第十讲刚体定轴转动中的功和能对定轴的角动量守恒课件

15.4刚体定轴转动中的功和能5.5对定轴的角动量守恒定律15.4刚体定轴转动中的功和能2教学基本要求

1理解力矩的功，刚体转动动能。

2掌握刚体转动的动能定理掌握刚体定轴转动的角动量守恒定律

3

能运用转动的动能定理和角动量守恒定律

分析和解决刚体定轴转动的力学问题。作业：练习5刚体定轴转动中的功和能及角动量守恒定律2教学基本要求1理解力矩的功，刚体转动动能。本节内容提纲

1力矩的功，刚体的转动动能。

2刚体定轴转动的动能定理

3刚体定轴转动的角动量守恒定律本节内容提纲1力矩的功，刚体的转动动能。3力矩的空间累积效应

力矩的功，转动动能，动能定理。力的空间累积效应力的功，动能，动能定理。5.4刚体定轴转动中的功和能力矩的空间累积效应力矩的功，转动动能，动能定理。力4一.力矩的功

刚体在力作用下绕轴转过一微小角位移d，力作功为：力矩的功：

刚体绕定轴转动时，力矩对转动物体作的功等于相应力矩和角位移的乘积。力矩的元功：OP.一.力矩的功刚体在力作用下绕轴转过一微小角位移5力矩的功：1）若M的大小、方向不变—恒力矩，2）力矩做功的正负5）力矩对定刚体空间累积作用效果——力矩的功。4）如果刚体同时受到N个外力时，这

N个外力使

刚体转过d角的过程中，所作的总功为：讨论：力矩的功：1）若M的大小、方向不变—恒力矩，2）力矩做功6

力矩的功率：可见，力矩的功率等于力矩与角速度的乘积。1、定义：单位时间内力矩对刚体所作的功。2、公式：功率一定时，转速越大，力矩越小；转速越小，力矩越大。表示力矩对刚体作功的快慢。力矩的功率：可见，力矩的功率等于力矩与角速度的乘积。7zO设系统包括有N个质量元，刚体定轴转动的总动能为：P•，其动能为：取二、刚体的转动动能（刚体上所有质元的动能之和。）各质量元速度不同，但角速度相同。zO设系统包括有N个质量元，刚体定轴转动的总动能为：P89三、刚体绕定轴转动的动能定理

合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功，等于刚体转动动能的增量。刚体：各质量元间无相对位移，所以内力矩不做功。质点系：外力和内力的功对质点系的动能变化均有影响。9三、刚体绕定轴转动的动能定理合外力矩对绕定轴转动的

刚体的重力势能，可看作是刚体质量全部集中在其质心处，按质心的重力势能来计算。刚体重力势能为：刚体的重力势能，可看作是刚体质量全部集中在其质心处，按质10

刚体的动能：刚体的重力势能：刚体的机械能：刚体的机械能守恒：质心的势能

对于含有刚体的系统，如果在运动过程中只有保守内力作功，则此系统的机械能守恒。刚体的动能：刚体的重力势能：刚体的机械能：刚体的机械能守恒11例1：一根长为

l

，质量为m

的均匀细直棒，可绕轴O

在竖直平面内转动，初始时它在水平位置。求：它由此位置下摆

角时的角速度。解：由动能定理：OlmCx棒-对象，受力：重力、轴处支持力例1：一根长为l，质量为m的均匀细直棒，可绕轴O12另解：对杆、地球组成的系统，由机械能守恒定律：例1：一根长为

l

，质量为m

的均匀细直棒，可绕轴O

在竖直平面内转动，初始时它在水平位置。求：它由此位置下摆

角时的角速度。OlmCx此题也可用机械能守恒定律方便求解。另解：对杆、地球组成的系统，由机械能守恒定律：例1：一根长为13Rhm'mm

例2：

一质量为

、半径为R的圆盘，可绕一垂直通过盘心的无摩擦的水平轴转动。圆盘上绕有轻绳，一端挂质量为m的物体。问：物体由静止下落高度h时，其速度的大小为多少？设绳的质量忽略不计。m为圆盘转过的角度，、分别为圆盘起始和终了时的角速度。拉力的力矩对圆盘做功，由刚体绕定轴转动的动能定理可得，拉力的力矩所作的功为：

解：Rhm'mm例2：一质量为、14物体由静止开始下落解得：由质点动能定理：m物体由静止开始下落解得：由质点动能定理：m15另解：用机械能守恒定律求解Rhm'mm

例2：

一质量为

、半径为R的圆盘，可绕一垂直通过盘心的无摩擦的水平轴转动。圆盘上绕有轻绳，一端挂质量为m的物体。问：物体由静止下落高度h时，其速度的大小为多少？设绳的质量忽略不计。圆盘、物体m和地球组成的系统由机械能守恒定律，可得：m另解：用机械能守恒定律求解Rhm'mm例216一.刚体定轴转动的角动量定理1、刚体定轴转动的角动量5.5对定轴的角动量守恒2、刚体定轴转动的角动量定理一.刚体定轴转动的角动量定理1、刚体定轴转动的角动量5.17182、刚体定轴转动的角动量定理由转动定律：（角动量定理的积分形式）

