激光原理光学谐振腔理论ABCD矩阵课件

ii.闭腔：如某些固体激光器，具有侧面反射边界（图a）半导体激光器iii.气体波导激光谐振腔：（图c）由两个以上反射镜构成的腔：折叠腔，环形腔n2>n1，n2>n3ii.闭腔：如某些固体激光器，具有侧面反射边界（图a）n21开腔内插入透镜一类光学元件——复合腔分布反馈式谐振腔：(DistributedFeedback,DFB)二、腔的模式腔的模式：光学谐振腔内可能存在的电磁场的本征态谐振腔所约束的一定空间内存在的电磁场，只能存在于一系列分立的本征态腔内电磁场的本征态因此：腔的具体结构腔内可能存在的模式（电磁场本征态）麦克斯韦方程组腔的边界条件开腔内插入透镜一类光学元件——复合腔麦克斯韦方程组2模的基本特征主要包括：1、每一个模的电磁场分布E(x,y,z)，腔的横截面内的场分布（横模）和纵向场分布（纵模）；2、每一个模在腔内往返一次经受的相对功率损耗；3、每一个模的激光束发散角。腔的参数唯一确定模的基本特征。开腔傍轴传播模式的纵模特征傍轴光线(paraxialray)

：光传播方向与腔轴线夹角非常小，此时可认为sintan模的基本特征主要包括：开腔傍轴传播模式的纵模特征3E0-E0E1E2E3开腔傍轴传播模式的纵模频率间隔(F-P腔，平面波):光波在腔内往返一次的相位滞后:光波在腔内往返一次的电场变化率（=12）E0E1=E0e-jE2=E1e-jE4E3=E2e-jET=E0+E1+E2+E3+E4+…ET当||1的情况下（往返传播次数无限多），只有当=q2时，ET幅度可以达到E0-E0E1E2E3开腔傍轴传播模式的纵模频率间隔(F4——腔内纵模需要满足的谐振条件相长干涉条件：腔中某一点出发的波，经往返一周回到原来位置时，应与初始出发的波同相位。0—真空中的波长；L’—腔的光学长度为腔内介质折射率——腔内纵模需要满足的谐振条件0—真空中的波长；L’—腔的5纵模间隔

多纵模情况下，不同的纵模对应腔内不同的驻波场分布纵模序数q对应驻波场波节个数

在F-P腔中均匀平面波纵模

场分布的特点——场沿腔的轴线方向形成驻波，驻波的波节数为q，波长为q。纵模间隔与序数q无关，在频率尺度上等距排列；纵模间隔大小与腔长成反比。纵模间隔多纵模情况下，不同的纵模对应腔内不同的驻波场分6a.几何偏折损耗；b.衍射损耗；c.腔镜反射不完全引入损耗；d.材料吸收、散射，腔内插入物所引起的损耗等。选择损耗（有选模作用）非选择损耗（无选模作用）腔内损耗的描述——平均单程损耗因子定义无源腔内，初始光强I0往返一次后光腔衰减为I1，则三、光腔的损耗1、损耗的种类及举例a.几何偏折损耗；选择损耗（有选模作用）非选择损7损耗因子也可以用来定义当损耗很小时，两种定义方式是一致的对于由多种因素引起的损耗，总的损耗因子可由各损耗因子相加得到损耗举例反射镜反射不完全损耗：I0r1r2I1损耗因子也可以用来定义对于由多种因素引起的损耗，总8衍射损耗（均匀平面波夫琅和费（Fraunhofer）衍射）：孔阑传输线第一衍射极小值：2aLFP腔N腔的菲涅耳数，表征衍射损耗大小，N，衍射损耗是从一个镜面中心看到另一个镜面上可以划分的菲涅耳半波带数，也是衍射光在腔内的最大往返次数衍射损耗（均匀平面波夫琅和费（Fraunhofer）衍射）：92、光子在腔内的平均寿命设，初始光强I0，在腔内往返m次后，光强为Im，则则在

