人教A版数学高二选修2-1学案2.2第3课时直线与椭圆的位置关系

高中数学-打印版第3课时直线与椭圆的位置关系(习题课)[思考名师指津：(1)几何法：利用圆心到直线的距离d>r⇔相离；d<r⇔相交．(2)代数法：联立直线与圆的方程，利用方程组解的个数判断．[思考2]能否利用判断直线与圆的位置关系的方法判断直线与椭圆的位置关系？1]判断直线与圆的位置关系有哪几种方法？d与圆的半径的大小关系判断，d＝r⇔相切；名师指津：不能采用几何法，但是可以利用代数法判断直线与椭圆的位置关系．[思考3]已知直线l和椭圆C的方程，如何判断直线与椭圆的位置关系？名师指津：判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ<0⇔直线与椭圆相离．讲一讲1．已知椭圆4x＋y2＝1及直线y＝x＋m.问m为何值时，直线与椭圆相切、相交、相离．[尝试解答]将y＝x＋m代入4x2＋y2＝1，消去y整理得5x＋2mx＋m2－1＝0.Δ＝4m2－20(m2－1)＝20－16m2.22当Δ＝0时，得m＝±25，直线与椭圆相切；当Δ>0时，得－25<m<25，直线与椭圆相交；当Δ<0时，得m<－25或m>25，直线与椭圆相离．判断直线与椭圆的位置关系的方法精心校对完整版练一练1．若直线x2y2y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，求m的取值范围．5my＝kx＋1，解：由消去y，整理得x2y21＋＝，5m(m＋5k2)x2＋10kx＋5(1－m)＝0，Δ＝100k2－20(m＋5k2)(1－m)＝20m(5k2＋m－1)，所以因为直线与椭圆总有公共点，所以Δ≥0对任意k∈R都成立，m>0，5k≥1－m恒成立，因为所以2所以1－m≤0，即m≥1.的焦点在x轴上，0<m<5，1≤m<5，即m的取值范围是[1，5)．又因为椭圆所以综上，[思考1]若直线l与圆C相交于点A，B，如何求弦长|AB|?2名师指津：(1)利用r2＝d2＋求解；(2)利用两点l2间的距离公式求解；(3)利用弦长公式|AB|＝1＋k|x－x2|求解．21x2l：y＝kx＋m与椭圆＋＝1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如何ab22y2[思考2]若直线求|AB|的值？名师指津：|AB|＝1＋k|x－x2|．21讲一讲x2y22．已知椭圆＋＝1和点P(4，2)，直线l经过点P且与椭圆交于A、B两点．369高中数学-打印版1l的斜率为时，求线段AB的长度；2(1)当直线(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求[尝试解答](1)由已知可得直线l的方程为y－2＝(x－4)，即l的方程．1212y＝x.12由y＝x，可得x－18＝0，2x2y2＋＝1，369若设A(x，y1)，B(x2，y2)．1则x1＋x2＝0，x1x2＝－18.于是|AB|＝（x－x）＋（y－y）2212121x－x）＋（x－x）2241212＝（52＝（x＋x）－4x1x2212＝25×62＝310.所以线段AB的长度为310.(2)法一：设l的斜率为k，则其方程为y－2＝k(x－4)．x2y2＋＝1，369联立y－2＝k（x－4），y得(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0.A(x，y1)，B(x2，y2)，消去若设132k－16k2则x＋x＝，1＋4k122由于AB的中点恰好为P(4，2)，x＋x16k－8k2所以12＝＝4，21＋4k2解得12k＝－，且满足Δ>0.1y－2＝－(x－4)，2这时直线的方程为即y＝－12x＋4.法二：设A(x，y1)，B(x2，y2)，1精心校对完整版高中数学-打印版x2y21＝1，1＋369则有x2y2＋＝1，23692x2－x92y2－y21两式相减得12＋2＝0，36y－y9（x＋x）k＝，－x36（y＋y）整理得2x21＝－21AB121由于P(4，2)是AB的中点，∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，9×812于是k＝－＝－，36×4AB1y－2＝－(x－4)，2于是直线AB的方程为即y＝－12x＋4.(1)弦长公式y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为＋＝x2y2y21(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，直线ab22x2设直线方程为a2b2与椭圆的两个交点为A(x，y1)，B(x2，y2)，1则|AB|＝（x－x）＋（y－y），221212所以|AB|＝（x－x）＋（kx－kx）221212＝1＋k·（x－x）2212＝1＋k·（x＋x）－4xx，221212211或|AB|＝－＋（yyy－y）2k1k212＝1＋k1·（y－y）2212＝1＋k1·（y＋y）－4yy12.2212其中，x＋x，xx12或y1＋y2，yy12的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y或x12后得到关于x或y的一元二次方程得到．