定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩，等于其角动量的增量。（角动量定理的微分形式）182、刚体定轴转动的角动量定理由转动定律：（角动量定理的积非刚体定轴转动的角动量定理：说明：

当变形体绕某轴转动时，若其上各点（质元）转动的角速度相同，则变形体对该轴的角动量为：刚体定轴转动的角动量定理：（J

不变）（J

变）非刚体定轴转动的角动量定理：说明：当变形体绕194）角动量守恒定律是自然界的一个基本定律。2）内力矩不改变系统的角动量。刚体定轴转动的角动量定理二、

刚体定轴转动的角动量守恒定律，则若3）

在冲击等问题中常量当刚体受到的合外力矩为0时，其角动量保持不变。讨论1）守恒式中各量必须是对同一惯性系中同一转轴。4）角动量守恒定律是自然界的一个基本定律。2）内力矩不改变系20说明1）刚体定轴转动的角动量守恒条件：当合外力不为0时，合外力矩可以为0。当合外力为0时，合外力矩不一定为0；2）角动量守恒的两种情况：若不变，不变；若变，也变，但不变。①②说明1）刚体定轴转动的角动量守恒条件：当合外力不为0时，21即刚体在受合外力矩为0时，原来静止则永远保持静止，原来转动的将永远转动下去。①

定轴转动的刚体，

不变，若则大小方向都不变。角动量守恒的两种情况：②

定轴转动的非刚性物体，转动惯量可变，角动量守恒，则有：如花样滑冰，跳水，芭蕾舞等。即刚体在受合外力矩为0时，原来静止则永远保持静止，原来转22②定轴转动的非刚性物体，②定轴转动的非刚性物体，23花样滑冰张臂先使自己转动起来收臂Jw大小大小Jw花样滑冰张臂先使自己转动起来收臂Jw大小大小Jw243）物体系的角动量守恒

若系统由几个物体组成，各物体对同一个转轴的角动量分别为…，则总角动量为：，比如：当研究质点与刚体的碰撞问题时，可以把质点和刚体看成一个系统，在碰撞过程中，系统所受的合外力矩为零，所以系统的角动量守恒。

只要整个系统受到的合外力矩为0，则系统的总角动量守恒，即：恒量3）物体系的角动量守恒若系统由几个物体组成，25角动量守恒是自然界的普遍规律。

角动量守恒定律与动量守恒定律及能量守恒定律并称为三大守恒定律，这三大守恒定律的成立有着深刻的内在原因。现代物理学已确认，这些守恒定律是和自然界的更为普遍的属性——时空对称性相联系的。角动量守恒是自然界的普遍规律。角动量守恒定律与动量守恒定26解

：把子弹和杆看作一个系统。例题3一长为l,质量为

的杆可绕支点O自由转动。一质量为速率为的子弹射入竿内距支点为处，使杆的偏转角为。问子弹的初速率为多少?子弹射入杆的过程系统角动量守恒。解：把子弹和杆看作一个系统。例题3一长为l,质量27

射入竿后，以子弹、细杆和地球为系统，机械能守恒。射入竿后，以子弹、细杆和地球为系统，机械能守恒。2829解：碰撞过程角动量守恒:例4：长为2L、质量为m的匀质细杆，静止在光滑的水平桌面上。两个质量、速率均为m和的小球，在水平面内与杆的两端同时发生完全非弹性碰撞（设碰撞时间极短）。求：两小球与杆刚碰后，这一系统的角速度为多少？mm.O解得29解：碰撞过程角动量守恒:例4：长为2L、质量为m的12例5：人与转盘的转动惯量J0，伸臂时臂长为l1，收臂时臂长为l2。人站在不计摩擦的自由转动的圆盘中心上，每只手抓有质量为m的哑铃。伸臂时转动角速度为1，求：收臂时的角速度2

。转动惯量减小，角速度增加。解：人-对象，受力（重力、转盘支持力）对竖直轴力矩为零，故角动量守恒。12例5：人与转盘的转动惯量J0，伸臂时臂长为l1，30例6：圆盘（R，M），人（m）开始静止，人走一周，求：盘相对地转动的角度？解：系统对转轴由角动量守恒定律：M=0在盘上跑一圈的时间（

