第1章+平面向量及其应用知识点清单 高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

2/2新教材湘教版2019版数学必修第二册第1章知识点清单目录第1章平面向量及其应用1.1向量1.2向量的加法1.3向量的数乘1.4向量的分解与坐标表示1.5向量的数量积1.6解三角形1.7平面向量的应用举例2/2第1章平面向量及其应用1.1向量一、向量的物理背景1.位移是物理学中的基本量之一，也是几何研究的重要对象.研究物体运动时，通常

把物体当作一个质点，用点来表示物体的位置.质点从位置A运动到位置B，位置的

改变称为位移.2.理解位移，要把握三个方面：①位移由方向和大小唯一确定；②位移只与质点的起点、终点位置相关，而与实际运动路线无关；③两个位移相等指的是方向相同而且大小相等.3.物理学中许多需要考虑大小和方向的量，如速度、加速度、力等.二、向量的基本要素及几何表示1.有向线段像AB这样具有方向的线段，称为有向线段，有向线段AB的长度记作|AB|.有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.2.向量像位移这样既有大小又有方向的量，在数学中称为向量.向量的几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的方向和长度分别代表了向量的方向和大小.向量的字母表示：向量用粗体字母(印刷)或在字母上方标箭头(书写)来表示，如向量a，b，F，a，b，F.3.向量的模向量a的大小，也就是向量a的长度，称为a的模，记作|a|.三、向量的相等1.相等向量：我们把方向相同、长度相等的向量称为相等向量.2.相反向量：我们把长度相等、方向相反的向量a，b称为相反向量，记作b=-a.如果b=-a，则同样也有a=-b.3.零向量：如果向量a的大小|a|=0，就称a是零向量，记作0.我们约定，所有的零向量相等，且零向量的方向是任意的.四、向量相等及其应用1.向量相等具有传递性，即a=b，b=c，则a=c.2.相等向量与向量的起点、终点无关，只看长度和方向.3.在几何图形中寻找相等向量的方法，先找出与表示已知向量的有向线段平行或在同一直线上且长度与已知向量长度相等的线段，再构造同向或反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量.1.2向量的加法一、向量的加法1.三角形法则向量的加法法则文字语言已知两个非零向量a，b，在平面上任取一点O，分别作OA=a，AB=b，则定义从O到B的向量OB为a，b的和，记作a+b.即a+b=OA+AB=OB向量的加法法则图形表示特殊情形(a与b的方向相同或相反)向量的加法求向量和的运算称为向量的加法.两个向量的和仍是一个向量向量加法的三角形法则将两个向量表示为首尾相接的有向线段来求和的作图法则叫作

向量加法的三角形法则2.平行四边形法则条件对于方向既不相同也不相反的非零向量a，b，可用平行四边形法则求和文字语言从同一点O出发作有向线段OA=a，OB=b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则对角线OC就是a与b的和，即OC=a+b图形表示3.加法运算律(1)加法交换律：a+b=b+a对任意两个向量a，b成立.(2)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)对任意三个向量a，b，c成立.4.零向量的加法性质任意向量与零向量相加后保持不变，等于这个向量本身，即a+0=0+a=a.如果两个向量之和为0，即a+b=0，则a与b大小相等，方向相反，即b是a的相反向量，记作b=-a.当然a也是b的相反向量，因此a=-b=-(-a).5.n个向量相加如图所示，在n边形A1A2…An中，有A1A2+A2A3+…则A1A2+A2A3+二、向量的减法1.向量减法的定义已知两个向量a，b，求x满足a+x=b，这样的运算叫作向量的减法，记为x=b-a，x称为b与a之差.2.向量的减法法则减去一个向量a，等于加上它的相反向量-a，即b-a=b+(-a).已知向量a与b，在平面上任取一点O，作OA=a，OB=b，则AB=b-a，即b-a表示从向量a的终点指向向量b的终点的向量.三、向量的加减法运算及其应用1.利用已知向量表示其他向量的思路解决这类问题时，要根据图形的几何性质，正确运用向量加、减法法则和相等向量的定义，同时注意向量的方向及运算式中向量之间的关系.当运用三角形法则时，要注意两个向量首尾顺次相接，当两个向量共起点时，可以考虑用减法.任意一个非零向量一定可以表示为两个向量的和(差)，即AB=AM+MB，AB=NB-NA(M，N均是同一平面内的任意点).四、向量形式的三角不等式(1)当向量a，b方向既不相同也不相反时，作OA=a，AB=b，则a+b=OB，如图1所示.根据三角形的三边关系，有||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|. (2)当a与b方向相同或a，b中至少有一个为零向量时，如图2所示，此时|a+b|=|a|+|b|.(3)当a与b方向相反或a，b中至少有一个为零向量时，不妨设|a|≥|b|，如图3所示，此时|a+b|=||a|-|b||.故对于任意向量a，b，总有||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|①.因为|a-b|=|a+(-b)|，所以||a|-|-b||≤|a-b|≤|a|+|-b|，即||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|②.将①②两式结合，可得||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，我们称之为向量形式的三角不等式.1.3向量的数乘一、向量的实数倍1.向量的数乘定义求向量的实数倍的运算称为向量的数乘长度|λa|=|λ||a|方向当λ≠0且a≠0时，λa的方向

