2013届全国中考数学3年2模拟之专题突破4 7圆版

４．７内容能力要圆的有关概会利用圆的定义做出准确的判断弧、弦、圆心角、弦心距的关能综合运用弧、弦、圆心角、弦心距之间的互推关系．圆的性能记住圆的性质，能列举圆的特性过一点、两点和不在一条直线上的三点作能画经过不在同一直线上三个点的圆圆周角与圆心角的关系，直径所对圆周角的特征掌握同弧所对圆周角等于圆心角的特性，会利用直径所对圆周角是直角解题．三角形的外心与内能区分外心与内心的联系与区别，能画出三角形的外心与内心．切线的概会做一个圆的切线切线与过切点的半径的关切线与经过切点的半径垂直，凡切线存在必将切点与圆心相连．切线的判掌握切线的判定定理，能灵活运用它解题过圆上一点画圆的计会进行有关圆的计算弧长及扇形面积的计牢记弧长及扇形面积圆锥的侧面积和全面积的计能进行圆锥侧面积、全面积、圆柱侧面积、全面积的计算．—、选择１．（２０１２·黑龙江哈尔滨）如图，⊙犗是△犃犅犆的外接圆，∠６０°，犗犘⊥犃犆于点犘，犗犘２槡３，则⊙犗的半径

∠犃犅 ４０°，则∠犃犆犅的大小为 Ａ． Ｂ．陕Ｃ． Ｄ．陕 ）．Ａ．４槡 Ｂ．６槡

３．（２０１２

西）如图，在半径为５的圆犗中，犃犅、犆犇是互相垂直Ｃ． Ｄ． （第１题 （第２题２．（２０１２·黔西南州）如图，⊙犗是△犃犅犆的外接圆，已

两条弦，垂足为犘，且犃犅犆犇８，则犗犘的长为 Ａ． Ｂ．Ｃ．３槡 Ｄ．４槡（第３题）这样看起来，１厘米长的线段内的点与太平洋面上的点，以及整个地球 的点都“一样多”，后来几年，康托尔对这类“无穷集合”问题了一系列文章，通过严格证明得出了许多惊人的结论．康托尔的创造性工作与传统的数学观念发生，遭到一些人的、，甚至漫骂．有人说，康托尔的集合论是一种“疾病”，康托尔的概念是“雾中之雾”，甚至说康托尔是“疯子”．４．（２０１２·辽宁铁岭）如图，⊙犗中，半径犗犃 ４，∠犃犗犅 用阴影部分的扇形围成的圆锥底面圆的半径长是（ Ａ． Ｂ．３Ｃ．３

Ｄ．

１０．（２０１１ 广州）如图，犃犅切◉犗于点犅，犗犃槡３，３，弦犅犆∥犗犃，则劣弧犅犆的弧长为 Ａ．３ Ｂ．２Ｃ． Ｄ．３（第４题 （第５题．（·重庆）已知：如图，犗犃、犗犅是⊙犗的两条半径，且犗犃⊥犗犅，点犆在⊙犗上，则∠犃犆犅的度数为 Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．

（第１０题 （第１１题６．（２０１２· 铜仁）小红要过生日了，为了筹备生日聚会，准备 １１．（２０１１· ）如图，⊙o的半径为１，犃、犅、犆是圆周上三点，自己动手用纸板制作一个底面半径为９ｃｍ，母线长为３０ｃｍ ∠犅犃犆３６°，则劣弧犅犆的长为（ 的生日礼帽，则这个礼帽的侧面积为 Ａ．２７０πｃｍ Ｂ．５４０πｃｍ

Ｂ．５Ｃ．１３５πｃｍ Ｄ．２１６πｃｍ

毕节）第三十届奥运会将于２０１２年７月２７日 Ｃ． Ｄ．英国伦敦开幕，奥运会旗图案有五个圆环组成，右图也是一幅五环图案，在这个五个圆中，不存在的位置关系是（

１２．（２０１１·江苏）如图，在平面直角坐标系中，⊙犘的圆是（２犪），（犪＞２），半径为２，函数 Ａ．外

獉獉Ｂ．内

的图象被◉犘截的弦犃犅长为 ，Ｃ．外 Ｄ．相 犪的值是 ＡＢ＋ＣＤ＋

（第１２题（第７题 （第８题８．（２０１１·浙江衢州）一个人工湖如图所示，弦犃犅是湖上一座桥，已知桥犃犅长１００ｍ，测得圆周角∠犃犆犅４５°，则这个工湖的直径犃犇为

１３．（２０１０·湖南长沙）已知⊙犗、⊙犗２的半径分别是狉 ２１狉２，若两圆相交，则圆心距犗犗２可能取的值是（１Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．二、填空．（·黑龙江齐齐哈尔）用半径为，圆心角为的扇Ａ．５０槡２ Ｂ．１００槡２Ｃ．１５０槡２ Ｄ．２００槡２