t

时刻时，往返次数则t

时刻光强物理意义为腔内光子平均寿命2、光子在腔内的平均寿命则在t时刻时，往返次数物理意义为103、光子寿命与无源谐振腔的Q值的联系储存在腔内的总能量（E）单位时间内损耗的能量（P）谐振腔的损耗越小，Q值越高定义：谐振腔损耗越小，腔内光子寿命越长腔内有增益介质，使谐振腔净损耗减小，光子寿命变长不确定关系Q的普遍定义3、光子寿命与无源谐振腔的Q值的联系储存在腔内的总能量（E）11第二节共轴球面腔的稳定性条件一、几何光学中的光线传输矩阵（ABCD矩阵）1.表示光线的参数r－光线离光轴的距离－光线与光轴的夹角傍轴光线

dr/dz

=

tan

sin正,负号规定:

>0

<0

<02.自由空间区的光线矩阵A处：r0,q0B处：r’,q’

LAB自由空间光线矩阵

rz第二节共轴球面腔的稳定性条件一、几何光学中的光线传输矩阵（123.空气与介质(折射率为n2)的界面入射出射4.薄透镜传输矩阵f3.空气与介质(折射率为n2)的界面入射4.薄透镜传输矩135.球面镜反射矩阵R薄透镜与球面反射镜等效6.ABCD矩阵的应用－球面镜腔球面镜腔中往返一周的光线矩阵（简称往返矩阵）5.球面镜反射矩阵R薄透镜与球面反射镜等效6.ABCD矩阵的14薄透镜与球面反射镜等效L往返周期单位薄透镜与球面反射镜等效L往返周期单位15rmaxSS-1S-2S-3S-4S+1S+2S+3稳定不稳定往返周期单位rmaxSS-1S-2S-3S-4S+1S+2S+3稳定不稳16共轴球面腔的稳定性条件共轴球面腔的稳定性条件17

其中n次往的返传播矩阵:

可求得rn,n其中n次往的返传播矩阵:可求得rn,n18可见，同一谐振腔，不同的传播次序，往返矩阵T不相同，但(A+D)/2相同。例：可见，同一谐振腔，不同的传播次序，往返矩阵T不相同，但(A+19思考题：对1和2两种光线顺序，分别求

其中

课本上式（2.2.15）为精确推导的、n次往的返传播矩阵:

可求得rn,n思考题：其中课本上式（2.2.15）为精确推导的、n次往20总结：1、反射镜R符号规定：凹面向着腔内，R>0，相当于凸薄透镜f>0；凸面向着腔内时，R<0，相当于凹薄透镜f<0。2、对于同样的光线传播次序，往返矩阵T、Tn与初始坐标（r0,0）无关；3、当光线传播次序不同时，往返矩阵不同，但(A+D)/2相同。例：环形腔中的像散-对于“傍轴”光线对于平行于x,z平面传输的光线（子午光线），其焦距对于平行于“光轴”k和y确定的平面传输的光线（弧矢光线），其焦距总结：例：环形腔中的像散-对于“傍轴”光线21二、共轴球面腔的稳定性条件——几何偏折损耗1、稳定腔——傍轴光线在腔内任意多次往返不会横向逸出腔外2、非稳腔——傍轴光线在腔内有限次往返必然从侧面溢出腔外对简单共轴球面腔和复杂腔可选择不同适用公式3、临界腔二、共轴球面腔的稳定性条件——几何偏折损耗2、非稳腔——傍轴22（2）、平行平面腔(R1=R2=,g1=g2=1)不稳定稳定类似于平行平面腔，通过公共中心的光线稳定 不通过公共中心的光线不稳定

适用任何形式的腔,只需列出往返矩阵就能判断其稳定性（3）、共心腔(R1+R2=L)

