解答题专项六　概率与统计中的综合问题

解答题专项六概率与统计中的综合问题第十一章考情分析:从近两年的新高考试题来看,概率与统计是高考的重点,约占整个试卷分值的15%,通常以一大两小的模式命题,以中、低档难度为主,考查排列组合、随机事件的概率、相互独立事件、样本的数字特征、离散型随机变量的分布列与期望等知识,着重考查数据分析和数学运算核心素养.考点一概率与频率分布直方图的综合例题(12分)(2022·新高考Ⅱ,19)在某地区进行某种疾病调查,随机调查了100位这种疾病患者的年龄,得到如下样本数据频率分布直方图.(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄;(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)(2)估计该地区一人患这种疾病患者年龄位于区间[20,70)的概率;(3)已知该地区这种疾病患者的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口数的16%,从该地区任选1人,若此人的年龄位于区间[40,50),求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄在该区间的概率,精确到0.0001).【教师讲评】

(1)各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出平均值;(2)实际上就是求位于区间[20,70)的频率,即相应矩形的面积之和.因为满足条件的矩形比较多,也可以用对立事件的概率公式求解;(3)分别计算“任选1人年龄位于区间[40,50)的概率”和“任选1人年龄位于区间[40,50)且患这种疾病的概率”,根据条件概率公式计算.规律方法

频率分布直方图、条形图等是考查数据收集和整理的常用依据,掌握图中常见数据的提取方法,将频率看作概率是解决这类问题的关键.对点训练(12分)(2022·河北衡水中学一模)为做好某次考试的评价工作,将该次成绩转化为百分制,现从中随机抽取了50名学生的成绩,经统计,这批学生的成绩全部介于40至100之间,将数据按照[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成6组,制成了如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中m的值,并估计这50名学生成绩的中位数;(2)在这50名学生中用分层随机抽样的方法从成绩在[70,80),[80,90),[90,100]的三组中抽取了11人,再从这11人中随机抽取3人,记ξ为3人中成绩在[80,90)的人数,求ξ的分布列和数学期望;(3)转化为百分制后,规定成绩在[90,100]的为A等级,成绩在[70,90)的为B等级,其他为C等级.以样本估计总体,用频率代替概率,从所有参加该次考试的同学中随机抽取100人,其中获得B等级的人数设为η,记B等级的人数为k的概率为P(η=k),写出P(η=k)的表达式,并求出当k为何值时,P(η=k)最大?考点二概率与回归直线方程的综合例题(2022·山东德州二模)2021年12月17日,工信部发布的《“十四五”促进中小企业发展规划》明确提出建立“百十万千”的中小企业梯度培育体系,引导中小企业走向“专精特新”“小巨人”“隐形冠军”的发展方向,“专精特新”是指具备专业化、精细化、特色化、新颖化优势的中小企业.下表是某地各年新增企业数量的有关数据:年份/年20172018201920202021年份代码(x)12345新增企业数量(y)817292442(1)请根据上表所给的数据,求出y关于x的回归直线方程,并预测2023年此地新增企业的数量;(2)若在此地进行考察,考察企业中有4个为“专精特新”企业,3个为普通企业,现从这7个企业中随机抽取3个,用X表示抽取的3个为“专精特新”企业个数,求随机变量X的分布列与期望.规律方法

概率与回归直线方程的综合常涉及相互独立事件的概率、二项分布、超几何分布及回归直线方程等知识,考查学生的阅读能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识.对点训练(2023·福建上杭一中模拟)为助力乡村振兴,某电商平台为某地的农副特色产品开设直播带货专场.为了对该产品进行合理定价,用不同的单价在平台试销,得到如下数据:单价x/(元/件)88.28.48.68.89销量y/万件908483807568(1)(ⅰ)根据以上数据,求y关于x的回归直线方程;(ⅱ)若该产品成本是7元/件,假设该产品全部卖出,预测把单价定为多少时,工厂获得最大利润.(2)为了解该产品的价格是否合理,在试销平台上购买了该产品的顾客中随机抽了400人,阅读“购买后的评价”得知:对价格满意的有300人,基本满意的有50人,不满意的有50人.为进一步了解顾客对该产品价格满意度形成的原因,在购买该产品的顾客中随机抽取4人进行电话回访,记抽取的4人中对价格满意的人数为随机变量X,求随机变量X的分布列和数学期望.(视频率为相应事件发生的概率)考点三概率与独立性检验综合例题(2022·湖南永州一模)我市为了解学生体育运动的时间长度是否与性别因素有关,从某几所学校中随机调查了男、女生各100名的平均每天体育运动时间(单位:分钟),得到如下数据:性别(0,40](40,60](60,90](90,120]女生10404010男生5254030根据学生课余体育运动要求,平均每天体育运动时间在(60,120]内认定为“合格”,否则被认定为“不合格”,其中,平均每天体育运动时间在(90,120]内认定为“良好”.(1)完成下列2×2列联表,并分析是否有99.5%的把握认为学生体育运动时间与性别因素有关;性别不合格合格总计女生

