【详解】由函数，可得，令，可得，因为，可得，则，即平行于直线且与曲线相切的切点坐标为，由点到直线的距离公式，可得点到直线的距离为.故选：B.3．动直线l分别与直线，曲线相交于两点，则的最小值为()A.B.C．1D.答案：A解析：设点是直线上任意一点，点是曲线上任意一点，当点处的切线和直线平行时，这两条平行线间的距离的值最小，因为直线的斜率等于2，曲线的导数，令，可得或(舍去)，故此时点的坐标为，.(六)导数的几何意义综合1．已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（

）A．4B．3 C．2D．1【答案】D【分析】利用已知条件求出切点横坐标，从而得到。利用基本不等式即可求解.【详解】由于直线与曲线相切，设切点为，且，所以，则切点横坐标，则，即.所以，即，当且仅当时取等号，所以的最小值为1.故选：D2．若直线与曲线相切，则的取值范围为.【答案】【分析】利用导数求切点坐标，再由切点在直线上可得，则，构造并研究单调性，进而求值域即可.【详解】函数的导数为，设切点为，所以，则，即又因为在上，所以，所以，即，所以，所以，令，，令，可得，令，可得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.当趋近正无穷时，趋近正无穷.所以的取值范围为：.故答案为：.3．已知曲线存在过坐标原点的切线，则实数的取值范围是（

B

）A．B．C．D．【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有实数根，求得的取值范围.【详解】∵，∴，设切点为，则，切线斜率，∴切线方程为，∵切线过原点，∴，整理得：∵存在过坐标原点的切线，∴，解得或，∴实数的取值范围是.故选：B.4．过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（

A

）A． B． C． D．【详解】设切点为，∵，∴，∴M处的切线斜率，则过点P的切线方程为，代入点的坐标，化简得，∵过点可以作三条直线与曲线相切，∴方程有三个不等实根.令，求导得到，可知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，如图所示，故，即.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，求切线方程，关键点在于将问题转化为方程的根的问题，