第三节　圆的方程

第三节圆的方程第九章内容索引0102强基础固本增分研考点精准突破课标解读掌握确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程与一般方程.强基础固本增分1.圆的定义与方程

2.点与圆的位置关系圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),圆心C的坐标为(a,b),半径为r,设M的坐标为(x0,y0).3.圆的参数方程

常用结论1.确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上;(2)圆心在任一弦的中垂线上;(3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心共线.2.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.自主诊断题组一

思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.已知圆的方程为x2+y2-2y=0,过点A(1,2)作该圆的切线只有一条.(

)2.方程(x+a)2+(y+b)2=t2(t∈R)表示圆心为(a,b),半径为t的圆.(

)×××√题组二

双基自测5.

经过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程是

,其圆心坐标为

,半径为

.

答案

x2+y2-8x+6y=0

(4,-3)

5解析

设圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0.①因为O,M1,M2三点都在圆上,所以它们的坐标都是方程①的解,把它们的坐标依次代入方程①,得到关于D,E,F的一个三元一次方程组所以,所求圆的方程是x2+y2-8x+6y=0.圆心坐标为(4,-3),半径为5.6.

已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程.研考点精准突破考点一求圆的方程例题已知圆C的圆心在直线x+y=0上,圆C与直线x-y=0相切,且被直线x-y-3=0截得的弦长为,则圆C的方程为

.

答案

(x-1)2+(y+1)2=2解析

(方法1

几何法)∵所求圆的圆心在直线x+y=0上,∴设所求圆的圆心为(a,-a).又所求圆与直线x-y=0相切,规律方法

求圆的方程的两种方法

对点训练(2022·全国乙,文15)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为

.

考点二与圆有关的轨迹问题例题已知Rt△ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0).求:(1)直角顶点C的轨迹方程;(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.解

(1)(方法1)设C(x,y).因为A,B,C三点不共线,所以y≠0.因为AC⊥BC,且BC,AC斜率均存在,所以kAC·kBC=-1,即

,化简得x2+y2-2x-3=0.因此,直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0).(方法2)设AB的中点为D,由中点坐标公式得D(1,0).由直角三角形的性质,知|CD|=|AB|=2.由圆的定义,知动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心,2为半径的圆(由于A,B,C三点不共线,所以应除去与x轴的交点),所以直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0).规律方法

求与圆有关的轨迹问题的常用方法

对点训练古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k(k>0,k≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系xOy中,A(-4,0),B(2,0),点M满足

=2,则点M的轨迹方程为(

)A.(x+4)2+y2=16 B.(x-4)2+y2=16C.x2+(y+4)2=16 D.x2+(y-4)2=16答案

B考点三与圆有关的最值问题(多考向探究预测)考向1借助目标函数的几何意义求最值例题已知点(x,y)在圆(x-2)2+(y+3)2=1上,则x+y的最大值是

,最小值是

.

解析

设t=x+y,则y=-x+t,t可视为直线y=-x+t在y轴上的截距,则x+y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线在y轴上的截距的最大值和最小值,即直线与圆相切时在y轴上的截距.规律方法

与圆有关的最值问题的三种几何转化法

对点训练已知点M(m,n)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点.(1)求m+2n的最大值;考向2利用对称性求最值例题已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,点M,点N分别是圆C1,圆C2上的动点,点P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为(

)答案

A解析

由题可知圆心C1(2,3),圆心C2(3,4).因为点P是x轴上任意一点,所以|PM|的最小值为|PC1|-1,同理|PN|的最小值为|PC2|-3,所以|PM|+|PN|的最小值为|PC1|+|PC2|-4.作C1关于x轴的对称点C'1(2,-3)(图略),所以|PC1|+|PC2|=|PC'1|+|PC2|≥|C'1C2|=5,即|PM|+|PN|=|PC1|+|PC2|-4≥5-4.故选A.规律方法

形如|PA|+|PQ|形式的与圆有关的折线段问题(其中P,Q均为动点),要立足两点:(1)减少动点的个数;(2)“曲化直”,即将折线段转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决.对点训练已知A(0,2),点P在直线x+y+2=0上,点Q在圆C:x2+y2-4x-2y=0上,则|PA|+|PQ|的最小值是

.

考向3建立函数关系式求最值例题(多选)(2023·湖南永州高三检测)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,1),B(m,-1)(m>0