第6节　空间向量及其运算

第六节空间向量及其运算第八章内容索引0102强基础增分策略增素能精准突破课标解读衍生考点核心素养1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.1.空间向量的线性运算2.共线定理、共面定理的应用3.空间向量数量积及应用1.直观想象2.逻辑推理3.数学运算强基础增分策略1.空间向量的有关概念

名称定义空间向量在空间中,具有

和

的量,其大小叫作向量的长度或模

相等向量方向

且模

的向量

相反向量方向

且模

的向量

共线向量(或平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相

或

的向量

共面向量平行于

的向量

大小

方向

相同

相等

相反相等

平行

重合

同一个平面

微点拨空间向量是由平面向量拓展而来的,因此空间向量的概念和性质与平面向量的概念和性质相同或相似.在学习空间向量时,与平面向量的相关内容类比进行学习,将达到事半功倍的效果.微思考“空间中任何两个向量都是共面向量”,这个结论是否正确?提示:正确.根据向量相等的定义,可以把向量进行平移,空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内,成为共面向量.2.空间向量中的有关定理

定理名称语言描述共线向量定理对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b⇔存在λ∈R,使a=λb

为了使λ存在且唯一共面向量定理如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面⇔存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb空间向量基本定理如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任意

三个向量不共面,可构成一组基底{a,b,c}一个向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc微点拨(1)由于0与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,故0不能作为基向量.(2)基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示.微思考基向量和基底一样吗?提示:不一样.基底是指一个向量组,基向量是基底中的某一个向量.3.空间向量的数量积及运算律(1)非零向量a,b的数量积a·b=|a||b|cos<a,b>.

变形式:(1)a⊥b⇔a·b=0;(2)|a|2=a2(2)空间向量数量积的运算律:①结合律:(λa)·b=λ(a·b);②交换律:a·b=b·a;③分配律:a·(b+c)=a·b+a·c.微点拨向量的数量积满足交换律、分配律,但不满足结合律,即(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.4.空间向量的坐标运算(1)设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则②a+b=

.

③a-b=

.

④λa=

.

⑤a·b=

.

(a1+b1,a2+b2,a3+b3)

(a1-b1,a2-b2,a3-b3)

(λa1,λa2,λa3)

a1b1+a2b2+a3b3

(x2-x1,y2-y1,z2-z1)

微思考空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取有关吗?

提示:无关.这是因为一个确定的几何体,其“线线”夹角、“点点”距离都是固定的,坐标系的位置不同,只会影响其计算的繁简,不会影响结果.常用结论1.证明空间任意三点共线的方法对空间三点P,A,B可通过证明下列结论成立来证明三点共线:2.证明空间四点共面的方法对空间四点P,M,A,B,可通过证明下列结论成立来证明共面:增素能精准突破考点一空间向量的线性运算典例突破例1.(1)(2021江西师大附中模拟)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M答案:(1)A

(2)C

突破技巧空间向量线性运算中的三个关键点

对点训练1(2021吉林白城一中月考)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为答案:D

考点二共线定理、共面定理的应用典例突破例2.(1)(2021浙江舟山中学月考)若A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),C(m+3,n-3,9)三点共线,则m+n=(

)A.0 B.1

C.2

D.3②判断点M是否在平面ABC内.

答案:(1)A

突破技巧证明三点共线和空间四点共面的方法

对点训练2(1)(2021福建厦门一中月考)已知A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),点P(x,-1,3)在平面ABC内,则x的值为(

)A.-4 B.1

C.10

D.11答案:(1)D

考点三空间向量数量积及应用(多考向探究)考向1.求空间向量的数量积典例突破A.-1 B.0

C.1 D.不确定答案:B

=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)=a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a=0.突破技巧空间向量的数量积运算的两条途径

考向2.空间向量数量积的应用典例突破例4.(1)(2021全国高二课时练习)已知空间向量a,b,c两两夹角均为60°,其模均为1,则|a-b+2c|=(

)(2)(2021河北曹妃甸一中模拟)空间向量a=(2,3,-2),b=(2,-m,-1),如果a⊥b,则|b|=

.

(3)(2021广东深圳高三质量评估)已知a=(1,2,3),b=(2,3,5),则以a,b所对应的有向线段为邻边的平形四边形的面积是

.

(2)∵向量a=(2,3,-2),b=(2,-m,-1),且a⊥b,∴a·b=0,∴2×2-3m+2=0,解得m=2,∴b=(2,-2,-1),突破技巧空间向量数量积的3个应用

求夹角设向量a,b夹角为θ,则cos

θ=

,进而可求两异面直线所成的角求长度(距离)利用公式|a|2=a·a,可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题解决垂直问题利用a⊥b⇔a·b=0(a≠0,b≠0),可将垂直问题转化为向量数量积的