临界腔其实是稳定的（1）、对称共焦腔：满足R1=R2=L，此时g1=g2=0；（2）、平行平面腔(R1=R2=,g1=g2=123练习：1、画出图1所示谐振腔的等效透镜光路，并写出往返矩阵试问：这种腔是否能用判断腔的稳定性。2、画出图2所示谐振腔一个周期的等效透镜光路。练习：1、画出图1所示谐振腔的等效透镜光判断腔的稳定性。2、24激光原理光学谐振腔理论ABCD矩阵课件25激光原理光学谐振腔理论ABCD矩阵课件26激光原理光学谐振腔理论ABCD矩阵课件27激光原理光学谐振腔理论ABCD矩阵课件28激光原理光学谐振腔理论ABCD矩阵课件29激光原理光学谐振腔理论ABCD矩阵课件30第三节开腔理论的物理概念和衍射理论分析方法一、理想开腔模型，孔阑传输线理想开腔模型：两块反射镜片（平面或曲面）沉浸在均匀、无限、各向同性的介质中。不考虑几何偏折损耗情况下（稳定），由于反射镜的有限大小导致的衍射损耗将决定开腔中激光震荡能量的空间分布。在反射镜边缘处由于衍射发生损耗，进而改变us+1的分布当经过足够多次渡越，形成这样一种场分布，渡越时分布情况不再受衍射影响，只有整体按同样比例衰减。——开腔的自再现模或横模第三节开腔理论的物理概念和衍射理论分析方法一、理想开腔模型31孔阑传输线幅度、相位空间相干性的衍化1、初始入射波的形状不影响自再现模的形成；2、不同初始入射波可能导致不同自再现模-横模的形成。孔阑传输线幅度、相位的衍化1、初始入射波的形状不影响自再现模32二、菲涅耳-基尔霍夫衍射积分S曲面上光场分布函数各子波源发出的球面波倾斜因子

u(x,y)可以看作S曲面上各子波源发出的非均匀球面波的叠加右图左图二、菲涅耳-基尔霍夫衍射积分S曲面上光场分布函数各子波源发出33三、自再现模所应满足的积分方程考虑对称开腔的情况：为与坐标无关的复常数，表示自再现模在渡越一次时的幅度衰减和相位滞后。三、自再现模所应满足的积分方程考虑对称开腔的情况：为与坐标34（6）为自再现模场V(x,y)应满足的积分方程式，K(x,y,x’,y’)称为积分方程的核。则 |V(x,y)|描述镜面上场振幅的分布， 其辐角argV(x,y)描述镜面上的相位分布。简化得到注意：指数上的(x,y,x’,y’)不能做这样的简化？（6）为自再现模场V(x,y)应满足的积分方程式，K(x,y35其中

适用任何对称光学开腔（平行平面，共焦，一般球面镜腔）本征函数本征值1.本征函数形式－镜面上振幅分布－镜面上场的相位分布－镜面上场分布函数(本征函数横模)四、自再现模积分方程的解的物理意义

对应于本征值mn其中适用任何对称光学开腔（平行平面，共焦，一般球面镜腔）本362.本征值gmn

－复常数

单程模振幅的衰减相移设g－量度自再现模的单程损耗,不同横模有不同的g和dd

，g

模的单程损耗dd－光场在腔中渡越一次的相对功率损耗－单程损耗2.本征值gmn－复常数单程模振幅的衰373.单程相移

dmn

－自再现模在腔内渡越一次的总相移开腔自再现模的谐振条件几何相移附加相移，与模式有关当gmn得知,可求得模的谐振频率

3.单程相移dmn－自再现模在腔内渡越一次的总相38

五、分离变量法？如果：

则：

1、矩形平面镜腔设：

则：

Y方向和X方向无限长的窄带镜的自洽积分方程五、分离变量法？如果：则：1、矩形平面镜腔设：则：39菲涅耳数N菲涅耳数N40以Vm和Vn表示第m个和第n个解，m和n表示相应的复常数：积分本征值问题，m、n为一系列不连续的特定值，分别对应相应的本征函数Vm(x)和Vn(y)。以Vm和Vn表示第m个和第n个解，m和n表示相应的复常数41P2(x’,y’)P1(x,y)P’1P’2D2D12、方形球面腔对称共焦腔P2(x’,y’)P1(x,y)P’1P’2D2D12、方形42方形镜对称共焦腔的自再现模满足积分方程：第四节自再现模积分方程的解法1.解析解：