）内，圆盘对地的角位移人、圆盘-系统受力：重力、支持力例6：圆盘（R，M），人（m）开始静止，人走一周，求：盘相对31在盘上跑一圈的时间（）内，圆盘对地的角位移在盘上跑一圈的时间（）内，32随堂小议（1）（2）（3）（4）两人同时到达；用力上爬者先到；握绳不动者先到；以上结果都不对。两人质量相等O一人握绳不动一人用力上爬随堂小议终点线终点线滑轮质量既忽略轮绳摩擦又忽略可能出现的情况是随堂小议（1）（2）（3）（4）两人同时到达；用力上爬者先到33小议链接1两人质量相等O一人握绳不动一人用力上爬随堂小议可能出现的情况是终点线终点线滑轮质量既忽略轮绳摩擦又忽略（1）（2）（3）（4）两人同时到达；用力上爬者先到；握绳不动者先到；以上结果都不对。小议链接1两人质量相等O一人握绳不动一人用力上爬随堂小议可能34小议链接2两人质量相等O一人握绳不动一人用力上爬随堂小议可能出现的情况是终点线终点线滑轮质量既忽略轮绳摩擦又忽略（1）（2）（3）（4）两人同时到达；用力上爬者先到；握绳不动者先到；以上结果都不对。小议链接2两人质量相等O一人握绳不动一人用力上爬随堂小议可能35小议链接3两人质量相等O一人握绳不动一人用力上爬随堂小议可能出现的情况是终点线终点线滑轮质量既忽略轮绳摩擦又忽略（1）（2）（3）（4）两人同时到达；用力上爬者先到；握绳不动者先到；以上结果都不对。小议链接3两人质量相等O一人握绳不动一人用力上爬随堂小议可能36小议链接4两人质量相等O一人握绳不动一人用力上爬随堂小议可能出现的情况是终点线终点线滑轮质量既忽略轮绳摩擦又忽略（1）（2）（3）（4）两人同时到达；用力上爬者先到；握绳不动者先到；以上结果都不对。小议链接4两人质量相等O一人握绳不动一人用力上爬随堂小议可能37忽略轮、绳质量及轴摩擦。

可应用质点系角动量定理进行具体分析讨论。质点系

1）若

，系统受合外力矩为零，角动量守恒。得

2）若

，系统受合外力矩不为零，角动量不守恒。O同高从静止开始往上爬系统的末态角动量系统的初态角动量不论体力强弱，两人等速上升。一人用力上爬一人握绳不动忽略轮、绳质量及轴摩擦。可应用质点系角动量定理进行具体分38质点的直线运动物理量刚体定轴转动物理量

─平动动量ω─角速度v

─线速度a

─线加速度m

─质量平动惯性的量度─力─平动动能─角动量—转动动能─力矩J─转动惯量β─角加速度转动惯性的量度质点的直线运动物理量刚体定轴转动物理量─平动动量ω39质点的直线运动规律刚体定轴转动规律质点的直线运动规律刚体定轴转动规律40第十讲刚体定轴转动中的功和能对定轴的角动量守恒ppt课件41练习：如图，长为l，质量为M的均匀细棒可饶过O点的转轴在竖直面内自由转动。一质量为m的质点以初速v0沿水平方向运动，与静止在竖直位置的细棒的末端发生完全非弹性碰撞，碰撞后两者一起上摆。求（1）碰撞后瞬间两者一起上摆的角速度，（2）两者一起上摆的最大角度

。Olm练习：如图，长为l，质量为M的均匀细棒可饶过O点的转轴在竖42OlmOlm43d解得：

=4m/s解：系统（滑块、弹簧），受力-弹力、重力

对滑块运动有影响的力只有弹性力，例题7：在一光滑的水平面上，有一轻弹簧，倔强系数为k=100N/m，一端固定于o点，另一端连接一质量为m=1kg的滑块。设开始时，弹簧的长度为lo=0.2m(自然长度)，滑块速度o=5m/s，方向与弹簧垂直。当弹簧转过90时，其长度l=0.5m。求：此时滑块速度的大小。

角动量守恒：mo

lo=mlsinololomm

机械能守恒：d解得：=4m/s解：系统（滑块、弹簧），受力-弹力44例8：匀质圆盘（M、R）与人（m，视为质点）一起以角速度o绕通过其盘心的竖直光滑固定轴转动。当此人从盘的边缘走到盘心时，求：圆盘的角速度是多少？

解：系统（圆盘+人）o系统角动量守恒：受重力、转盘支持力对竖直轴力矩为零，例8：匀质圆盘（M、R）与人（m，视为质点）一起以角速度4546例9:

在水平面内，质量为m1的小球与质量为m2长为2l的棒作完全弹性碰撞，棒可绕通过中心的轴转动。求：球的反弹速度和棒的角速度。解：小球的重力与冲击力相比可忽略，设小球反弹速度为v,棒的角速度为弹性碰撞:解得:46例9:在水平面内，质量为m1的小球与质量为m2长为2解：两飞轮通过摩擦达到共同速度，合外力矩为0，系统角动量守恒。共同角速度：例10：两个共轴飞轮转动惯量分别为J1、J2，角速度分别为1、2，求：两飞轮啮合后共同的角速度。解：两飞轮通过摩擦达到共同速度，合外力矩为0，系统角动量守恒4748例11质量很小长度为l的均匀细杆，可绕过其中心O并