几何意义把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小特殊情况当λ=0或a=0时，λa=0a=0或λa=λ0=02.向量的线性运算我们把向量的加法、减法、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是一个向量.二、共线向量1.共线向量的定义当非零向量a，b方向相同或相反时，我们既称a，b共线，也称a，b平行，并且用符号“∥”来表示它们共线(或平行)，记作a∥b.规定：零向量与所有的向量平行.2.由向量平行和向量数乘的定义可以推知：两个向量平行⇔其中一个向量是另一个向量的实数倍.即a∥b⇔存在实数λ，使得b=λa或a=λb.3.两向量的夹角如图所示，设a，b是两个非零向量，任选一点O，作OA=a，OB=b，则射线OA，OB所夹的最小非负角∠AOB=θ称为向量a，b的夹角，记作<a，b>，取值范围规定为[0，π].在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并有<a，b>=<b，a>. 当θ=0时，a，b方向相同；当θ=π时，a，b方向相反.这两种情形下a，b所在直线重合，即a，b共线.当0<θ<π时，a，b所在直线相交于点O，即a，b不共线，特别地，当θ=π2时，a与b垂直，记作a⊥b.规定：零向量与任一向量垂直.三、共线向量的运算1.单位向量我们把长度为1的向量称为单位向量.它的长度等于单位长度.对于任一非零向量a，都可得到与它方向相同的唯一单位向量e=1|a|a2.共线向量的运算一般地，在一条直线上任取单位向量e，则直线上任何向量a都可写成a=ae，其中实

