2014第二轮高考总复习多媒体动画课堂数学课件常考问题

与圆

锥曲

线有

关的

定点、定值、最值、范围

问题示例精讲示例精讲以题带点以题带点题型突破题型突破天天冲关天天冲关对点训练对点训练以题带点自主诊断回扣要点答案：(1)√(2)√(3)√

(4)

√

(5)

√解析点评解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数或建立不等关系，根据目标函数或不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关

系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点实际情况灵活处理.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）(1)

斜率为

k

的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2

，y2)，则所得弦长|P1P2|＝1＋k2|x2－x1|．

()F1、F2为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上的任意一点，B

为短轴的一个端点，则有∠F1PF2≤∠F1BF2. (

)P为实轴为

2a的双曲线上的任一点，O为坐标原点，则有|OP|≥a．

(

)(4)

点P

为抛物线y2＝2px(p＞0)上的任一点，适的变量，其原则是这个F

为焦点，则有|PF|≥

p

．

(

)2(5)点P

为抛物线上的任一点，F为焦点，A(m，的坐标等，要根据问题的n)为一定点，则|PA|＋|PF|有最小值．

(

)x2

y2a

b【示例1】．(2013·山东卷)椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是

3F1，F2，离心率为

，过

F1

且垂直于

x

轴的直线被椭圆

C

截得的线段长2为

1.

(1)求椭圆

C

的方程；(2)点P

是椭圆C

上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM

交C的长轴于点M(m,0)，求m

的取值范围；12第二步：求范围，（（（113））由离心率和弦长进行求解．）第一步：

由离心率列方程第一步：联立方程，

，（2）利用三角形内角平分线定理求解．第二

步：由弦长列方程，第二步：消元，△＝０，（3）利用判别式等于零及第三步：解方程

组求第三步：由(2)结论列等式，(2)a，中结论进b，（

）第一步：由角平分线列等式第四步：求出定值．

，定点、定值问题审题探究方法构建模板题型突破流程解析总结(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k

的直线l，使得l

与椭圆C

有且只有一个公共点，设直线PF1、PF2

的斜率分别为k1、k2，若k≠0，试证明1kk＋1

为定值，并求出这个定值．kk2x2

y2解

(1)由于

c2＝a2－b2，将

x＝－c代入椭圆方程a2＋b2＝1，b2

2b2得：y＝±

a

，由题意知

a

＝1，即

a＝2b2.

行求解．x2又

e＝c＝

3，所以

a＝2，b＝1.

故椭圆

C

的方程为

＋y2＝1.a

2

4(2)(法一)如图，由题意知|F1M|

|PF1|

|PF1|

＝c＋m

3＋m＝|MF2|＝|PF2|即4－|PF1|

c－m

3－m，整理得m＝

3(|PF

|－2)．2

1又a－c<|PF1|<a＋c，即2－3<|PF1|<2＋

3.→

→

→

→→

→

→

→|PF1||PM|

|PF2||PM|(法二)由题意知PF1·PM

＝

PF2·PM

，即PF1·PM

PF2·PM→

→

→

→→

→|PF1|

|PF2|＝

.0

0

0设P(x0，y0)，其中x2≠4，将向量坐标化得m(4x2－16)＝3x3－12x0.所以m＝4x0，而x0∈(－2,2)，3

3∴－2<m<2.故m

的取值范围是3

3

3＝k(x－x

)．(3)设P(x0，y0)(y0≠0)，则直线l

的方程为y2

所以 ∈

－

，x

＋y2＝1，

m

2联立

4

3

3m∈－2，2.y－y0＝k(x－x0)，整理得(1＋4k2)x2＋8(ky0－k2x0)x＋4(y2－2kx

y

＋k2x20

0

0

0所以

Δ＝0.即(4－x2)k2＋2x

y

k＋1－y2＝0.

－y00

0

0

0x2

2.0

2

2

2

2又4

＋y0＝1，所以16y0k

＋8x0y0k＋x0＝x

1

1

x0＋

3

x2x

0以

1

＋

1 1

1

＋

1

－4y0

0kk1

kk2＝kk1

k2＝

x0

·

y0

＝－8.0.以

1

＋

1

为定值，这个定值为－8.kk1

kk2

－

3

2x0故

k＝－

0

，由(2)知

＋

＝ ＋

0

＝

.

