函数与导数解答题（浙江省2021届高考模拟试题汇编（二模））（解析）

函数与导数解答题（浙江省2021届高考模拟试题汇编（二模））

一、解答题

1.（浙江省绍兴市2021届高三下学期4月适应性考试数学试题）已知函数

”x）=（以-岳二（其中0<a<2,e为自然对数的底数）.

（1）求函数/（》）的单调区间;

（2）设函数/（X）的极小值点为机，极大值点为“，证明：当时,

/'（x）-xlnx<--

【答案】⑴递减区间的惇l），（g+指,+00

,递增区间的（2）证明见解

析.

【分析】

（1）首先确定函数的定义域，接着求导，求解/（x）>0得到函数单调增区间，求解

12

广（“<0得到函数的单调减区间；（2）由（1）知〃?=1,”=/+1•，构造函数

g（x）=（ax-^/57二T卜T-xlnx-?,经过推导判断g'（x）<0得到g（x）<g⑴=0,所

以原不等式得证.

【详解】

（1）解：由已知得xN：

2

由小)>。解得i<*+/

所以/(X)的递减区间的(；，1)(；+指，+。递增区间的卜，；+标

(2)证明：由(1)可知机=1,〃=g+*，即xe(l，g+，).

设g(x)=(以_J2x-1'-xlnx，~-,

2x

贝i」g'(x)=(x-l),-a|e--lnx-l.

J

(12、2

当X£[l，3+—时，因为。<j]-a<2-a<2

所以g'(x)<2(x-l)eT-lnx-1.

设/j(x)=2(x-l)e-r-lnx,贝ijh\x)=-吐©：2x：

当xc(w,〃)时，因为e*-4x+2x2>x+l-4x+2x2=(x-l)(2x-l)>0,

所以"(x)<0,所以〃(x)〈〃⑴=0,所以"(x)<0,

所以g(x)<g⑴=0,

所以，当时，/(x)-xlnx<q」.

【点睛】

用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：

(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；

(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增(或递减)区间写成并集形式；

(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，•般将其转化为不等式恒成立问题，解题过

程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.

2.(浙江省丽水、湖州、衢州三地市2021届高三下学期4月教学质量检测数学试题)

已知函数,"x)=生?(X>1).

(1)当a=0时，求函数“X)的图象在(ej(e))处的切线方程;

(2)若对任意xe(l,4w),不等式〃x)21nx+4恒成立，求实数”的取值范围.(其中，为

自然对数的底数)

48

【答案】(1)y=—x+8；(2)ci>—Y.

ee~

【分析】

(1)利用导数求得切线斜率，结合点斜式求切线方程；

(2)^(x)=ax+4-In2x-41nx(xe(1,+<»)),求导g[x)=a-生型上由

MM=2In：+4.0,4),讨论当“24时与当34a<4时，分析g(x)单调性求取最小值

即可得结果.

【详解】

(1)当a=0时，〃力=白所以/(e)=4.

此时r(x)=Y^,

x\n~x

故r(e)=q4,

44

所以所求切线方程为y-4=-±(x-e),即y='x+8；

ee

(2)由题意得⑪+4-11?》-4111_¥20对对任意%€(1,+8)恒成立.

令工=°,得

e

设g(x)二奴+4-