围成一个圆锥，则锥．（２０１２·吉林长春）锥

的高 图⊙犗与正六边形犗犃犅犆犇犈的边图９．（２０１１·山东日照）已知犃犆⊥犅犆于点犆，犅 犪，犆 犫，犃

o犃、犗犈分别交于点犉、犌，则弧犉犌所对的圆周角犉犘犌犮，下列选项中⊙犗的半径为犪犫的是 大小 度犪（第１５题１６．（２０１２·鄂州）圆锥的底面直径是２ｍ，母线长４ｍ，则圆锥的侧面积是 ｍ２．）来自数学家的巨大精神压力终于摧垮了康托尔，使他心力交瘁，患了精神症，被送进医院．１８９７年举行的第一次国际数学家会议上，他的成就得到承认，伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托尔的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作．”康托尔（１８４５～１９１８），生于彼得堡一丹麦犹太血统的富商家庭，１０岁随家迁居德国，自幼对学有浓厚１７．（２０１２·福建莆田）若扇形的圆心角为６０°，弧长为２π，则扇形的半径为 １８．（２０１２·自贡）如图，△犃犅犆是正三角形，曲线犆犇犈犉做正三角形的渐开线，其中弧犆犇、弧犇犈、弧犈犉的圆心依次是犃、犅、犆，如果犃犅１，那么曲线犆犇犈犉的长 （第１９题．（·浙江温州）如图，犃犅是⊙犗的直径，点犆、犇都在⊙上，连结犆犃、犆犅、犇犆、犇犅，已知∠犇，犅，则犃犅

三、解答２５．（２０１２·肇庆）如图，在△犃犅犆中，犃犅犃犆，以犃犅为直径的⊙犗交犃犆于点犈，交犅犆于点犇，连结犅犈、犃犇交于点犘．求证：（）犇是犅犆的中点（２）△犅犈犆∽△犃犇犆（）犃犅·犆犈犇犘·犃犇（第２５题 ．（·河北）图，犗为优弧犃犆犅所在的圆心，∠犃犗１０８°，点犇在犃犅延长线上，犅 犅犆，则∠ （第２１题．（·山东泰安）如图，犘犃与⊙犗相切，切点为犃，犘犗犗于点犆，点犅是优弧犆犅犃上一点，若∠犃犅 ３２°，∠ ．（·江苏宿迁）如图，从⊙犗外一点犃引圆的切线犃犅，切点为犅，连结犃犗并延长交圆于点犆，连结犅犆，若∠犃２６°，则∠犃犆 （第２２题 （第２３题

２６．（２０１２·江苏盐城）如图所示，犃犆⊥犃犅，犃犅２槡３，犃犆２，点犇是以犃犅为直径的半圆犗上一动点，犇犈⊥犆犇交直线犃犅于点犈，设∠犇犃犅α（α（）当α时，求犅︵犇的长（）当α时，求线段犅犈的长（３）若要使点犈段犅犃的延长线上，则α的取值范围．（直接写出答案２７．（２０１２·浙江湖州）已知，如图，在梯形犃犅犆犇中，犃犇∥犅犆，犇犃犇犆，以点犇为圆心，犇犃长为半径的⊙犇与犃犅相切于犃，与犅犆交于点犉，过点犇作犇犈犅犆，垂足为犈．（）求证：四边形犃犅犈犇为矩形２３．（２０１０ 黄冈）如图，在⊙犗中，犃犖的度数为圆周角∠犕犃 ２４．（２０１０·江西）如图，以点犘为圆心的圆弧与狓轴交于犃、坐标为

（２）若犃 ４，犃犅

３，求犆犉的长４

（第２７题）２３岁获博士，以后一直从事数学教学与研究．他所创立的集合论已被公认为全部数学的基础．集合论的诞生：十七世纪数学新的分支微积分出现之后的一二百年中，这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果．其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础．十九世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动．正是在这场动中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端２８．（２０１１·潜江）如图，犅犇是⊙犗的直径，犃、犆是⊙犗上的两点，且犃犅 犃犆，犃犇与犅犆的延长线交于点犈．（１）求证：△犃犅犇∽△犃犈犅（２）若犃 １，犇 ３，求犅犇的长．（·浙江义乌）如图，已知⊙犗的直径犃犅与弦犆犇互相垂直，垂足为点犈．犗的切线犅犉与弦犃犇的延长线相３

．（·山东日照）如图，犃犅是⊙犗的直径，犃犆是弦，犆犇犗的切线，犆为切点，犃犇⊥犆犇于点犇． ２∠犃犆犇；（）犃犆２犃犅·犃犇（第３０题３１．（２０１０ ）如图，点犗在∠犃犘犅的平分线上，圆犗于点犉，且犃 ３，ｃｏｓ∠犅犆（）求证：犆犇∥犅犉（）求犗的半径（）求弦犆犇的长

４

犘犃相切于点犆（）求证：直线犘犅与圆犗相切（）犘犗的延长线与圆犗交于点犈．若圆犗的半径为，犘犆求弦犆犈的长（第３１题趋趋势总圆的有关性质与圆的有关计算是近几年各地中考命题考查的重点内容，题型以填空题、选择题和解答题为主，有时也出阅读理解、条件开放、结论开放探索题这些新题型，分值一般为~１２分２０１２年中考有关命题的重点．圆的有关性质的应用．直线和圆、圆和圆位置关系的判定及应用圆与相似三角形、三角函数的综合运用以及有关的题、探索题高高分锦熟练掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理