－1)＝0.4y0

k1

k2

y0

y0

y0所总结:

(1)定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与所参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的．

(2)解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究．总结:

(1)定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的．

(2)解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究．x2

y2【训练1】(2013·安徽卷)设椭圆E：a2＋1－a2＝1

的焦点在x

轴上．若椭圆E

的焦距为1，求椭圆E

的方程；设F1，F2

分别是椭圆E

的左、右焦点，P为椭圆E

上第一象限内的点，直线F2P

交y

轴于点Q，并且F1P⊥F1Q.证明：当a

变化时，点P在某定直线上．1

5(1)解

因为焦距为

1，所以

2a2－1＝4，解得

a2＝8.8x2

8y2故椭圆E

的方程为5

＋3

＝1.(2)证明

设

P(x0，y0)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中

c＝

2a2－1.y0由题设知

x0≠c，则直线

F1P

的斜率k

＝

.F1

P

x0＋cy0直线

F2P

的斜率k

＝

.F2

P

x0－cy0故直线

F2P

的方程为

y＝

(x－c)x0－c．探究方法构建模板题型突破x2

y2【训练1】(2013·安徽卷)设椭圆E：a2＋1－a2＝1

的焦点在x

轴上．若椭圆E

的焦距为1，求椭圆E

的方程；设F1，F2

分别是椭圆E

的左、右焦点，P为椭圆E

上第一象限内的点，直线F2P

交y

轴于点Q，并且F1P⊥F1Q.证明：当a

变化时，点P在某定直线上．当

x＝0

时，y＝

cy0

，即点

Q

坐标为0，

cy0

.c－x0

c－x0y0因此，直线

F1Q

的斜率为k

＝c－x0.F1

Qy0

·

y0由于

F1P⊥F1Q，所以k

.

k

＝x0＋c

c－x0＝－1.F1

Q

F1

P化简得y2＝x2－(2a2－1)①0

0．将①代入椭圆E

的方程，由于点P(x0，y0)在第一象限解得x0＝a2，y0＝1－a2.即点P

在定直线x＋y＝1

上．探究方法构建模板题型突破最值、范围问题（1）利用点差法进行求解．求解（2）根据条件把面积（1）第一步：设A，B的，坐标并带入椭圆方第二步：两方程相减，化简，第三步：由斜率及焦点求出a，b第四步：写椭圆方程，（2）第一步：联立方程求|AB|

，第二步：设CD方第三步：求|CD|的最大值，第四步：求边形面积的最大值．审题探究方法构建模板题型突破流程解析总结解

(1)设

A(x1，y1)，B(x2，y2)，P0(x2

2

x2

22＋y2＝1，2＋y2＝1，转化为函则

1

1

2

22)

y2－y1

程)＝－

＝1.x2－x1a

b

a

b2y1－y2＝－1，由此可得b

(x1＋x∵x1－x2

a2(y1＋y2因为P

为AB

的中点，且OP

的1

1所以y0＝2x0，即y1＋y2＝2(x1＋x2)．所以可以解得a2＝2b2，程并与椭圆方程联立，又由题意知，m

的右焦点为(

3，0)，故

a2－b2＝3.x2

y2【示例

2】．(2013·全国Ⅱ卷)平面直角坐标系

xOy

中，过椭圆

M：a2＋b2＝1(a>b>0)右焦点的直线

x＋y－

3＝0交

M于

A，B两点，P为

AB的中点，且

OP

的斜率为

1.

(1)求

M

的方程；

(2)C，D

为

M上的两点，若四边22

y2所以

a2＝6，b2＝3.

四所以

M

的方程为x

＋6

3＝1.x

y2)将

x＋y－

3＝0

代入

＋

＝1，

x0，y0)，6

3

4

3

数x＝

3

，

x＝0，

4

6得

或

所以可得|AB|＝

3

；3

y＝

3.

