北京团结湖第三中学高二数学文下学期期末试题含解析

北京团结湖第三中学高二数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（x0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点．以上推理中(

) A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确参考答案：A考点：演绎推理的基本方法．专题：计算题；推理和证明．分析：在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不难得到结论．解答： 解：大前提是：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，且满足当x＞x0时和当x＜x0时的导函数值异号时，那么x=x0是函数f（x）的极值点，∴大前提错误，故选A．点评：本题考查的知识点是演绎推理的基本方法，演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．2.下面几种推理过程是演绎推理的是（）A.某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人B.由三角形的性质，推测空间四面体的性质C.平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分D.在数列{an}中，，可得，由此归纳出{an}的通项公式参考答案：C【分析】推理分为合情推理(特殊→特殊或特殊→一般)与演绎推理（一般→特殊），其中合情推理包含类比推理与归纳推理，利用各概念进行判断可得正确答案.【详解】解：∵A中是从特殊→一般的推理，均属于归纳推理，是合情推理；B中，由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质，是由特殊→特殊的推理，为类比推理，属于合情推理；C为三段论，是从一般→特殊的推理，是演绎推理；D为不完全归纳推理，属于合情推理．故选：C．【点睛】本题考查推理中的合情推理与演绎推理，注意理解其概念作出正确判断.3.已知两点,O为坐标原点，点C在第二象限，且,则等于（

）A．

B．

C．-1

D．1参考答案：A作图[由已知4.图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是（）A

25

B

66

C

91

D

120参考答案：C略5.直线x+y+1=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为(

)A． B．1 C． D．参考答案：D【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】由圆的方程可得圆心坐标和半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线x+y+1=0的距离d，即可求出弦长为2，运算求得结果．【解答】解：圆x2+y2=1的圆心O（0，0），半径等于1，圆心到直线x+y+1=0的距离d=，故直线x+y+1=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为2=，故选D．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题．6.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且，，则{an}的公差为（

）A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：B【分析】根据题意，设等差数列{an}的公差为，由条件得，由此可得的值，即可得答案．【详解】根据题意，设等差数列{an}的公差为，由题意得，即，解得．故选B．【点睛】本题考查等差数列的前项和，关键是掌握等差数列的前项和公式的形式特点，属于基础题．7.设是非零向量，若函数的图象是一条直线，则必有（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A8.欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：B,对应点,位于第二象限,选B.

9.已知盒中装有大小一样，形状相同的3个白球与7个黑球，每次从中任取一个球并不放回，则在第1次取到的白球条件下，第2次取到的是黑球的概率为

()A．

B．

C．

D．参考答案：D10.过点作曲线的切线，则这样的切线条数为（

） A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共

种（用数字作答）．参考答案：4186【考点】D3：计数原理的应用．【分析】根据题意，至少有3件次品可分为有3件次品与有4件次品两种情况，有4件次品抽法C44C461，有3件次品的抽法C43C462，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：根据题意，“至少有3件次品”可分为“有3件次品”与“有4件次品”两种情况，有4件次品抽法C44C461有3件次品的抽法C43C462共有C44C461+C43C462=4186种不同抽法故答案为：4186【点评】本题考查分类计数原理，本题解题的关键是注意至少有3件次品包括2中情况，不要写出三种情况的错解，即加上有5件次品，本题是一个基础题．12.已知{an}是等比数列，a5==2，则a7=

．参考答案：1【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出a7的值．【解答】解：∵{an}是等比数列，，∴，解得，a7==1．故答案为：1．13.两个等差数列的前n项和分别是

参考答案：14.数一数，三棱锥、三棱柱、四棱锥、四棱柱，正方体，正八面体等的几何体的面数（F），顶点数（V），棱数（E），由此归纳出一般的凸多面体的面数（F），顶点数（V），棱数（E）满足的关系为：

。参考答案：15.双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线右支的一个交点为，若,则双曲线的离心率为