念之间的相互联系和知识之间的相互转化关系，掌握切线的性质和判定，会根据条件解决圆中的动态问题．．与圆心位置关系，对中考试题中出现的阅读理解题、探索题，要灵活运用圆的有关性质，进行合理推理与计算．４如果在圆中求弦长，一般是由圆心向弦做垂线，利用垂径定理先求弦的一半的长，如果有直径，一般利用直径所对圆周角是９０度来解题；如果有切线，一般均要将圆心与切点连结起构造直角；这些看似死其实活的方法在解决圆的题目时很方便理解圆柱、圆锥侧面展开图对组合图形的计算要灵活运用计算方法解题）到１８７４年康托尔开始提出“集合”的概念．他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素．人们把康托尔于１８７３年１２月７日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日．或许根本无法想象它在诞生之日遭到激烈的情景，也体会不到康托尔的功绩之所在．常常考．圆：（）在一个平面内，线段犗犃绕它固定的一个端点旋 ，另一个端点犃所形成 叫做圆（２）圆心为犗，半径为狉的圆可以看成是所有 距离等 的点组成的图形２．弦与弧：（１）连结圆上任意两点 叫做弦（２）圆上任意两点间 叫做圆弧，简称弧３．圆心角与圆周角：（１）顶点 的角叫做圆心角（２）顶点 ，并且两边都与 的角叫做周角—、圆的有关性１．圆的对称性：圆既是轴对称图形，又是对称图形．垂径定理及其推论（１）定理：垂直于弦的直径 ，并且平分弦所对的两条弧．（２）推论：平分弦（不是直径）的直 于弦，并且

是圆的切线如图，犗犃为⊙犗的半径，犆犇⊥犗 直线犆犇 圆心到直线的距离等于圆的 ，则这条直线是该圆的切线．如图，犗犃⊥犆犇，犗犃狉 犆犇是 三、三角形的外接圆、内切１．三角形的外接圆：经过三角形的 个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．２．与三角形各边都 的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心四、切线长与反证１．切线长：经过圆外一点作圆的 ，这点和切点之分弦所对 的长，叫做这点到圆的切线长．圆心角、弧、弦之间的关系同圆或等圆中个圆心角、两条弧、两条弦中有一组，它们所对应的其余各组量 ．圆周角定理及其推论（１）定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都于这条弧所对的圆心角 （２）推论：半圆（或直径）所对的圆周角是 °周角所对的弦是直径．二、直线和圆的位置关．几种位置关系的区别直线和圆位置关相相相图公共点个公共点名无直线名无关系．圆的切线的性质和判定（）性质：如图，犆犇为⊙犗的切线，犅犃为直径，犃为切犅 犆犇，即圆的切 于过切点的半径（２）判定：①经过半径的外端并 这条半径的直

２．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条 ，它 相等，这一点和圆心的连线 这两条切线的夹角．３．反证法：首先假设命题的结论 ，由此经过推理得 ，由断定所 ，从而得到原命题立，这种方法叫做反证法．五、圆和圆的位置关位外外相内内图公共个犱与数量关易易混１．利用垂径定理进行证明或计算，通常利用半径、弦心距和弦的一半组成的直角三角形求解．由于圆中一条弦对应的弧以及圆内的两条平行弦与圆心的位置关系有两种情况，所以利用垂径定理计算时，不要漏解．．证明直线与圆的相切，一般有两种情况（１）已知直线与圆有公共点，这时连结圆心与公共点的半径，证明该半径与已知直线垂直．（２）不知直线与圆有公共点，这时过圆心作与已知直线垂直的线段，证明此线段的长与半径相等．．在解决两圆相交问题时，常添连心线，公共弦等辅助线）前数学家柯尔莫戈评价康托尔的工作时说：“康托尔的不朽功绩在于他向无穷的迈进”．因而只有当我们了解了康托尔在对无穷的研究中究竟做出了什么结论后，才会真正明白他工作的价值之所在和众多的由来．数学与无穷有着不解之缘，但在研究无穷的道却布满了陷阱．因为这一原因，在数学发展的历程中，数学家们终以一种怀疑的眼光看待无穷，并尽可能回避这一概念使两圆半径、圆心距、公共弦长的一半集中于直角三角形中， △犃犅犈∽△犃犇犘用三角形的有关知识加以解决 犅 犃犈，即 ．等弧的弧长一定相等，但弧长相等的弧不一定是等弧易易错题警

犇解得

犃 犇

２×４︵【例１】（２０１２·山东聊城）如图，⊙犗是△犃犅犆的外 ８︵圆，犃 犃犆

，犅

是犅

上的一个动点，过点犘作犅犆的平行线交犃犅的延长线于点犇（）当点犘在什么位置时，犇犘是⊙犗的切线？请说明理由（）当犇犘为⊙犗的切线时，求线段犇犘的长【解析】此题主要考查了切线的判定与性质以及勾股定理和相似三角形的判定与性质，根据已知得出△犃犅犈∽△犃犇犘是解题关键．对切线的判定与性质定理是解题的误区．

【例】（·浙江金华市）如图，已知犃犅是⊙犗的直径，点犆、犇在⊙犗上，点犈在⊙犗外，犈犃犆∠犇．（）求∠犃犅犆的度数（）求证：犃犈是犗的切线（３）当犅 ４时，求劣弧犃犆的长（）根据当点犘是犅犆的中点时，得出犘犅