数a的绝对值|a|代表向量a的模，a的正负代表a与e的方向相同或相反.反过来，任意给定一个实数a，我们总能作一个向量a=ae，使它的长度等于这个实数a的绝对值，方向与实数a的符号一致.四、数乘运算律1.数乘运算律一般地，设a，b是任意向量，x，y是任意实数，则如下运算律成立：(1)对实数加法的分配律：(x+y)a=xa+ya.(2)对实数乘法的结合律：x(ya)=(xy)a.(3)对向量加法的分配律：x(a+b)=xa+xb.2.几个常用结论(1)表示线段AB中点P位置的向量OP等于表示线段两个端点A，B位置的向量OA，OB的平均值12(OA+OB)(O为线段AB(2)表示△ABC的重心G的位置的向量OG等于表示三角形三个顶点A，B，C位置的向量OA，OB，OC的平均值13(OA+OB+OC)(O为△ABC五、向量的线性运算1.向量的线性运算是向量的基本运算，运算的结果还是向量.向量的线性运算可以类比实数的运算进行.用已知向量表示未知向量时，通常要结合图形的特点，把未知向量放到三角形或平行四边形中，适当地选择向量的加法、减法和数乘运算来求解，有时还需借助共线向量来解决.六、共线向量的理解及应用1.共线向量定理的理解(1)由于任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此，平行向量与共线向量是等价的，要注意避免向量平行与平面几何中的直线平行相混淆.平行直线不包括重合的情况，而平行向量是可以重合的.(2)向量的平行不具有传递性，若a∥b，b∥c，未必有a∥c.因为零向量平行于任意向量，当b=0时，a，c可以是任意向量，所以a与c不一定平行，但若b≠0，则必有a∥b，b∥c⇒a∥c.因此，解答问题时要看清题目中是任意向量还是任意非零向量.(3)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量.2.共线向量定理的应用(1)判定平面几何中的共线或平行关系，可用向量的数乘运算来描述，即对于线段AB与CD，如果存在实数λ，使得CD=λAB，则AB与CD共线或平行.(2)一般地，要判断A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得AB=λAC(或BC=λAB等).(3)平面内三点A，B，C共线的充要条件是存在实数λ，μ，使得OC=λOA+μOB，其中λ+μ=1，点O为平面内一点.事实上，若三点A，B，C共线，则一定存在实数m使得AC=mAB，即OC-OA=m(OB-OA)，从而OC=(1-m)OA+mOB，令λ=1-m，μ=m，则λ+μ=(1-m)+m=1.1.4向量的分解与坐标表示一、平面向量基本定理1.设e1，e2是平面上两个不共线向量，则(1)平面上每个向量v都可以分解为e1，e2的实数倍之和，即v=xe1+ye2，其中x，y是实数.(2)实数x，y由v=xe1+ye2唯一决定.也就是：如果v=xe1+ye2=x'e1+y'e2，则x=x'，y=y'.2.我们称不共线向量e1，e2组成平面上的一组基{e1，e2}，分解式v=xe1+ye2中的系数x，y组成的有序数组(x，y)，称为v在这组基下的坐标.取定了平面上一组基{e1，e2}之后，可以将平面上每个向量v用它在这组基下的坐标来表示，记为v=(x，y).二、平面向量的正交分解与坐标表示1.正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解.2.标准正交基：平面上相互垂直的单位向量组成的基称为标准正交基，记作{i，j}.显然i=(1，0)，j=(0，1).3.平面向量与有序数对的对应关系(1)如图，在平面直角坐标系中，以原点O为起点作OA=a，则点A的位置由向量a唯一确定.设OA=x'i+y'j，则向量OA的坐标(x'，y')就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x'，y')也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一个有序数对唯一表示.(2)设单位向量e1，e2的夹角<e1，e2>=90°，非零向量v的模|v|=r，且<e1，v>=α，则v=(rcosα，rsinα).三、向量线性运算的坐标表示1.向量线性运算的坐标表示(1)两个向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)的和(或差)的坐标等于这两个向量相应坐标的和(或

差)，即a±b=(x1，y1)±(x2，y2)=(x1±x2，y1±y2).(2)一个实数λ与向量a=(x，y)的积的坐标等于这个数乘以向量相应的坐标，即λa=λ(x，y)=(λx，λy).(3)在平面直角坐标系中，向量PQ的坐标等于终点Q的坐标(x2，y2)减去起点P的坐标(x1，y1)，即PQ=(x2-x1，y2-y1).2.向量平行的坐标表示向量AB=(x1，y1)，CD=(x2，y2)平行(也就是共线)，可以直接用(x1，y1)∥(x2，y2)来表示.这意味着其中一个坐标是另一个坐标的实数倍，因此x1y2=y1x2成立.即(x1，y1)∥(x2，y2)⇔x1y2-y1x2=0.3.常用结论(1)中点向量坐标：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，P为AB的中点，则OP=OA+OB2=x(2)三角形的重心向量坐标：在△ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，若△ABC的重心为G，则OG=OA+OB+OC3四、平面向量基本定理的应用1.平面向量基本定理的唯一性及其应用设a，b是同一平面内的两个不共线向量，x1，x2，y1，y2∈R，若x1a+y1b=x2a+y2b，则x12.用向量求解平面几何问题的步骤(1)选取适当的两个向量作为一组基；(2)将相关向量用基表示；(3)通过向量运算得到新的向量关系式；(4)将新的向量关系式“翻译”成几何关系.五、利用平面向量的坐标运算(代数)解决有关几何问题1.向量的坐标运算一般是利用加法、减法、数乘运算法则进行的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后进行向量的坐标运算，另外，在解题的过程中要注意方程思想的运用.2.利用向量的坐标运算解题，主要根据相等向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解.1.5向量的数量积1.5.1数量积的定义及计算一、平面向量的数量积1.设a，b是任意两个向量，<a，b>是它们的夹角，则定义a·b=|a||b|cos<a，b>为a与b的数量积.由平面向量夹角的定义可知，<a，b>=α的取值范围为[0，π].二、投影向量1.如图，作向量OA=a，OB=b，两个向量的夹角为α，过点B作BB1⊥OA于点B1，则OB=OB1+B1B，其中 