1

，3y＝－3

斜率为2，由题意可设直线CD

方程为y＝x＋m，所以设C(x3，y3)，D(x4，y4)，2

2将y＝x＋m

代入x

＋y

＝1

得3x2＋4mx＋2m2－6＝0，6

34则|CD|＝

2

(x3＋x4)2－4x3x4＝

9－m2，形ACBD

的对角线CD⊥AB，求四边形面积的最大值．2

2(又因为Δ＝16m2－12(2m2－6)>0，即－3<m<3，所以当m＝0

时，|CD|取得最大值4，1

8

6解所以四边形

ACBD

面积的最大值为2|AB|·|CD|＝

3

.总结:

求最值或求范围问题常见的解法有两种：

(1)几何法．若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数再求这个函数的最值，这就是代数法．总结:

求最值或求范围问题常见的解法有两种：(1)几何法．若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．【训练2】(2013·广东卷)已知抛物线C

的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c>0)到直线

l：x－y－2＝0

3 2.设

P

为直线

l

上的点，过点的距离为2P

作抛物线C

的两条切线PA，PB，其中A，B

为切点．求抛物线C

的方程；当点P(x0，y0)为直线l

上的定点时，求直线AB

的方程；当点P

在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值．解

(1)依题意，设抛物线

C的方程为

x2＝4cy，|c＋2|

3

2则

＝

，c>0，解得

c＝1.2

2所以抛物线C

的方程为x2＝4y.1(2)抛物线C的方程为x2＝4y，即y＝4x2，1求导得y′＝2x，1

1设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则切线PA，PB

的斜率分别为2x1，2x2，所以切线PA

的方程为y－yx111＝

2

(x－x

)，探究方法构建模板题型突破【训练2】(2013·广东卷)已知抛物线C

的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c>0)到直线

l：x－y－2＝0

3 2.设

P

为直线

l

上的点，过点的距离为2P

作抛物线C

的两条切线PA，PB，其中A，B

为切点．求抛物线C

的方程；当点P(x0，y0)为直线l

上的定点时，求直线AB

的方程；当点P

在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值．x1

x21即y＝

2

x－2

＋y1，即x1x－2y－2y1＝0.同理可得切线PB

的方程为x2x－2y－2y2＝0，又点P(x0，y0)在切线PA

和PB

上，所以x1x0－2y0－2y1＝0，x2x0－2y0－2y2＝0，所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程

x0x－2y0－2y＝0

的两组解，所以直线AB

的方程为x0x－2y－2y0＝0.探究方法构建模板题型突破【训练2】(2013·广东卷)已知抛物线C

的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c>0)到直线

l：x－y－2＝0

3 2.设

P

为直线

l

上的点，过点的距离为2P

作抛物线C

的两条切线PA，PB，其中A，B

为切点．求抛物线C

的方程；当点P(x0，y0)为直线l

上的定点时，求直线AB

的方程；当点P

在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值．(3)由抛物线定义知|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1，所以|AF|·|BF|＝(y1＋1)(y2＋1)＝y1y2＋(y1＋y2)＋1，，x0x－2y－2y0＝0联立方程x2＝4y，消去x

整理得y2＋(2y0－x2)y＋y2＝0，0

0∴y1＋y2＝x2－2y

，y

y

＝y2，0

0

1

2

0∴|AF|·|BF|＝y1y2＋(y1＋y2)＋1＝y2＋x2－2y

＋1.0

0

0探究方法构建模板题型突破【训练2】(2013·广东卷)已知抛物线C

的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c>0)到直线

l：x－y－2＝0

3 2.设

P

为直线

l

上的点，过点的距离为2P

作抛物线C

的两条切线PA，PB，其中A，B

为切点．求抛物线C

的方程；当点P(x0，y0)为直线l

上的定点时，求直线AB

的方程；当点P

在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值．又点P(x0，y0)在直线l

上，所以x0＝y0＋2.

12

9所以y2＋x2－2y

＋1＝2y2＋2y

＋5＝2y

＋2

＋2，0

0

0

0

0

01

9∴当y0＝－2时，|AF|·|BF|取得最小值，且最小值为2.探究方法构建模板题型突破倒计时精题精练提升能力天天冲关x2

y21．(2013·济南3

月模拟)若双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)与直线y＝

3x

无交点，则离心率

e

的取值范围是(

)．A．(1,2)

B．(1,2] C．(1，

5) D．(1，

5]x2

y22．已知椭圆4

＋b2＝1(0<b<2)与

y轴交于

A，B

两点，点

F为该椭圆的一个焦点，则△ABF

面积的最大值为(

)．A．1

B．2

C．4

D．81x2423．设

F

是椭圆 ＋y

＝11的左焦点，O

为坐标原点，点P

在椭圆上，则PF

·PO→

→的最大值为

．x224．(2013·北京卷)已知A，