犘犆

，得出犘犃是⊙犗的直径，再利用犇犘∥犅犆，得出犇犘⊥犘犃，问题得证（）利用切线的性质勾股定理得出半径长而得△犃犅犈∽△犃犇犘，即可得出犇犘的长【答案】（）当点犘是犅犆的中点时，犇犘是⊙犗的切线理由如下： 犃 犃犆

【解析】本题主要了切线的判定；圆周角定理；弧长的计算．对及定义的不牢或是学生最常见得错误．在圆周角定理要强调“同弧”的重要性．︵︵ 犃︵ 犘︵ 犘犅犃

犃犆，︵，犘︵犘犆犃

【答案】（１ ∠犃犅犆与∠犇都是弧犃犆所对的圆周角 ∠犃犅 ∠犇６０° 犃犅是犗的直径 ∠犃犆 ９０° 犘犃是犗的直径 犘 犘 ∠ ∠２ 犃 犃犆 犘犃⊥犅犆 犇犘∥犅犆 犇犘⊥犘犃 犇犘是犗的切线（２）连结犗犅，设犘犃交犅犆于点犈．由垂径定理，得犅犈 犅犆６．

∠犅犃 ３０° ∠犃犅 ６０° ∠犅犃犈 ∠犅犃犆＋∠犈犃犆 ３０°＋６０°９０°， 犅犃⊥犃犈． 犃犈是犗的切线（）如图，连结犗犆 犗 犗犆，∠犃犅 ６０° △犗犅犆是等边三角形 犗 犅犆４，∠犅犗 ６０° ∠犃犗 １２０°在Ｒｔ△犃犅犈中，由勾股定理， 劣弧犃犆的长为１２０·π·

８π３犃犈 槡犃犅２犅犈２ 槡１０２６２ 设⊙犗的半径为狉，则犗犈 ８狉．在Ｒｔ△犗犅犈中，由勾股定理解得狉２５．４ 犇犘∥犅犆 ∠犃犅犈 ∠１ ∠１，）钱学森，１９３４年毕业于交通大学．他１９３５年考取麻省理工学院并进行深造学习，拜著名的航空科学家冯·卡门为师，学习航空工程理论，三年后便获得了博士并留校任教．在冯·卡门的指导下，钱学森对火箭技术产生了浓厚的，并在高速空气动力学和喷气推进研究领域中突飞猛进．不久，经冯·卡门的推荐，钱学森成为了加州理工学院最年轻的教授、选择．（·浙江丽水一模）图，犃犅为⊙犗的直径，点犆、犇犗上，∠犅犃 ５０°，则∠犃犇 Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ． （第１题 （第２题２．（２０１２·泸县春期福集镇青龙中学中考模拟）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点犆在半圆上．点犃、犅的读数分别为，，则犃犆犅的大小为（）．Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．３．（２０１２·西城区初三一模）如图，犃犅是⊙犗的直径，犃４，犃犆是弦，犃 ２槡３，∠犃犗犆为 Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．

７．（２０１２·福建福州模拟卷）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面半径犗犅１０，截面圆圆心犗到水面的距离犗犆是，则水面宽犃犅是（）．Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．（第７题 （第８题８．（２０１１·浙江衢州）一个圆形人工湖如图所示，弦犃犅是湖上的一座桥，已知桥犃犅长２００ｍ，测得圆周角∠犃犆犅４５°，则这个人工湖的直径犃犇为（）．Ａ．５０槡２ Ｂ．１００槡２Ｃ．１５０槡２ Ｄ．２００槡２９．（２０１１·湖南娄底）若⊙犗的半径为５ｃｍ，点犃到圆心犗的距离为４ｃｍ，那么点犃与⊙犗的位置关系是（ Ａ．点犃在圆 Ｂ．点犃在圆Ｃ．点犃在圆 Ｄ．不能确１０．（２０１１·毕节模拟）如图，将半径为２ｃｍ的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心犗，则折痕犃犅的长为（ （第３题 （第４题４．（２０１２·马鞍山六考一模）如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为１６ｃｍ２，则该半圆的半径为（）．ＤＡ．（４＋槡５）ｃ Ｂ．９ｃＤ

Ａ．２ｃ

Ｂ．槡３ｃＣ槡５ｃ

槡２ｃ

Ｃ．２槡３ｃ Ｄ．２槡５ｃ５．（２０１２·淮南市洞山中学第四次质量检测）如图，犃犅是⊙ １１．（２０１１·安庆模拟）如图，将一个半径为３、圆心角为的直径犆、犇为圆上两点，∠犃犗犆１３０°，则∠犇等于 Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ． （第５题 （第６题．（·浙江省金华市一模）如图，△犃犅犆内接于⊙犗，犃犇犗的直径，∠犃犅 ２５°，则∠犆犃犇的度数是 Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．

的扇形犃犗犅如图放置在直线犾上（犗犃与直线犾重合），然后将这个扇形在直线犾上无摩擦滚动至的位置，在个过程中，点犗运动到点犗′的路径长度为 Ａ． Ｂ．３π＋Ｃ． Ｄ．５π１２．（２０１１·六合区模拟）如图，把正△犃犅犆的外接圆对折，使点犃与劣弧犅犆的中点犕重合，折痕分别交犃犅、犃犆于犇、犈，若犅犆，则线段犇犈的长为（）．J3）１９５５年在周努力下，钱学森一家人回到阔别２０年的祖国．不久，他被任命为力学．１９５６年１０月８日，我国第一个研究机构国防部第五成立，钱学森被任命为第一任院长．在钱学森的指导下，经过艰苦的努力，１９６０年１０月，我国第一枚国产终于研制成功．（第１２题 Ａ． Ｂ．