精确解

近似方形镜共焦腔长椭球函数厄米～高斯函数圆形镜共焦腔超椭球函数拉盖尔～高斯函数方形镜对称共焦腔的自再现模满足积分方程：第四节自再现模积分43第五节方形镜对称共焦腔的自再现模2.数值解(数值迭代法)...…...振幅相位300次迭代结果详见63页图2.20第五节方形镜对称共焦腔的自再现模2.数值解(数值迭代法44方形共焦腔分离变量Vmn=Fm(X)Gn(Y)Y方向和X方向无限长的窄带镜共焦腔的自洽积分方程方形共焦腔分离变量Vmn=Fm(X)Gn(Y)Y方向和X方45

精确解：长椭球函数系采用类比法径向长椭球函数角向长椭球函数(m=0,1,2….)某确定值通过对比，找到了m,Fm(X)和n,Gn(Y)的表达式！对于一定的c值，可查长椭球函数表确定精确解：长椭球函数系采用类比法径46

本征函数－角向长椭球函数镜面上场的振幅、相位分布

本征值－径向长椭球函数决定模的相移和损耗均为实函数对给定c值，当m、n取一系列不连续的整数时，即得到一系列本征函数镜面上为等相位面，渡越时，附加相位由m,n决定本征函数－角向长椭球函数镜面上场的振幅、相位分布本47二、厄米～高斯函数－近似解当x<<a

，y<<a的区域内，即在共焦反射镜面中心附近，下面近似成立：近似解：角向长椭球函数厄米多项式和高斯函数乘积注：厄米多项式：二、厄米～高斯函数－近似解当x<<a，y<<a的区48当c=2N>>1时,厄米-高斯函数能近似满足积分方程(2.5.6)，即使不能满足c=2N>>1，厄米-高斯函数仍然能描述镜面中心附近的共焦腔模的振幅和相位分布。至此，我们得到了厄米-高斯近似下共焦镜面上的场分布特性。Cmn－常系数当c=2N>>1时,厄米-高斯函数能近似满足积分方程(2.49厄米-高斯近似下共焦镜面上的场分布特性：1、基模:

TEM00

m=0,n=0光斑尺寸定义(1)—w0s：y1/eEx基模在镜面上分布为高斯型定义：厄米-高斯近似下共焦镜面上的场分布特性：1、基模:TE50光斑尺寸定义(2)

光强降到中心光强的一半处的半径—w’0s：光斑尺寸定义(2)光强降到中心光强的一半处的半径—w’051厄米多项式的零点决定场的节线2、高阶横模的场振幅分布（m,n不同时为0）厄米多项式的零点决定场的节线2、高阶横模的场振幅分布523、高阶横模的光斑尺寸定义：光场分布坐标均方差值的四倍为光斑半径的平方TEM00TEM10TEM20TEM03TEM11TEM31TEM0nTEM1nTEM2nTEM3n厄米多项式的零点决定场振幅的节线3、高阶横模的光斑尺寸定义：光场分布坐标均方差值的四倍为535、单程损耗(mn)

本征值－决定模的相移和损耗径向长椭球函数

m、n与腔的菲涅尔数(N)腔的单程损耗4、镜面上光场的相位分布

的辐角决定镜面上场的相位分布长椭球函数为实函数，表明镜面上各点场的相位值相等等相位面与共焦腔镜面重合5、单程损耗(mn)本征值－决定模的相移和损54

同种腔

ND

m,n

D

选横模的物理基础

不同腔共焦腔衍射损耗<平行平面镜腔衍射损耗共焦腔TEM00近似公式00=10.9×10－4.94N方形镜共焦腔的单程功率损耗同种腔ND不同腔共焦腔衍射556.单程相移和谐振频率