 我们把OB1称为OB在方向上的投影向量，投影向量的长度|OB1|OB|cosα刻画了投影向量的大小和方向，称为OB在OA方向上的投影.2.数量积的几何意义一般地，a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cosα的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的投影|a|cosα的乘积.由此得到利用数量积计算b在a方向上的投影|b|cosα的公式：|b|cosα=a⋅b|a|三、数量积的性质1.设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则(1)a·e=e·a=|a|cosθ.(2)a⊥b⇔a·b=0.(3)当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·b=-|a||b|.特别地，a·a=|a|2或|a|=a⋅a.(4)|a·b|≤|a||b|.2.性质拓展(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2；(2)(a±b)2=|a±b|2=|a|2±2a·b+|b|2=a2±2a·b+b2；(3)cosθ=a⋅b|a||b|.四、数量积的运算律1.设a，b，c是任意向量，λ是任意实数，则如下运算律成立：(1)交换律：a·b=b·a；(2)与数乘的结合律：a·(λb)=λ(a·b)；(3)分配律：a·(b+c)=a·b+a·c.五、向量数量积的运算1.求向量的数量积时，需明确两个关键点：模和夹角.若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律进行化简.2.解决几何图形中向量数量积的运算问题，要充分利用图形特点及其含有的特殊向量，这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知模的向量.六、向量数量积的应用1.根据公式cosθ=a⋅b|a||b|计算非零向量a，b2.对于非零向量a，b，a⊥b⇔a·b=0，可以用来解决平面几何图形中有关垂直的问题.3.a·a=a2=|a|2和|a|=a⋅a是求向量的模及用向量求解图形中线段长度的依据.4.对于平面向量a，b，可以利用公式a·b=14[(a+b)2-(a-b)2两个向量的“和向量”和“差向量”，再进行计算求解.1.5.2数量积的坐标表示及其计算一、数量积的坐标表示及其计算1.数量积的坐标表示：若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b=(x1，y1)·(x2，y2)=x1x2+y1y2.2.向量的长度的计算公式若a=(x，y)，则向量a的模(即长度)的公式为|a|=a⋅a=x23.夹角余弦值的计算公式已知两个非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则两向量夹角余弦值的公式为cos<a，b>=a⋅b|a||b|=x4.垂直条件已知向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.5.共线条件已知向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2-x2y1=0.二、平面向量数量积的坐标运算1.进行向量的数量积运算时，通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，然后直接进行数量积的坐标运算；二是直接依据已知条件计算.2.对于以平面图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解.3.与向量有关的最值问题常转化为函数的最值问题来解决，特别是二次函数与三角函数，借助向量数量积的坐标运算构造函数，再利用函数的性质求出最值.三、平面向量数量积坐标运算的应用1.利用向量可以解决与长度、角度、垂直、平行等有关的几何问题，其解题关键在于把其他语言转化为向量语言，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.2.解决投影向量问题的方法已知非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a在b方向上的投影向量为a⋅b|b|·b|b|=x1x2+y11.6解三角形一、余弦定理文字语言三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方

和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍符号语言a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC其他形式cosA=b2+c2二、正弦定理及常见变形文字语言在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等符号语言asinA=bsinB=csinC=2R(R常见变形a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC，a+b+csinA+sinB+sinC=2R(R为△ABC三、三角形解的个数的确定1.在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，边长a为半径画弧，则此弧与除去顶点A的射线AB的公共点个数即为三角形解的个数.图形关系式解的情况A为锐角(1)a=bsinA(2)a≥b一解bsinA<a<b两解a<bsinA无解A为钝角或直角a>b一解a≤b无解四、三角形的面积公式△ABC的面积S=12absinC=12bcsinA=五、解三角形实际问题的一般步骤六、利用正、余弦定理解三角形1.三角形共有六个元素，当已知条件较复杂时，需要我们辨别条件，恰当地选择定理来求解.2.常见情况(1)当已知条件以边与正弦值之比的关系出现时，选择正弦定理；(2)当已知条件涉及正弦或外接圆半(直)径时，选择扩充的正弦定理；(3)当已知条件涉及边的平方或者两边的积时，选择余弦定理；(4)如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，要考虑用正弦定理.以上特征都不明显时，两个定理都有可能用到.七、利用正、余弦定理解决实际