素能培优(六)破解基于问题情境的数列问题

素能培优(六)破解基于问题情境的数列问题第六章基于问题情境的数列问题是高考的热点内容,通过具体的问题背景,考察数列的应用,以此来检验学生的核心价值、学科素养、关键能力、必备知识.解决情境下的数列问题,常用的解题思路是:审题、建立数列模型、研究模型、解决实际问题.建立数列模型时需注意分析:问题中有哪些量,这些量之间的关系和规律是什么,是否符合等差、等比数列的定义,它们之间的递推关系是什么等,有时还需要从特殊到一般进行归纳总结.只要建立起恰当的数列模型,就可运用数列的通项公式、前n项和公式以及相关的性质、方法解决问题.一、实际生活中的数列问题实际生产生活中的许多问题都与数列问题紧密相关,解决这些问题的关键是弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,建立相应的数列模型,抽象出通项公式或递推关系式,然后利用数列知识解决问题.

对点训练1(2023·江苏苏州高三月考)“苏州码子”发源于苏州,作为一种民间的数字符号曾经流行一时,广泛应用于各种商业场合.“苏州码子”0~9的写法如下:○0,〡1,〢2,〣3,〤4,〥5,〦6,〧7,〨8,〩9.为了防止混淆,有时要将“〡”“〢”“〣”横过来写.已知某铁路的里程碑所刻数字代表距离始发车站的里程,每隔2千米摆放一个里程碑,若在A点处里程碑上刻着“〣〤”,在B点处里程碑上刻着“〩〢”,则从A点到B点的所有里程碑上所刻数字之和等于

.

答案

1890解析

根据题意知,A点处里程碑上刻着数字34,B点处里程碑上刻着数字92,里程碑上刻的数字成等差数列,公差为2,因此从A点到B点的所有里程碑个二、数学文化中的数列问题对于以数学文化为背景的数列问题,解题时常常受困于背景陌生,阅读受阻,无法获得解题思路.解题时应认真审题,从问题背景中提取相关信息并分析归纳,从中构建等差数列或等比数列模型,再根据等差数列或等比数列的有关公式求解作答,必要时进行检验.例2(多选)(2023·福建宁德高三月考)我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗,羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说:“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还,他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人应分别偿还a升,b升,c升粟,1斗为10升,则下列判断正确的是(

)答案

BD对点训练2(2023·山东济南高三模拟)在中国古代诗词中,有一道“八子分绵”的名题:“九百九十六斤绵,赠分八子做盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是把996斤绵分给8个儿子做盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多分17斤绵,则第8个儿子分到的绵是

斤.

答案

184解析

设8个儿子从大到小依次分绵a1斤,a2斤,a3斤,…,a8斤,则数列{an}是公差为17的等差数列.因为共有996斤绵,所以S8=8a1+×17=996,解得a1=65.则a8=65+7×17=184,故第8个儿子分到的绵是184斤.三、数阵或图表中的数列问题从数列到数阵或图表,尽管数的排列形式发生了变化,但问题的本质仍然是数列问题,只要抓住每行(每列)的首项,找准每行(每列)的变化规律,从数阵中构造出新数列(等差数列、等比数列、周期数列等),那么解决问题的思想和方法仍然不变.例3(2023·山西大同高三月考)杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列,在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.在欧洲,帕斯卡在1654年发现这一规律,比杨辉要迟了393年.如图所示,在杨辉三角中,从1开始箭头所指的数组成一个“锯齿形”数列:1,2,3,3,6,4,10,5,…,则在该数列中,第37项是(

)A.153 B.171

C.190

D.210答案

C解析

由题意可得从第4行起的每行第三个数:3=1+2,6=1+2+3,10=1+2+3+4,所以第k(k≥4)行的第三个数为1+2+…+(k-2).在该数列中,第37项为第21行第三个数,所以该数列的第37项为1+2+…+19==190.故选C.对点训练3(2023·辽宁沈阳高三月考)数列{an}中的项按顺序可以排列成如图的形式,第一行1项,排a1;第二行2项,从左到右分别排a2,a3;第三行3项,……,以此类推,设数列{an}的前n项和为Sn,则满足Sn>1000的最小正整数n的值为(

)A.22

B.21

C.20

D.19

4, 4,4×3, 4,4×3,4×32, 4,4×3,4×32,4×33, …答案

C解析

第i行的和为

=2(3i-1),设满足Sn>1

000的最小正整数为n,由于an在图中排在第i行第j列(i,j∈N*且j≤i),所以有Sn=2(3-1)+2(32-1)+…+2(3i-1-1)+2(3j-1)=2(3+32+33+…+3i-1)-2(i-1)+2(3j-1)=3i-3-2(i-1)+2(3j-1)=3i+2·3j-2i-3>1

000,则i≥6,j≥5,即图中从第6行第5列开始,和大于1

000.因为到第6行第5列共有1+2+3+4+5+5=20项,所以最小正整数n的值为20.故选C.四、数列中的新定义问题以数列为背景的新定义问题是高考的热点,解决新定义问题,首先要注意对新定义的理解,其次要能将新定义数列和已学过的等差数列、等比数列进行联系,搞清定义的本质,在新情境下灵活运用已有知识,从而找到解决问题的方法.答案

A对点训练4(多选)(2023·山东烟台高三月考)已知数列{an}的前n项和为Sn,若对任