单程相移

谐振条件

谐振频率

同一横模的相邻纵模的频率间隔

同一纵模的相邻横模的频率间隔附加相位超前量6.单程相移和谐振频率单程相移谐振条件56共焦腔的振荡频谱模简并－有相同频率的不同模式，模简并是共焦腔的一个特点频率简并的不同横模，其单程损耗并不相同同一频率可以有多种模式可以存在：共焦腔的振荡频谱模简并－有相同频率的不同模式，同一频57E0，Amn,w0

均为常数，

w0－基模高斯光束腰斑半径

w(z)－

基模高斯光束z处光斑半径w0=w(0)第六节方形镜共焦腔的行波场－厄米～高斯光束菲涅耳-基尔霍夫衍射积分镜面上的场腔内、外任一点的场坐标原点在腔中心在镜面上的场能用厄米-高斯函数描述的情况下，共焦腔场可以表示为：在一定近似情况下：区别E0，Amn,w0均为常数，w0－基模高斯光束腰斑58共焦腔镜面上腰斑尺寸基模光斑大小变化规律——双曲线函数

基模光斑尺寸

基模场振幅分布共焦腔镜面上腰斑尺寸基模光斑大小变化规律基模光斑尺寸59模体积－模式在腔内所扩展的空间范围

对称共焦腔基模体积

高阶模体积－模阶次，模体积

模体积～有贡献的激发态粒子数～输出功率例：（二氧化碳激光器）=10.6m,L=1m,2a=20mm=5.3cm3V=314cm3

/V=5.3/314=1.7%难以获得高功率w0s模体积－模式在腔内所扩展的空间范围对称共焦腔基模体60等相位面(波面)其中对于一个等相位面应有L为共焦腔腔长=2f相位的坐标原点等相位面(波面)其中对于一个等相位面应有L为共焦腔腔长61

k=2/为很大数近轴情况，z0z抛物面方程=f+z=f+z0近轴球面波cR0(x,y,z)zz00球面波y当z>0时：比较k=2/为很大数抛物面方程=f+z=f+z0近轴球62近轴球面波近轴高斯光波比较

高斯光波在腔轴附近可近似为球面波， 球面半径抛物面方程近轴处近似为球面当z<0时，同样处理可得：cR0(x,y,z)zz00球面波y近轴球面波近轴高斯光波比较高斯光波在腔轴附近可近似为球面63等相位面在腔轴附近，抛物面球面，与m,n

模序数无关R(z0)

相等，共焦腔光束的波面在腔中心两侧对称分布无穷远处，等相位面为平面共焦腔中心，波面为垂直腔轴的平面波面与共焦腔镜面重合与波面重合的反射镜面将不扰动场的分布等相位面在腔轴附近，抛物面球面，与m,n64

光束波面的曲率中心曲率中心永远不会在共焦腔中心波面离腔中心越远，曲率中心离中心越近LL/2R0|z0|镜面本身是波面，曲率中心落在另一个镜面的中心在腔内的波面，曲率中心落在腔外在腔外的波面，曲率中心落在腔内光束波面的曲率中心曲率中心永远不会在共焦腔中心波面离腔中心65

远场发散角q(共焦腔基模光束)——光束方向性基模光斑大小变化规律——双曲线函数

实例:He-Ne:

L=30cml=632.8nm~2.3

毫弧度

CO2:L=100cml=10.6mm~5.2

毫弧度基模光束有优良的方向性，高阶模的发散角随模阶次m,n而增大,光束方向性变差远场发散角q(共焦腔基模光束)——光束方向性基模光斑大66第七节圆形镜对称共焦腔的自再现模缔合拉盖尔多项式基模高阶模本征值本征函数圆形镜共焦腔，当菲涅耳数N时，镜面上自再现模为下述形式：（拉盖尔-高斯近似）高斯型，同方形镜共焦腔第七节圆形镜对称共焦腔的自再现模缔合拉盖尔多项式基模67