．（２０１１·浙江泰顺七中模拟）图，犃犅是⊙犗的弦，犃犅ｃｍ，⊙犗的半径ｃｍ，半径犗犆⊥犃犅于点犇，则犗犇的长ｃｍ２１．（２０１１·安庆二模）如图，犃犅、犃犆是⊙犗的两条弦，∠２５°，过点犆的切线与犗犅的延长线交于点犇，则∠犇的度数是 Ｃ．１０槡３

Ｄ５３１３．（２０１１·北师大附中）已知圆锥的侧面积为１０πｃｍ２，侧面展开图的圆心角为３６°，则该圆锥的母线长为（ Ａｃ Ｂｃ 三、解答

（第２１题Ｃ．ｃ二、填空

Ｄ．槡１０ｃｍ

．（·山东德州三模）已知：如图，犃犅是⊙犗的直径，点犆犇为圆上两点，且弧犆 弧犆犇，犆犉⊥犃犅于点犉，犆犈⊥犃的延长线于点犈１４．（２０１２·金山区中考模拟）已知两圆的圆心距为４，其—个圆的半径长为，那么当两圆内切时，另一圆的半径· 市龙城中学质量检测）如图，点犃、犇在上，犅犆是⊙犗的直径，∠ ３５°，则∠犗犃 （第１６题交犗于点犆，点犇是犆犕犃上异于点犆、犃的一点，∠犃犅犗３２°，则∠犃犇犆的度数 １７．（２０１２·江苏通州兴仁中学一模）如图犃犅是半圆犗 （第１７题１８．（２０１１·北师大附中）两圆的半径分别为３ｃｍ和４ 犅是弦，犃犅⊥犆犇于犕，犆犇１０ｃｍ，犇犕∶犆犕１∶４，则弦犃犅的长为 ｃｍ． （第２０题

（１）试说明：犇 犅犉（２）若∠犇犃 ６０°，犃 ６，求△犃犆犇的面积（第２２题２３．（２０１２·金山区中考模拟）在平行四边形犃犅犆犇犃为圆心，为半径的圆，交犅犆于点犈．（１）求证：△犃犅犆≌△犈犃犇（２）如果犃犅⊥犃犆，犃 ６，ｃｏｓ∠ ３求犈犆的长５（第２３题这是一个真实的故事．故事发生在的弗吉尼亚州，曾经有一对夫妇，男的叫拉尔夫，女的叫卡罗琳９５２２月２０日，他们的长女卡莎琳出生了，当卡莎琳过周岁生日的那天，妹妹出生了（１９５３年２月２０日）这倒不算什么，到了１９５４年２月２０日，她们的弟弟也出生了年２月２０日，他们的另一个妹妹出生了．又过了几年，最小的妹妹又在他们同一天生日里来到人间．一对夫妇生了５个孩子，生日相同，这不能不说是一个２４．（２０１２·江苏徐州市模拟）如图，平行四边形犃犅犆犇中，以犃为圆心，犃犅为半径的圆分别交犃犇、犅犆于点犉、犌，延长犅犃交圆于犈．求证：犉犌．．（·江西南昌十五校联考）如图，犅犇是⊙犗的直径，犃、犆是犗上的两点，且犃犅犃犆，犃犇与犅犆的延长线交于犈（１）求证：△犃犅犇∽△犃犈犅（２）若犃 １，犇 ３，求⊙犗半径的长

２７．（２０１１·福建模拟）如图所示，菱形犃犅犆犇的顶点犃、犅在狓轴上，点犃在点犅的左侧，点犇在狔轴的正半轴上∠犅犃犇，点犃的坐标为（，（）求线段犃犇所在直线的函数表达式（２）动点犘从点犃出发，以每秒１个单位长度的速度，按照犃→犇→犆→犅→犃的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为狋秒．求狋为何值时，以点犘为圆心、以１为半径的圆与对角线犃犆相切？（第２７题２８．（２０１１·巢湖七中模拟）如图，点犃、犅、犆、犇在⊙犗上犃 犃犆，犃犇与犅犆相交于点犈，犃 １犈犇，延长犇犅到２．（·广州白云区模拟）如图，犃犅为⊙犗的直径，弦犆犇犃犅于点犈（１）当犃 １０，犆 ６时，求犗犈的长（）犗犆犇的平分线交犗于点犘，当点犆在上半圆（不包括点犃、犅）上移动时，对于点犘，下面三个结论：①到犆犇的距离保持不变；②平分下半圆；③等分︵犅．其中正确的为 ，请予以证明．

犉，使犉 １犅犇，连结犃犉２（１）证明：△犅犇犈∽△犉犇犃（）试判断直线犃犉与犗的位置关系，并给出证明（第２８题因为只要求５个人生日相同，所以第１个孩子的生日没有任何限制，可以看做只有１种结果，其余４个孩子的生日分别有３６５种结果（假设所生的每个孩子的年份都不是闰年，且各不相同），根据乘法原理：４个孩子的生日共有４种不同的结果，而要和第１个孩子生日相同，则只有１种结果，所以，这对夫妇生５个孩子，要生日相同的概率为犘（犃

