人教A版（2023）必修一4.5.1函数的零点与方程的解（含解析）

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（共21题）

一、选择题（共13题）

函数的零点所在的一个区间是

A．B．

C．D．

函数存在零点的区间是

A．B．C．D．

函数在区间内的零点个数是

A．B．C．D．

方程必有一个根的区间是

A．B．C．D．

在实数范围内定义一种运算“”，其规则为，则方程的所有解的和为

A．B．C．D．

设实数，是函数的两个零点，则

A．B．C．D．

用二分法求函数的一个正零点，可选作计算的初始区间的是

A．B．C．D．

定义在上的偶函数满足，且当时，，若关于的方程至少有个实数解，则实数的取值范围是

A．B．

C．D．

设，用二分法求方程在内近似解的过程中得，，，，则方程的根落在区间

A．B．

C．D．

若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程的一个近似根（精确度）为

A．B．C．D．

用符号表示不超过的最大整数，如，，设，若方程有且只有个实数根，则正实数的取值范围为

A．B．C．D．

已知，则方程的实根个数为

A．B．C．D．与的值有关

已知，函数，若关于的方程恰有两个互异的实数解，则实数的取值范围是

A．

B．

C．

D．

二、填空题（共4题）

设函数的图象与轴有交点，则实数的取值范围为．

设，是实数，若关于的方程的两根互为倒数，则满足条件的实数对可以是．（只需写出一对即可）

已知函数．

（）当时，函数的值域是；

（）若函数的图象与直线只有一个公共点，则实数的取值范围是．

已知实数，满足，，其中是自然对数的底数，则．

三、解答题（共4题）

已知关于的函数恒有零点．

(1)求实数的取值范围；

(2)若函数有两个不同的零点，且其倒数之和为，求实数的值．

已知函数．

(1)若函数有两个零点，求的取值范围；

(2)若函数在区间与上各有一个零点，求的取值范围．

若函数只有一个零点，求实数的值．

对于函数，若满足，则称为函数的一阶不动点，若满足，则称为函数的二阶不动点，若满足，且，则称为函数的二阶周期点．

(1)设．

①当时，求函数的二阶不动点，并判断它是否是函数的二阶周期点；

②已知函数存在二阶周期点，求的值；

(2)若对任意实数，函数都存在二阶周期点，求实数的取值范围．

答案

一、选择题（共13题）

1.【答案】C

【解析】因为函数在上单调递减，

且，，

所以的零点所在的一个区间是．

2.【答案】B

3.【答案】B

【解析】由得，，

所以．

又因为，在上单调递增，

所以在上单调递增，

所以函数在内有唯一的零点，

故选B．

4.【答案】A

5.【答案】C

【解析】根据题意得，整理得，

即，即，

解得或．

因为，

所以方程的所有解的和为．

6.【答案】A

【解析】令，

所以，

所以函数的零点是上面方程的解，即是函数和函数的交点的横坐标，

画出这两个函数图象如图所示：

由图看出，，

所以，，且，

所以，

所以，即，

所以．

7.【答案】C

【解析】函数，

因为，，，

所以在中的负零点，而，，

所以用二分法求函数的一个正零点，可选作计算的初始区间是．

故选C．

8.【答案】B

9.【答案】C

10.【答案】C

11.【答案】B

【解析】方程有且只有个实数根等价于的图象与的图象有且只有个交点，当时，，当时，，当时，，当时，，以此类推，如图所示，

故正实数的取值范围为．

12.【答案】A

【解析】设，，分别作出它们的图象如图所示．

由图可知，有两个交点，故方程有两个根．

13.【答案】C

【解析】因为关于的方程恰有两个互异的实数解，则有：

，有两个不同的实根，且，无实根，

或，与，各有一个实根，

或，无实根，且，有两个不同的实根，

当时，，函数，为增函数，

则函数在上最多一个零点，，有两个不同的实根不成立，

当函数在上有一个零点时，必有，即，此时，，

因此，当时，函数在上确有一个零点，方程，必有一个实根，

当，时，，

设函数，，

而函数对称轴，即在上单调递减，

又，即在上必有一个零点，

因此，方程，必有一个实根，

于是得当时，，与，各有一个实根，

若方程，无实根，必有，

此时方程，有两个不同的实根，函数在上有两个零点，

当且仅当解得，

于是得当时，，有两个不同的实根，且，无实根，

综上得：当或时，方程恰有两个互异的实数解．

所以实数的取值范围是．

二、填空题（共4题）

14.【答案】

15.【答案】（答案不唯一，只需，）．

16.【答案】；

【解析】（）当时，．

当时，，

当时，，

所以函数的值域是．

（）因为当时，，

所以只需函数的图象与直线只有一个公共点，

当时，，所以当时，函数的图象与直线只有一个公共点，

当时，或，所以当或，即，从而函数的图象与直线无公共点，

因此实数的取值范围是．

17.【答案】

【解析】因为，，

所以，，

即，，

所以，均为方程的根，又方程的根唯一，

所以．

三、解答题（共4题）

18.【答案】

(1)当时，函数为，显然有零点；

当时，，

解得．

所以当且时，二次函数有零点．

综上，．

(2)设，是函数的两个零点，则有，．

因为，即，

所以，解得．

当时，，，符合题意，

所以实数的值为．

19.【答案】

(1)由题意可得，，且，

解得，且，

故的取值范围是．

(2)若函数在区间与上各有一个零点，

则由函数的图象可得

即

解得．

即的取值范围为．

20.【答案】当时，函数，显然该函数的图象与轴只有一个交点，即函数只有一个零点．

当时，函数是二次函数．

因为只有一个零点，

所以关于的方程有两个相等的实数根，

所以，即，解得．

综上，函数只有一个零点时，实数的值为或．

21.【答案】

(1)①当时，，，

解得：，即为函数的二阶不动点，

由于，即