问题的两种方法(2)解决椭圆中点弦①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一坐标公式解决．在曲线上，坐标满足方程，元二次方程根与系数的关系以及中点②点差法：利用交点将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作精心校对完整版2A(x，y)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a>b>0)1ab22差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知1上的两个不同的点，M(x，y0)是线段AB的中点，0xy221＋1＝1，①a2b2则x2y2＋＝1，②2b22a211－byyxx2＋bx(y－y)＝0，变形得＝－·＝－·，即k20－xy＋yay2AB2由①－②，得(x－x)＋22121222a212b21xa212120bx20＝－.ay20练一练xy222．直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得线段的中点的坐标是()422547A.，B.，3333211317D.－，－C.－，2332解析：选C联立方程组y＝x＋1，xy22＋＝，142消去y得3x2＋4x－2＝0.设交点A(x，y1)，B(x2，y2)，中点M(x，y0)，10∴x1＋x＝－，43x＝＋23＝－，y＝x＋1＝.13xx212200021∴所求中点的坐标为－，.33x2y231(a>b>0)的离心率为，且椭圆与直线x＋2y＋8＝0相交于P，Q，且23．椭圆＋＝a2b2|PQ|＝10，求椭圆方程．3214解：∵e＝，∴b2＝a2.∴椭圆方程为x2＋4y2＝a2.与x＋2y＋8＝0联立消去y，得2x＋16x＋64－a2＝0，254由Δ>0得a2>32，由弦长公式得10＝×[64－2(64－a2)]．∴a2＝36，b2＝9.∴椭圆方程x2y21.为＋＝369讲一讲高中数学-打印版x2y261的离心率e＝.33．已知椭圆＋＝a2b22a2(1)若＝32，求椭圆方程；c(2)直线l过点C(－1，0)交椭圆于A、B两点，且满足：，试求△OAB面积的最大值．c6＝，a3[尝试解答](1)由题意知解得a＝3，c＝2.2a2＝32，c所以a＝3，b2＝1，2x2所以椭圆方程为＋y＝1.23ca36x2y2(2)由e＝＝，及a＝b2＋c2，得a＝3b，可设椭圆的方程为＋＝1，2223bb22设A(x1，y1)，B(x2，y2),由题意知直线l的斜率存在，则设l的方程为y＝k(x＋1)，y＝k（x＋1），由x2y2＋＝，13b2b2得(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－3b2＝0，且Δ＝12(3b2－1)k2＋12b2，因为直线l交椭圆于A、B两点，且，a>1，－6k所以点C在椭圆内部，所以2所以3b>1，所以Δ>0.所以x＋x＝.23k＋1212因为，所以(x＋1，y1)＝3(－1－x，－y)，122所以x＝－4－3x2，113k＋1243k＋12所以x＋1＝－，所以|x－x|＝.212|k|又O到直线l的距离为d＝，1＋k21212所以S＝|AB|d＝1＋k2|x1－x2|·d△ABO＝＝≤33，2|k|3k＋12213|k|＋|k|所以当且仅当3|k|＝，即k＝±33时，1|k|精心校对完整版高中数学-打印版S△ABO取得最大值33.解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想．其中应用比较多的是利用根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．练一练x2y24．在椭圆＋＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，并求出最47短距离．3l平行的直线方程为y＝x＋m，2解：设与椭圆相切并与x2y2代入＋＝1，47并整理得4x＋3mx＋m2－7＝0，2Δ＝9m2－16(m2－7)＝0⇒m2＝16⇒m＝±4，y＝x＋4和y＝x－4，显然y＝32x－4距l最近，d＝|16－8|＝3232故两切线方程为3＋（－2）22813，374切点为2P，－.——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重