．你不觉得这个概率太小了吗．已知，如图所示，犅︵犆与犃︵犇的度数之差为，弦犃犅与犆犇交于点犈，犆犈犅，则∠犆犃犅等于（）．Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ． （第１题 （第２题

６．张宇同学是一名天好者，他通过查阅资料得知：地球、火星的运行轨道可以近似地看成是以为圆心的两个同圆，且这两个同心圆在同一平面上（如图所示）．由于地球和火星的运动速度不同，所以二者的位置不断发生变化．当地球、和火星三者处在同一条直线上，且位于地球、火星中间时，称为“合”；当地球、和火星三者处在同一条直线上且地球位于、火星中间时，称为“冲”．另外，从地球上看火星与，当两条视线互相垂直时，分别称为“东方照”和“西方照”．已知地球距１５千万千米，火星距２０．５千２．如图，犃犅⊥

，犃犅犅犆ｃｍ，弧

千米与弧犗犆关于点（）分别求“合”“冲”“东方照”“西方照”时，地与弧犗犆关于点称，则犃犅、犅犆、弧犆犗、弧犗犃所围成的面积 ｃｍ２３．两圆内切，其中一个圆的半径为５，两圆的圆心距为２，则另一个圆的半径是 犆４．如图所示，已知在Ｒｔ△犃犅犆中，∠犃犅 ９０°，∠犅犃 ３０°犆

离；（结果保留准确值（２）如果从地球上发射宇宙飞船登上火星，为了节省，应选择在什么位置时发射较好？说明你的理由．（注：从地球上看火星，火星在地球左、右两侧时分别叫犃犅２槡３ｃｍ，将△犃犅犆绕顶

顺时针旋转至△

“东方照”“西方照位置，且犃、犆、犅′三点在同一条直线上，则点犃经过的最短路线的长度是 （第４题５．在一次数学探究性学习活动中，某学组要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为ｃｍ的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面．他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二（两个方案中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切，方案一中扇形的弧与正方形的两边相切）．（）请说明方案一不可行的理由（２）判断方案二是否可行；若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆半径；若不可行，请说明理由．（第５题

（第６题．如图，⊙犗的内接正五边形犃犅犆犇犈的对角线犃犇与犅犈相交于点犕．（）请直接写出图中所有等腰三角形（）求证：犅犕２犅犈·犕犈（第７题强盗了一个商人，将他捆在树上准备杀掉．为了戏弄这个商人，强盗头子对他说：“你说我会不会杀掉你，如果说对了，我就放了你，决不反悔！如果说错了，我就杀掉你．”聪明的商人仔细，便说：“你会杀掉我的．”于是强盗子发呆了，“哎呀，我怎么办呢，如果我杀了，你就是说对了，那应该放你；如果放了，你就说错了，应该杀掉才是．”强盗头子想不到自己被难住了，心想商人也很聪明，只好将他放了．１９． ［解析］∠ ∠犇３０°在Ｒｔ△犃犆犅中，犃犅２犅犆２０．２７°［解析］∠犃犅 １∠犃犗 １×１０８°５４° ∵犅犇犅犆

∠ ∠犅犆 ２

∠犃犅犆３年考题探２６°［解析］连结犗犃，则３年考题探１． ［解析］因为∠犃犗犆２∠犅１２０°，∠犆犗 １∠犃犗 在Ｒｔ△犘犃犗中，∠犘９０°－∠犃犗犆２６° ３２°［解析］连结犗犅，在Ｒｔ犗犅犃中６０° ∠犃犗犅∠犃２． ［解析］∠犃犆

１×１００°５０° ∠犃犆 ２∠犃犗犅

２∠犃犗犅３．Ｃ［解析］连结犗犅、犗犇，过犗作犗犎⊥犃犅，交犃犅于点犎． ２３．２０°［解析］由题意知∠犕犗犖４０°，所以∠犕犃犖．Ｒｔ犗犅犎中，由勾股定理可知，犗犎，同理可作犗犈犆犇，．（，）［解析］过点犘作犃犅的垂线，垂足为犇，则犇是o犈３，且易证△犗犘犈≌△犗犘犎，所以犘３槡２ 犃犅的中点，且犗犇４，那么犃犇犇犅２，所以犗犅６４． ［解析］阴影部分的弧长为８π，所以围成的圆锥底 ２５．（１ 犃犅是直径３圆的半径长是４３５． ［解析］同弧所对的圆周角等于圆心角的一半

∠犃犇犅 犃犇⊥犅犆 犃犅犃犆 犇是犅犆的中点６． ［解析］礼帽的侧面 π×９× （２）在△犅犈犆与△犃犇犆中７． ［解析］这五个圆没有内切关系８．Ｂ ［解析］连结犅犇，则∠犃犇犅 ∠犃犆犅４５°，又犃犇为直径，

