位移法原理、计算方法及应用

建筑力学目录14.1位移法的基本原理14.2位移法的基本未知量14.3等截面直杆的转角位移方程14.4用平衡条件建立位移法方程及应用第14章位移法14.5位移法的基本结构和典型方程第14章位移法学习目标

（1）掌握位移法的基本概念及解题思路。（2）能够准确分析基本未知量。（3）能够熟练写出等截面直杆的转角位移方程。（4）能熟练用位移法计算超静定梁和无侧移刚架的内力。第14章位移法

位移法与力法的根本区别在于：力法是以多余约束力作为基本未知量，先求出多余未知力，再计算结构的内力；而位移法是以某些结点位移作为它的基本未知量，先求出结点的位移，然后再求结构的内力。第14章位移法P位移法是计算超静定结构的基本方法之一.力法计算,9个基本未知量位移法计算,1个基本未知量第14章位移法14.1位移法的基本原理内力计算的关键是求结点位移Z1结点A的转角=+14.1位移法的基本原理解得（左侧受拉）（右侧受拉）（上侧受拉）14.1位移法的基本原理

用位移法计算超静定结构的基本思路是：把超静定结构的某些结点位移（角位移和线位移）作为基本未知量，在结点位移处假设相应的约束，以单跨超静定梁作为计算单元，然后根据其位移及荷载的叠加作用写出各杆的弯矩的表达式，通过平衡方程求出基本未知数，最后求得结构的内力。14.2位移法的基本未知量14.2.1结点角位移结点角位移数目就等于刚结点的数目。独立角位移数目为1有4个角位移未知数

刚性结点的结点角位移和独立的结点线位移。基本未知量:14.2.2结点线位移判断独立线位移数目的方法为铰化结点法。（1）将结构各刚结点（包括固端支座）都变成铰结点，使整个结构变成一个完全的铰接体系；（2）如果此铰接体系为几何不变体系，则说明原结构没有独立的结点线位移。（3）如果铰接体系为几何可变体系（包括瞬变体系），则需添加链杆约束使其成为几何不变体系。所需添加的链杆数目，就是原结构的独立线位移数目。14.2位移法的基本未知量14.2.2结点线位移原结构具有一个独立线位移。原结构具有两个独立线位移。14.2位移法的基本未知量14.3等截面直杆的转角位移方程1.位移法基本变形假定（3）（1）（2）.

忽略杆件的轴向变形和剪切变形，即各杆端之间的轴向长度尺寸在变形后保持不变。结构的变形是微小的。

结点线位移的弧线可用垂直于杆件的切线来代替。14.3等截面直杆的转角位移方程2.内力的正负规定

杆端弯矩对杆端而言以顺时针转向为正（对结点或支座而言，则以逆时针转向为正）；杆端转角以顺时针转动为正；杆件两端在垂直于杆轴方向上的相对线位移（也称侧移）以使整个杆件顺时针转动为正。3.转角位移方程14.3等截面直杆的转角位移方程位移法是以单跨超静定梁作为它的计算单元

单跨超静定梁的支承情况一般可以分为以下三种：14.3等截面直杆的转角位移方程1）两端固定梁14.3等截面直杆的转角位移方程i称为杆件的线刚度

只有荷载作用的情况，此时杆端所产生的弯矩、剪力称为固端弯矩、固端剪力。14.3等截面直杆的转角位移方程2）一端固定一

端铰支梁3）一端固定一端滑动支承梁14.3等截面直杆的转角位移方程14.4用平衡条件建立位移法方程及应用14.4.1根据结点及截面平衡条件建立位移法方程【例14-1】根据结点及截面平衡条件建立位移法方程，分析图14-11(a)所示的刚架。图14-1114.4用平衡条件建立位移法方程及应用

解：14.4.1根据结点及截面平衡条件建立位移法方程14.4用平衡条件建立位移法方程及应用

14.4.1根据结点及截面平衡条件建立位移法方程14.4用平衡条件建立位移法方程及应用

14.4.1根据结点及截面平衡条件建立位移法方程14.4用平衡条件建立位移法方程及应用14.4.2位移法方程的应用1.无侧移结构的计算【例14-2】用位移法计算图14-12(a)所示的连续梁，并作弯矩图。图14-1214.4用平衡条件建立位移法方程及应用14.4.2位移法方程的应用

解：14.4用平衡条件建立位移法方程及应用14.4.2位移法方程的应用

14.4用平衡条件建立位移法方程及应用14.4.2位移法方程的应用【例14-3】用位移法计算图14-13(a)所示刚架，并作内力图。已知q=8kN/m，l=4m。图14-1314.4用平衡条件建立位移法方程及应用14.4.2位移法方程的应用

解：14.4用平衡条件建立位移法方程及应用14.4.2位移法方程的应用

14.4用平衡条件建立位移法方程及应用14.4.2位移法方程的应用2.有侧移结构的计算全部结点或部分结点具有线位移的结构，称为有侧移结构。②在建立位移法方程时，除了考虑刚结点的平衡条件外（力矩平衡），还要考虑与结点线位移对应的截面平衡条件（投影平衡）。注意两点：①基本未知数中应包含结点的独立线位移；14.4用平衡条件建立位移法方程及应用14.4.2位移法方程的应用【例14-4】用位移法计算图14-14(a)所示刚架，并作M图。图14-1414.4用平衡条件建立位移法方程及应用14.4.2位移法方程的应用

解：14.4用平衡条件建立位移法方程及应用14.4.2位移法方程的应用

14.4用平衡条件建立位移法方程及应用14.4.2位移法方程的应用【例14-5】试用位移法计算图14-15(a)所示刚架，并作出M图。已知q=12kN/m，l=3m，横梁刚度为无穷大。图14-1514.4用平衡条件建立位移法方程及应用14.4.2位移法方程的应用