模的振幅分布

单程相移

谐振频率TEM00TEM01TEM02TEM10TEM20TEM30

相位分布－与方形镜共焦腔相同，等相位面为镜面附加相位超前量高度简并：单程衍射损耗只有精确解才能正确描述共焦腔模的损耗特性。模的振幅分布单程相移谐振频率TEM00TEM01TE68共焦腔—小结：

在N>>1时,共焦腔的自再现模可以由厄米~高斯或拉盖尔~高斯函数近似描述共焦腔基模高斯光束的基本特征唯一地由焦距f或w0决定,与反射镜尺寸无关。参数f

或w0

是表征共焦腔高斯光束的特征参数。只有精确解才能正确描述共焦腔模的损耗特性。每一横模的损耗由腔的菲涅耳数决定，不同横模的损耗各不相同。共焦腔的特点：衍射损耗低；模式高度简并；基模光斑尺寸沿腔轴以双曲线规律变化;等相位面近似为球面，在反射镜处，等相位面与镜面重合。共焦腔—小结：69自再现模所应满足的积分方程分离变量法方形镜对称共焦腔镜面场分布（长椭球函数）厄米-高斯函数圆形镜对称共焦腔镜面场分布（超椭球函数）对称共焦腔拉盖尔-高斯函数N近似镜面场分布空间行波场分布本征值

D，nmnq腔内、外行波场腔内、外行波场基模高斯光束：w0、f、w(z)、R(z)、本征函数镜面上光斑，模体积空间场分布光斑、相位衍射损耗自再现模所应满足的积分方程分离变量法方形镜对称共焦腔镜面场分701、证明：任何一个共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价：可以证明R1,R2,L满足

共焦腔与稳定球面腔的等价性（具有相同的行波场）任何一个共焦腔可以与无穷多个稳定球面镜腔等价，而任何一个稳定球面镜腔只能有一个等价共焦腔是稳定球面腔第八节一般稳定球面镜腔的模式特征1、证明：任何一个共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价：可以证明R712、证明：任意一个稳定球面腔只有一个等价的共焦腔：

关键问题：已知R1,R2,L

如何求出等价共焦腔位置及f

值当可得联立解出：2、证明：任意一个稳定球面腔只有一个等价的共焦腔：关键问72一、镜面上的光斑尺寸（基模）一般稳定球面镜腔的模式特征将前面的表达式带入，得到稳定腔二、模体积（基模）一、镜面上的光斑尺寸（基模）一般稳定球面镜腔的模式特征73模体积（高阶模）对方形镜稳定腔：三、等相位面分布：等相位面（2.8.4）四、基模远场发散角：模体积（高阶模）三、等相位面分布：等相位面（2.8.4）四、74五、谐振频率：方形镜圆形镜表达式代入将方形镜稳定球面腔：圆形镜稳定球面腔：五、谐振频率：方形镜圆形镜表达式代入将方形镜稳定球面腔：圆形75六、衍射损耗：稳定球面镜腔的有效菲涅尔数共焦腔菲涅耳数

稳定球面腔与等价共焦腔的衍射损耗遵循相同规律时，两个腔的单程损耗应该相等。带入（2.8.6）和（2.8.7）可以按共焦腔的N~mn关系，将有效菲涅耳数代入，分别求出对应的mn1和mn2共焦腔TEM00近似公式00=10.9×10－4.94N行波场相同共焦腔各模式的损耗单值的由N决定六、衍射损耗：稳定球面镜腔的有效菲涅尔数共焦腔菲涅耳数稳定76第九节高斯光束的基本性质及特征参数一、基模高斯光束沿z轴方向传播的基模高斯光束，不管它是由何种结构的稳定腔所产生的，均可表示为：瑞利长度共焦参数腰斑半径等相位面曲率半径光斑半径

f或w0为高斯光束的典型参数发散(+)会聚(-)第九节高斯光束的基本性质及特征参数一、基模高斯光束沿z轴方77BasicparametersdescribingaGaussianbeamBasicparametersdescribinga78二、基模高斯光束的特征参数1.用w0(或f)及位置表征；