∠ ∠犆，∠犆犃 ∠犆犅犈 △犅犈犆∽△犃犇犆 △犅犈犆∽△犃犇犆犆 ∠犃犅犇９０° 犃犆

犅犆犆∴犃 槡犃犅＋犅犇槡１００２＋２犃犗犆＋犛△．Ｃ［解析］连结犗犆，犃犗犆＋犛△犆１０． ［解析］连结犗犅、犆

１００槡２（ｍ 犇是犅犆的中点∴２犅犇２犆犇犅犆· 犃犆２犅·犅 犆在Ｒｔ△犗犅犃中，犗犅槡犗犃－犃犅槡３则２犅犇犃犆·犆犈 由ｔａｎ∠犃犃

０°．３

在△犅犘犇与△犃犅犇中，有∠犅犇犘 ∠犅犇犃， ∠犆犅犗∠犅犗犃６０°，∠犆犗犅６０° 犃犅犃犆，犃犇⊥犅犆

６０π×槡 槡３π

∠犆犃犇 ∠犆犃 ∠犆犅犈１１． ［解析］犅︵犆狀π

２π５

∠犇犅 ∠犇犃犅１２．Ｂ ［解析］圆的方程为（狓）２＋（狔犪）２，把狔狓代入，得２狓－（犪）狓．

△犅犘犇∽△犃犅犇 犅 犃犇·４＋２ 犪犘 犅·∴狓１＋狓

２＋犪，狓１狓

则犅犇犘犇·犃犇 ２狔犅槡２（狓狔犅槡２（狓犃－狓犅犃 ，槡２·槡（狓犃＋狓犅）２－４狓犃＋狓，

犃犆·犆犈２犅犇犘犇·犃犇∴犃犅·犆犈犇犘· 犪 ２６．（１）连结犗犇，在⊙犗中∴２槡

槡２＋犪－４×２

∠犇犃犅

１８°∴犪２＋槡２或犪２－槡２（舍去 ∠犇犗犅２∠犇犃犅３６°１３． ［解析］若两圆相交，则圆心距狉２－狉１＜犗１犗２＜狉１ 又犃犅２槡３狉２，选Ｂ ∴犗犅槡３１４．６槡 ［解析］扇形的弧长为６π，从而计算出圆锥的底 ３６π×槡 槡３半径为３ ５１５． ［解析］正六边形每一个内角都是１２０°，所以∠犉犘 （２）∵犃犅为⊙犗的直径１∠犉犗犌６．２１６． ［解析］利用圆锥的侧面积计算

∠犃犇犅 ∠犇犃犅３０°，犃 ２槡３１７． ［解析］利用弧长计算 ∴犅犇槡３，犃 犃犅·ｃｏｓ３０°３１８． ［解析］曲线犆犇犈犉的长是１２０π（１＋２＋３

又犃犆⊥犃犅４π ∠犆犃犅 ∠犆犃犇＋∠犇犃犅９０°． ∠犃犇犅９０°， ∠犇犃犅＋∠犅 ∠犆犃犇 犇犈⊥犆犇， ∠犆犇犈 ∠犆犇犃＋∠犃犇犈９０°． ∠犃犇犈＋∠犈犇犅９０° ∠犆犇 ∠犈犇犅· △犆犇犃∽△犈犇犅·

犃犅⊥犅犉 犃犅⊥犆犇∴犆犇∥犅犉（２）连结犅犇∵犃犅是直径 ∠犃犇犅 ∠犅犆 ∠犅犃犇３ｃｏｓ∠犅犆 ４犃 ∴ｃｏｓ∠犅犃 犃犆犃犅犈犅

犃犇３

犃 又犃犆２ 犃犅４ ⊙犗的半径为 犅

（ 犃 ３ ∴犅犈槡３３

３∵ｃｏｓ∠犇犃犈犃９ 犃 ４

４犃犇

相切于

∴犈 ３－（９

２７．１∵ 犃

∴犃犅⊥犃犇∵犃犇∥犅犆，犇犈⊥犅犆 犇犈⊥犃犇∴ ∠犇犃犅 ∠犃犇犈 ∠犇犈犅９０° 四边形犃犅犈犇为矩形 四边形犃犅犈犇为矩形 犇犈犃犅 犇犆犇犃 点犆在⊙犇上 犇为圆心，犇犈⊥犅犆∴犆犉２犈犆

∴犆犇２犈犇

３７２

（第２９题 犃犇 ３，设犃犇３犽（犽＞０），犅犆 则犅犆４犽

．１∵ 犆犇是⊙犗的切线， ∠犗犆犇 ∠犃犆犇＋∠犃犆犗９０° ∴犅犈３犽，犈犆犅犆－犅犈４犽－３犽犽，犇犆犃犇３犽 ∵犗犆犗犃由勾股定理，得犇犈２＋犈犆２犇犆２即４＋犽∴犽∵犽

∠犃犆 ∠犆犃犗 ∠犃犗犆２∠犃犆犗即１即２∠犃犗犆＋∠犃犆犗９０° ∴犽槡２∴犆犉２犈犆 ２２

由①②，得∠犃犆犇－２

∠犃犗犆８．１∵ 犃犅犃犆， 即 ∠犃犗犆２∠犃犆犇． （２）如图，连结犅犆∴犃犅犃犆 ∠犃犅犆 ∠犃犇犅 ∠犅犃 ∠犇犃犅 △犃犅犇∽△犃犈犅· △犃犅犇∽△犃犈犅·