．参考答案：16.已知点P(x,y）的坐标满足（O为坐标原点）的最大值为

参考答案：517.若，其中、，i是虚数单位，则______.参考答案：5解：因为，则5三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=﹣（x﹣2m）（x+m+3）（其中m＜﹣1），g（x）=2x﹣2．（1）若命题“log2g（x）＜1”是真命题，求x的取值范围；（2）设命题p：?x∈（1，+∞），f（x）＜0或g（x）＜0；，若P是真命题，求m的取值范围．参考答案：【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（I）由于命题“log2g（x）≥1”是假命题，由log2g（x）≥1解出，进而得出；（II）由于当x＞1时，g（x）＞0，要p是真命题，可得f（x）＜0在（1，+∞）恒成立，可得m的取值范围【解答】解：∵命题“log2g（x）＜1”是真命题，即，∴0＜2x﹣2＜2，解得1＜x＜2，∴x的取值范围是（1，2）；（2）∵p是真命题，当x＞1时，g（x）=2x﹣2＞0，要使p是真命题，必须f（x）＜0∵m＜﹣1，∴2m＜﹣m﹣3，∴f（x）＜0?x＜2m或x＞﹣m﹣3∴﹣m﹣3≤1，解得﹣1＞m≥﹣4m的取值范围：﹣4≤m＜﹣1．19.提高过浑河大桥的车辆通行能力可改善整个沈城的交通状况．在一般情况下，浑河大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数记作．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（1）当时，求函数的表达式；（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）．参考答案：解：（1）由题意：当；当

再由已知得

--------------------------（4分）

故函数的表达式为--------------------------（6分）（2）依题意并由（Ⅰ）可得当为增函数，故当时，其最大值为60×20=1200；当时，当且仅当，即时，等号成立．所以，当在区间[20，200]上取得最大值综上，当时，在区间[0，200]上取得最大值．即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．---（12分）20.已知椭圆的长轴长为4，直线被椭圆C截得的线段长为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C的右顶点作互相垂直的两条直线分别交椭圆C于M，N两点（点M，N不同于椭圆C的右顶点），证明：直线MN过定点.参考答案：（1）根据题意，设直线与题意交于两点.不妨设点在第一象限，又长为，∴，∴，可得，又，∴，故题意的标准方程为，（2）显然直线的斜率存在且不为0，设，由得，∴，同理可得当时，，所以直线的方程为整理得，所以直线当时，直线的方程为，直线也过点所以直线过定点.

21.在四棱锥P-ABCD中，，E是PC的中点，面PAC⊥面ABCD.（1）证明：面PAB；（2）若，求二面角的余弦值．参考答案：（1）详见解析；（2）.试题分析：（1）取PB的中点F，连接AF，EF，由三角形的中位线定理可得四边形ADEF是平行四边形．得到DE∥AF，再由线面平行的判定可得ED∥面PAB；（2）法一、取BC的中点M，连接AM，由题意证得A在以BC为直径的圆上，可得AB⊥AC，找出二面角A-PC-D的平面角．求解三角形可得二面角A-PC-D的余弦值．试题解析：（1）证明：取PB的中点F，连接AF，EF．∵EF是△PBC的中位线，∴EF∥BC，且EF=．又AD=BC，且AD=，∴AD∥EF且AD=EF，则四边形ADEF是平行四边形．∴DE∥AF，又DE?面ABP，AF?面ABP，∴ED∥面PAB（2）法一、取BC的中点M，连接AM，则AD∥MC且AD=MC，∴四边形ADCM是平行四边形，∴AM=MC=MB，则A在以BC为直径的圆上．∴AB⊥AC，可得．过D作DG⊥AC于G，∵平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，∴DG⊥平面PAC，则DG⊥PC．过G作GH⊥PC于H，则PC⊥面GHD，连接DH，则PC⊥DH，∴∠GHD是二面角A﹣PC﹣D的平面角．在△ADC中，，连接AE，．在Rt△GDH中，，∴，即二面角A﹣PC﹣D的余弦值法二、取BC的中点M，连接AM，则AD∥MC，且AD=MC．∴四边形ADCM是平行四边形，∴AM=MC=MB，则A在以BC为直径的圆上，∴AB⊥AC．∵面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，∴AB⊥面PAC．如图以A为原点，方向分别为x轴正方向，y轴正方向建立空间直角坐标系．可得，．设P（x，0，z），（z＞0），依题意有，，解得．则，，．设面PDC的一个法向量为，由，取x0=1，得．为面PAC的一个法向量，且，设二面角A﹣PC﹣D的大小为θ，则有，即二面角A﹣PC﹣D的余弦值．22.已知在等比数列{an}中