常数项级数的概念及性质课件

11微积分虽然是研究函数的有力工具,本章主要研究无穷多个数、函数相加的问题.如工具就是无穷级数.有限形式.导数的和.无穷小的和仍是无穷小;限性,如:有限个即一般要求问题本身具有有限形式.但也有其局有限个函数和的导数等于不具有有些函数的原函数不是初等函数,本章将借助于新的工具来研究函数,这个2微积分虽然是研究函数的有力工具,本章主要研究无穷多个数引例：用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正边形,这个和逼近于圆的面积A.设a0表示即内接正三角形面积,ak表示边数增加时增加的面积,则圆内接正边形面积为3引例：用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正边形无穷级数无穷级数常数项级数幂级数第九章主要研究无限个量相加的问题，包括无限个数和无限个函数相加的问题。4无穷级数无穷级数常数项级数幂级数第九章主要研究无限个量相加常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念

二、无穷级数的基本性质三、级数收敛的必要条件第一节第九章5常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念二、无穷级数的1.定义：给定一个数列将各项依即称为（常数项）无穷级数.⑴第n项叫做级数的一般项.⑵级数的前n项和称为级数的部分和.次相加所构成的式子：其中几个概念：⑶称为级数的部分和数列.简记为一、常数项级数的概念无穷多个数相加的含义是什么?61.定义：给定一个数列将各项依即称为（常数项）无穷级数.⑴第即则称级数收敛，极限s称为该级数的和，并记作：如果部分和数列极限不存在，则称级数发散，或者称该级数没有和.2.级数的收敛与发散：有极限s,如果级数部分和数列注意：(1)常数项级数收敛(发散)存在(不存在).即数列收敛(发散)收敛与发散二者必居其一.(2)给定一个级数，级数收敛时才有和，发散时就没有和.即数列有(没有)极限.数列收敛，则它的任意子数列都收敛7即则称级数收敛，极限s称为该级数的和，并记作：如果部分和数列余项(3)如果级数收敛于s，s叫级数的和.即这时：其误差为显然存在8余项(3)如果级数收敛于s，s叫级数的和.即这时：其误差为3.级数的敛散性举例：解：所以级数的部分和为：例1.判断级数的敛散性.所以原级数发散.93.级数的敛散性举例：解：所以级数的部分和为：例1.判断级数例2.

讨论等比级数(又称几何级数)解：

收敛

发散当时，当时，

发散的敛散性.级数变为10例2.讨论等比级数(又称几何级数)解：收敛发散当时因此n为奇数n为偶数从而不存在,因此级数发散.

综上当时，当时，收敛，发散，收敛；收敛；发散；发散.如：其和为1.级数变为11因此n为奇数n为偶数从而不存在,因此级数发散.综上解已知级数为等比级数，12解已知级数为等比级数，12解：所以级数的部分和为：例3.判断级数的敛散性.所以原级数发散.注意：判断敛散性的方法：(1)找(2)求极限定义法13解：所以级数的部分和为：例3.判断级数的敛散性.所以原级数发解：例4.判断级数的敛散性.若收敛,求其和s.所以级数收敛，和s=1.即技巧:利用“拆项相消”求和14解：例4.判断级数的敛散性.若收敛,求其和s.所以级数收敛，解例5.15解例5.1516161717二、无穷级数的基本性质（常数项级数函数项级数都使用）性质1.

若级数收敛于s,则各项乘以常数

c

所得级数也收敛,证:

令则这说明收敛,其和为cs.

即其和为cs.结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.发散级数没有可比性敛散性相同即18二、无穷级数的基本性质（常数项级数函数项级数都使用）性质性质2.

设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为证:

令则这说明级数也收敛,其和为结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.19性质2.设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为证:令说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.但若二级数都发散,不一定发散.例如,

(1)性质2表明收敛级数可逐项相加或减.也说明加法的交换律及结合律在级数收敛的条件下是成立的.(用反证法可证)即

收敛+收敛=收敛，收敛+发散=发散，发散+发散就不一定发散如求级数的和.20说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.解由性质1知21解由性质1知21性质3.在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数的敛散性.证:

将级数的前k项去掉,的部分和为数敛散性相同.当级数收敛时,其和的关系为极限状况相同,故新旧两级所得新级数时，说明:(1)收敛收敛(2)类似地可以证明在级数前面加上、改变有限项不影响级数的敛散性，但影响收敛级数的和.2.级数的敛散性和前有限项没有关系.22性质3.在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数的敛散性.性质4.

收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证:

设收敛级数若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列为原级数部分和序列的一个子序列,因此必有例如

收敛加括号后收敛23性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证:注意即收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.

收敛

发散1、(逆命题不一定成立)加括号后的级数收敛，原级数不一定收敛.24注意即收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.收敛发散1、例7判断级数的敛散性:解:考虑加括号后的级数发散,从而原级数发散.25例7判断级数的敛散性:解:考虑加括号后的级数发散,从而原例7证明证明矛盾！（1）请熟记：调和级数是发散的.26例7证明证明矛盾！（1）请熟记：调和级数是发散的.26例5.证明调和级数是发散的.解:考虑加括号后的级数即加括弧后的级数发散,从而原级数发散.请熟记：调和级数是发散的.27例5.证明调和级数证:

性质5：如:级数收敛，当时,则有28证:性质5：如:级数收敛，当时,则有28注意：1.反之不成立(是级数收敛的必要条件，不充分)但它是发散的.但它是发散的.29注意：1.反之不成立(是级2.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散.(逆否命题)所以是发散的.发散.发散.都是发散的.发散此必要条件只能用于判定级数发散而不能判定收敛.302.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散.(逆否命题)所以判断级数发散的方法:解实际上的速度越快，收敛的可能性越大31判断级数发散的方法:解实际上的速度越快，收敛的可能性越大31例8：判断级数的敛散性.解答：所以原级数发散.32例8：判断级数的敛散性.解答：所以原级数解33解33★常数项级数的基本概念★基本审敛法对收敛级数而言.性质2，性质4对一般级数而言.性质1，性质3常数项级数收敛(发散)存在(不存在)1.由定义：存在(不存在)级数收敛(发散)；3.按基本性质小结2.发散.34★常数项级数的基本概念★基本审敛法对收敛级数而言.性质2，性★基本性质

性质1不变.敛散性级数的每一项同乘一不为零的常数,性质2设两级数收敛则级数收敛，其和为在级数前面加上（或去掉）有限项不影响性质3级数的敛散性,

但影响收敛级数的和.性质4

收敛加括号后收敛.收敛级数加括号后所成的级数仍然收敛于原来的和.35★基本性质性质1不变.敛散性级数的每一项同乘一不为