男生

总计

(2)从女生平均每天体育运动时间在(0,40],(40,60],(60,90],(90,120]的100人中用分层随机抽样的方法抽取20人,再从这20人中随机抽取2人,记X为2人中平均每天体育运动时间为“良好”的人数,求X的分布列及数学期望;(3)从全市学生中随机抽取100人,其中平均每天体育运动时间为“良好”的人数设为ξ,记“平均每天体育运动时间为‘良好’的人数为k”的概率为P(ξ=k),视频率为概率,用样本估计总体,求P(ξ=k)的表达式,并求P(ξ=k)取最大值时对应k的值.α=P(χ2≥k)0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828解

(1)由题意可知,2×2列联表如下表:性别不合格合格总计女生5050100男生3070100总计80120200规律方法

概率与独立性检验的综合应用也常涉及频率与概率、古典概型、相互独立事件的概率、二项分布、超几何分布、独立性检验等知识,考查了信息提取与数据处理能力.对点训练(2022·山东临沂一模)某赛事已签约45家赞助企业,为了解这45家赞助企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系,某平台对45家赞助企业进行跟踪调查,其中每天线上销售时间不少于8小时的企业有20家,余下的企业中,每天的销售额不足30万元的企业占,统计后得到如下2×2列联表:类别销售额不少于30万元销售额不足30万元总计线上销售时间不少于8小时17

20线上销售时间不足8小时

总计

45(1)请完成上面的2×2列联表,并分析在犯错误的概率不超过1%的前提下,能否认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关;(2)①按销售额进行分层随机抽样,在上述赞助企业中抽取5家企业,求销售额不少于30万元和销售额不足30万元的企业数;②在①的条件下,抽取销售额不足30万元的企业时,设抽到每天线上销售时间不少于8小时的企业数是X,求X的分布列及期望值.附:α=P(χ2≥k)0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828解

(1)由题意分析可得:签约企业共45家,线上销售时间不少于8小时的企业有20家,那么线上销售时间少于8小时的企业有25家,每天的销售额不足30万元的企业占

,共有25×=18.完成2×2列联表如下:类别销售额不少于30万元销售额不足30万元合计线上销售时间不少于8小时17320线上销售时间不足8小时101525合计271845P(χ2≥6.635)=0.01,9.375>6.635,所以,在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关.(2)①由题意可知销售额不少于30万元有27家,销售额不足30万元有18家.②由题意进行数据分析可知:每天的销售额不足30万元,每天线上销售时间不少于8小时的企业有3家,线上销售时间少于8小时的企业有15家.由①可知,从销售额不足30万元的企业中抽取2家,所以X的可能取值为0,1,2.考点四正态分布与概率统计的综合例题(2023·山东潍坊模拟)冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们对于体育运动的热情,掀起了青少年锻炼身体的热潮.某校为了解全校学生“体能达标”的情况,从高三年级1000名学生中随机选出40名学生参加“体能达标”测试,并且规定“体能达标”预测成绩小于60分的为“不合格”,否则为“合格”.若高三年级“不合格”的人数不超过总人数的5%,则该年级体能达标为“合格”;否则该年级体能达标为“不合格”,需要重新对高三年级学生加强训练.现将这40名学生随机分成甲、乙两个组,其中甲组有24名学生,乙组有16名学生.经过预测后,两组各自将预测成绩统计分析如下:甲组的平均成绩为70,标准差为4;乙组的平均成绩为80,标准差为6.(3)为增强趣味性,在体能达标的跳绳测试项目中,同学们可以向体育特长班的强者发起挑战.每场挑战赛都采取七局四胜制.积分规则如下:以4∶0或4∶1获胜队员积4分,落败队员积0分;以4∶2或4∶3获胜队员积3分,落败队员积1分.假设体育生王强每局比赛获胜的概率均为,求王强在这轮比赛中所得积分为3分的条件下,他前3局比赛都获胜的概率.规律方法

正态分布与概率统计的综合,考查了学生的阅读能力、数据处理能力及应用意识,解读这类问题的关键是培养敢于克服困难完成读题、建模的能力.对点训练(2022·山东日照一模)春节期间,我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策”.某路桥公司为了解春节期间车辆出行的高峰情况,在某高速收费点发现大年初三上午9:20~10:40这一时间段内有600辆车通过,将其通过该收费点的时刻绘成频率分布直方图.其中时间段9:20~9:40记作区间[20,40),9:40~10:00记作[40,60),10:00~10:20记作[60,80),10:20~10:40记作[80,100],例如:10点04分,记作时刻64.(1)估计这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);(2)为了对数据进行分析,现采用分层随机抽样的方法从这600辆车中抽取10辆,再从这10辆车中随机抽取4辆,记X为9:20~10:00之间通过的车辆数,求X的分布列与数学期望;(3)由大数据分析可知,车辆在春节期间每天通过该收费点的时刻T服从正态分布N(μ,σ2),其中μ可用这600辆车在9:20~10:40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替,σ2可用样本的方差近似代替(同一组中的数据用该组区间的中点值代表),