解：14.4用平衡条件建立位移法方程及应用

14.4.2位移法方程的应用14.4用平衡条件建立位移法方程及应用14.4.2位移法方程的应用

14.5位移法的基本结构和典型方程14.5.1位移法的基本结构和典型方程在每个刚结点上加上附加刚臂，以控制结点的转动（但不能控制其移动）；在每个产生独立结点线位移的结点上，沿位移的方向加上附加杆件，以控制结点的移动（但不能控制其转动）。基本结构:增加附加约束后,使得原结构的结点不能发生位移的结构.(a)图为原结构;(b)图为基本结构.附加约束是指附加刚臂和附加杆件。14.5位移法的基本结构和典型方程14.5.1位移法的基本结构和典型方程如图（a）所示刚架，其刚结点数目为7，独立结点线位移数目为3，共有10个基本未知数。其基本结构如图（b）所示。`14.5位移法的基本结构和典型方程14.5.2位移法典型方程刚架有两个基本未知数。结点B的角位移

结点B的水平位移

在结点B处加附加刚臂.在结点

C处加加一水平附加杆件.得基本结构如图（b）所示。

14.5位移法的基本结构和典型方程14.5.2位移法典型方程附加刚臂上产生了反力矩

荷载作用下附加杆件上产生了反力

结点B产生转角Z1附加刚臂上产生了反力矩

附加杆件上产生了反力

结点B产生移动Z2附加刚臂上产生反力矩

附加杆件上产生了反力

14.5位移法的基本结构和典型方程14.5.2位移法典型方程

设该刚架中附加刚臂上的总反力矩为R1

，附加杆件上的总反力为R2:又因原结构并无附加刚臂和水平附加杆件，故应有

Rik表示在附加约束上产生的反力（或反力矩），第一个下标表示发生反力（或反力矩）的位置，第二个下标表示产生此反力（或反力矩）的原因。

设位移法的基本方程为14.5位移法的基本结构和典型方程14.5.2位移法典型方程得对于具有n个基本未知数的结构，位移法的典型方程：结点的广义位移，可以是线位移或角位移

rij(i=j)主系数>0rij=rji反力互等RiP荷载系数rij(i=j)副系数

原结构无附加约束存在，因此基本结构在荷载等外因和各结点位移的共同影响下所产生的附加约束的约束反力（反力或反力矩）的总和为零。14.5位移法的基本结构和典型方程14.5.2位移法典型方程r11为基本结构上当

Z1=1时在附加刚臂

B处引起的反力矩，r21为基本结构上当

Z1=1时在附加杆件上产生的反力

r12为基本结构上当

Z2=1时在附加刚臂

B处引起的反力矩，r22为基本结构上当

Z2=1时在附加杆件上产生的反力

14.5位移法的基本结构和典型方程力法、位移法对比力法基本未知量：多余约束力基本结构：一般为静定结构。作单位和荷载内力图由内力图自乘、互乘求系数，主系数恒正。建立力法方程（协调）位移法基本未知量：结点独立位移基本结构：单跨梁系作单位和荷载内力图由内力图的结点、隔离体平衡求系数，主系数恒正。建立位移法方程（平衡）

解方程求多余未知力迭加作内力图用变形条件进行校核

解方程求独立结点位移迭加作内力图用平衡条件进行校核不能解静定结构可以解静定结构14.5位移法的基本结构和典型方程14.5.2位移法典型方程位移法典型方程与力法典型方程的区别:（1）基本未知数的性质不同：前者为“位移”，而后者为“力”。（2）系数和自由项的物理意义不同：前者表示附加约束上的反力或反力矩，而后者则表示沿多余未知力方向的位移。

（3）典型方程的性质不同：前者为静力平衡方程，而后者为位移协调方程。14.5位移法的基本结构和典型方程14.5.2位移法典型方程【例14-6】用位移法计算图（a）所示的刚架。14.5位移法的基本结构和典型方程14.5.2位移法典型方程

解：此刚架有一个结点角位移，即结点B的转角。(1)确定基本未知量。取基本结构。在结点B处加上附加刚臂，得基本结构如图（b）所示。

(3)建立位移法典型方程：

(4)计算系数和自由项。

分别作出基本结构在Z1=1以及荷载单独作用下的弯矩图14.5位移法的基本结构和典型方程14.5.2位移法典型方程

得同理，有解得14.5位移法的基本结构和典型方程14.5.2位移法典型方程

(5)将求得的系数和自由项代入典型方程：解得(6)画弯矩图14.5位移法的基本结构和典型方程14.5.2位移法典型方程【例14-6】用位移法计算图（a）所示的刚架，并作弯矩图。14.5位移法的基本结构和典型方程14.5.2位移法典型方程

解：

此刚架有2个基本未知数，一个结点角位移和一个线位移。(1)确定基本未知量。取基本结构。在结点C处加上附加刚臂，在结点D处加上一根水平附加杆件，所得基本结构如图（b）所示。

14.5位移法的基本结构和典型方程

(3)建立位移法典型方程：

(4)计算系数和自由项。

14.5位移法的基本结构和典型方程

由结点C的力矩平衡条件,分别求出:

14.5位移法的基本结构和典型方程

同理可求出:(5)将求得的系数和自由项代入典型方程：14.5位移法的基本结构和典型方程

解得

(6)画弯矩图14.5位移法的基本结构和典型方程14.5.3用位移法典型方程求解超静定结构的步骤（1）确定基本未知量和基本结构。