犃犅是直径 ∠犃犆犅９０°在Ｒｔ△犃犅犆与△Ｒｔ犃犆犇中 ∠犃犗犆２∠犅 ∠ ∠犃犆犇 犃犅犃犃 犃

（第３０题 △犃犆犇∽△犃犅犆∵犃犇

，犇犈

犃

犃犇，即犃犆犃犅·犃犇犃犆，∴犃犈，∴犃犅犃犇·犃犈∴犃犅∵犅犇是犗的直径 ∠犇犃犅９０°在Ｒｔ△犃犅犇中，犅犇犃犅＋犃犇∴犅 槡５．１∵ 犅犉是⊙犗的切线，

．（）过点犗作犗犇犘犅于点犇，连结犗犆 犘犃切圆犗于点犆∴犗犆⊥犘犃 点犗在∠犃犘犅的平分线上∴犗犆犗犇∴犘犅与圆犗相切（）过点犆作犆犉⊥犗犘，垂足为点犉．在Ｒｔ△犘犆犗中，，犗犆o 槡犗犆＋犘犆５∵犗犆犘犆犗犘犆犉２犛犘犆犗，∴犆 １２ 中

度数是∠犃犗犅度数的一半１７． ［解析］△犃犇犗∽△犃犆犅２ １８．相 ［解析］４－３１＜２＜７４＋３２５．Ｒｔ△犆犗 o 槡犗犆－犆 ５ １９． ［解析］由犇犕∶犆 １∶４，且犆犇１０∴犈犉犈２４５∴犆 槡犈犉＋犆犉１２槡５５（第３１题提１． ［解析］连结犅犆，则∠犃犇 ∠犃犅犆４０°

犇犕２，犆 ８再连结犗犃，则犃犅２犃犕２槡犗犃 槡５２－３２８２０．３ ［解析］连结犗犃，得犇 槡犗犃－犃犇槡５２－４２３．４０°［解析］连结犗犆，则犆犗犇∠犃 ∠犇∠犆犗犇２２．（１ 弧犆 弧犆犇∴犆犅犆犇，∠犆犃犈 又犆犉⊥犃犅，犆犈⊥犃犇，∴犆犈犆犉 △犆犈犇≌△犆犉犅 犇犈犅犉（２）易得△犆犃犈≌△犆犃犉２． ［解析］∠犃犆 １（８６°－３０° 易 ２３． ［解析］过点犗向犃犆作垂线即可

犆 ２犅 ２１４． ［解析］小正方形边长是４，设大正方形边长是２狓，则 ∴犛△犃犆 犛△犃犆犈－犛△犆犇 犛△犃犆犉－犛△犆犉 ２：的半径可表示为槡５狓，由勾股定理列出方：求得狓４，即圆的半径是 １

（犃犉－犅犉）·犆 ９槡３４２３．（１ 四边形犃犅犆犇是平行四边形 犃犇犅犆，犃犇∥犅犆５． ［解析］∠

２∠犅犗犆

∠犃犈 ∠犈犃犇６．Ｃ ［解析］直径所对的圆周角等于，同弧所对的圆周角相等．７． ［解析］利用勾股定理求得犅犆，所以犃犅．Ｄ［解析］连结犗犅，则∠犃犗犅，在等腰Ｒｔ△犃犗犅

∵犃犅与犃犈为圆的半径∴犃犅犃犈 ∠犃犈 ∠犅 ∠ ∠犈犃犇 △犃犅犆≌△犈犃犇由勾股定理得⊙犗半径犗犃犗犅１００槡２ｍ，则⊙犗直径 （２）∵犃犅⊥犃犆，犃犇２００槡２ｍ ∠犅犃犆９０°犃犅９． ［解析］犱狉即点犃在圆犃犅１０． ［解析］过点犗作犗犆⊥犃犅，由题意知∠犃犗犅１２０° 在直角三角形△犃犅犆中，ｃｏｓ∠ 犅犆则犃犅２犃 ２·犗犃·ｃｏｓ∠犗犃犅２×２×２２槡３１１． ［解析］可以视为以点犃为圆心以犃长为半径

∵ｃｏｓ∠∴犅犆

３，犃犅５心角为，所经历的弧长的２倍，即点犗到犗′的路

过圆心犃作犃犎⊥犅犆，犎为垂足长为２×１２０π×

∴犅 犎犈４π 在直角三角形△犃犅犎中，ｃｏｓ∠

犅犎１２． ［解析］连结犃犕交犇犈于点犉，交犅犆于点犌，则犃 犃⊥犅犆，则犃 ２犃

犅犎 犇 犃 ２犅 犃

∴犅 １８５ 犇 ２犅 ２× ５ ∴犅 ３６ 犇犈２犇 １０ ３６π２π［解析］由弧 ， ，由圆锥２π１３． 犾１０

∴犈犆１４５．连结犃犌 犃为圆心面积π狉犾，得π狉·１０狉１０π．所以狉１犾１０ ∴犃犅犃犌１４．７［解析］两圆内切时，另一圆的半径减去３等于圆心距４ ∠犃犅 ∠犃犌犅１５．５５°［解析］直径所对的圆周角等于９０° 四边形犃犅犆犇为平行四边形１６．２９°［解析］∠犃犗犅９０°－∠犃犅犗５８°，所以∠犃犇犆 犃犇∥犅犆，∠犃犌 ∠犇犃犌，∠犈犃 ∠犃犅犌 ∠犇犃 ∠犈犃犇