已知w0

(或

f)

w(z),R(z),,等参数2.用w(z)及R(z)表征;已知w(z),R(z)

w0,z1、曲率不断变化的非均匀球面波；2、横截面内振幅/强度分布为高斯分布；3、等相位面始终保持为球面。发散(+)会聚(-)基模高斯光束特点二、基模高斯光束的特征参数1.用w0(或f)及位置表征793.高斯光束的q参数(2-9-1)改写为1/q(z)q参数(高斯光束的复曲率半径)q参数物理意义：同时反映光斑尺寸及波面曲率半径随z的变化

若已知高斯光束某一位置的q参数w(z),R(z)w0,z3.高斯光束的q参数(2-9-1)改写为1/q(z)q80

若已知高斯光束某一位置的q参数w(z),R(z)

q参数表征高斯光束的优点:

将描述高斯光束的两个参数w(z)和R(z)统一在一个参数中,便于研究高斯光束通过光学系统的传输规律

高斯光束三种描述方法的比较光腰处（z＝0）＝0整理可得：若已知高斯光束某一位置的q参数w(z),R(z)81三、高阶高斯光束1、厄米-高斯光束横向场分布由高斯函数与厄米多项式的乘积决定光腰尺寸：z处光斑尺寸：远场发散角：三、高阶高斯光束1、厄米-高斯光束横向场分布由高斯函数与厄米822、拉盖尔-高斯光束横向场分布z处光斑尺寸：光腰尺寸：远场发散角：2、拉盖尔-高斯光束横向场分布z处光斑尺寸：光腰尺寸：远场83二、高斯光束通过光学元件的变换－ABCD公式1.自由空间2.薄透镜(透镜焦距为F）球面波发散(+)会聚(-)l1l2R1R2S1S2物距像距焦距近轴情况R1R2（薄透镜）高斯光束q1q2两式相减高斯光束球面波二、高斯光束通过光学元件的变换－ABCD公式1.自由空间2.843.光学系统－传输矩阵为的光学系统球面波高斯光束

q参数通过光学系统的变换与球面波R的变换相同－ABCD公式R1R212近轴光,自由空间透镜球面波高斯光束0时，q(z)R(z)，波动光学几何光学3.光学系统－传输矩阵为的光学系统球面波高斯85三、ABCD矩阵应用（1）－高斯光束通过透镜的变换已知：w0,l,F求：通过透镜后lc处，高斯光束参数wc,Rc方法:由ABCD公式

qBz=0q0=iff=w02/A处qA=q0+lB处1/qB=1/qA-1/FC处qc=qB+lcqAqB关键三、ABCD矩阵应用（1）－高斯光束通过透镜的变换已知：w086先求w0’

qcwcqAqB=-l’或者先求w0’qcwcqAqB=-87讨论:高斯光束成象与几何光学成象规律的比较1.

l>>F

即有

(l-F)2>>f2和几何光学成象规律相同腰斑放大率2.l=F

时和几何光学成象规律不同几何光学:

l=Fl’=

(平行光)无实象qAqB3.l<Fl=0仍有实象

几何光学:

l<F虚像讨论:高斯光束成象与几何光学成象规律的比较腰斑放大率2.88四、ABCD矩阵的应用（2）－高斯光束的自再现变换1、利用透镜实现自再现变换2、球面反射镜实现自在现变换qAqB四、ABCD矩阵的应用（2）－高斯光束的自再现变换1、利用透893、高斯光束的自再现变换与稳定球面腔LLf1f2f13、高斯光束的自再现变换与稳定球面腔LLf1f2f190LLf1f2f1对于自再现模有即球面腔稳定性条件LLf1f2f1对于自再现模有即球面腔稳定性条件9