2022-2023学年北京市通州区高一下学期期中调研数学试题【含答案】

2022-2023学年北京市通州区高一下学期期中调研数学试题一、单选题1．设，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用特殊角的三角函数值，求解即可.【详解】∵且，∴.2．已知，，且，则|（

）A．3 B． C．5 D．9【答案】B【分析】结合向量运算法则和求解即可；【详解】故选：B.3．扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则A．扇形的面积不变 B．扇形的圆心角不变C．扇形的面积增大到原来的2倍 D．扇形的圆心角增大到原来的2倍【答案】B【详解】试题分析：由弧度制定义，等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，所以一扇形所在的圆的半径增加为原来的2倍，弧长也增加到原来的2倍，弧长与半径之比不变，所以，扇形的圆心角不变，故选B．【解析】本题主要考查弧度制的概念．点评：等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．4．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为增函数的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用三角函数的单调性和周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论.【详解】根据函数以为最小正周期，的周期为，故排除A.在区间上，，单调递减，故排除B.在区间上，单调递增，且其最小正周期为，故C正确；根据函数以为最小正周期，的周期为，可排除D.故选：C.5．设，，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分别利用指数函数、对数函数、三角函数单调性，限定的取值范围即可得出结论.【详解】根据对数函数在定义域内为单调递增可知，即；由三角函数单调性可知；利用指数函数为单调递增可得；所以.故选：C6．要得到函数的图象，只需把函数的图象（

）A．向左平移个单位 B．向右移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位【答案】D【分析】根据图象平移前后的解析式判断平移过程.【详解】由题设，所以只需把函数的图象向右平移个单位.故选：D7．已知，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将齐次式由弦化切，即可求值.【详解】.故选：C8．已知函数，若，且函数的部分图象如图所示，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】结合图象即可得到，进而求得，结合正弦型函数的性质可求得周期和，从而求得答案.【详解】由图可知，函数过点和点，即，又因为，所以，结合正弦型函数的性质可知，，解得，所以，解得，因为，所以所以，所以，即，解得，因为，所以故选：B.9．已知是单位向量，向量满足，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用向量数量积公式得到，结合，得到不等式，求出的取值范围.【详解】设的夹角为，由题意得，因为是单位向量，故，显然，且，所以，因为，所以，所以，解得.故选：C10．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】分析题意，由赋值法即可判断充分性成立，利用函数最小值小于即可判断必要性.【详解】取，当时，，即充分性成立；设，因为，显然时，不存在使成立；当时，，则，即；当时，，则，即.所以或，即必要性不成立.故选：A11．从物理学知识可知，图中弹簧振子中的小球相对平衡位置的位移与时间（单位：）的关系符合函数.从某一时刻开始，用相机的连拍功能给弹簧振子连拍了张照片.已知连拍的间隔为，将照片按拍照的时间先后顺序编号，发现仅有第张、第张、第张照片与第张照片是完全一样的，请写出小球正好处于平衡位置的所有照片的编号为（

）A．、 B．、 C．、、 D．、、【答案】D【分析】分析可知弹簧振子运动时的最小正周期为，求出的值，然后结合已知条件求出的值，令可求得的表达式，结合可求得结果.【详解】因为仅有第张、第张、第张照片与第张照片是完全一样的，则弹簧振子运动时的最小正周期为，则，所以，，由题意可得，所以，，即，所以，，则，则，令可得，所以，，令，则，由可得，因为，则，当时，，对应第张照片，当时，，对应第张照片，当时，，对应第张照片.故选：D.12．已知，则函数的值域是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】把转化为关于的二次函数即可求得.【详解】因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以.故函数的值域是.故选：A.【点睛】三角函数的值域有以下几类：（1）标准正弦、余弦函数的值域，直接求解；（2）正弦型、余弦型函数利用换元法，转化为求标准正弦、余弦函数；（3）含sinx或cosx的复合函数型的直接求外函数的值域.二、填空题13．已知，则的值为．【答案】【分析】由题意利用诱导公式求得的值，可得要求式子的值．【详解】，则，故答案为．【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．14．在△ABC中，点D满足，若，则【答案】【分析】把作为基底，然后利用向量加减法法则和平面向量基本定理把用基底表示出来，从而可求出的值，进而可得答案【详解】解：因为，所以,，因为，所以，所以，故答案为：15．暑假期间，甲外出旅游的概率是，乙外出旅游的概率是，假定甲乙两人的行动相互之间没有影响，则暑假期间两人中至少有一人外出旅游的概率是.【答案】【解析】设“暑假期间两人中至少有一人外出旅游”为事件，则其对立事件为“暑假期间两人都未外出旅游”，先求得，再求解即可.【详解】设“暑假期间两人中至少有一人外出旅游”为事件，则其对立事件为“暑假期间两人都未外出旅游”，则，所以.故答案为：.三、双空题16．某学校开展了“国学”系列讲座活动，为了了解活动效果，用分层抽样的方法从高一年级所有学生中抽取10人进行国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩(百分制)的茎叶图如图所示.则男生成绩的75%分位数为；已知高一年级中男生总数为80人，试估计高一年级学生总数为.【答案】200【解析】根据75%分位数的求法，结合题中数据，即可得答案；根据分层抽样的定义，即可求得高一年级学生总数.【详解】将男生成绩从小到大排列可得：64、76、77、78，共4个数据，且，所以男生成绩的75%分位数为；设高一年级学生总数为n，因为用分层抽样方法抽取10人中，男生有4人，且高一年级中男生总数为80人，所以，解得，故答案为：；200.四、填空题17．已知菱形ABCD的边长为2，，点E，F分在边BC，CD上，，．若，则的最小值为．【答案】【分析】由题意画出图形，把用表示，最后转化为含有，的代数式，再结合及基本不等式求得的最小值．【详解】解：如图，，，且，，．由题意可得，，，，，则，（当且仅当时等号成立），的最小值为．故答案为：．五、解答题18．已知函数(1)求的定义域；(2)若，且，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据，，解得函数的定义域为.（2）化简，代入求得然后根据以及同角三角函数间的关系，解得，最后化简解得：【详解】（1）依题意，，.所以有.所以函数的定义域为.（2）.由，得.又因为，所以.所以.所以19．已知向量，.(1)若，求的值；(2)若，求实数的值；(3)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)(3)且【分析】（1）根据向量平行的坐标运算可求得，进而求出结果.（2）根据向量垂直的坐标运算即可得出答案.（3）由题意分析得到且与不共线，结合（1）利用相关坐标即可求得结果.【详解】（1）因为向量，且，所以，解得，所以.（2）因为，且，所以，解得.（3）因为与的夹角是钝角，则且与不共线，即且，所以且.20．已知函数，振幅为2，初相为.(1)若函数相邻的两条对称轴的距离为，①求的值以及函数的单调递减区间；②求在区间［0，］上的最值，以及相对应得的值.(2)若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围.【答案】(1)①，（kZ）②当x＝时，最大值为2，当x＝时，最小值为-1.(2)【分析】（1）①首先根据三角函数图像对称轴性质特征解得=，然后结合正弦函数图像的单调性，利用整体代入求得的单调递减区间为（kZ）②将x∈［0，］代入求得整体范围，然后分别找到对应的最大值和最小值以及相对应得的值即可；（2）将，求得大范围，然后结合函数图像以及条件5个零点，确定范围，最后求解的取值范围.【详解】（1）由题知，，所以=①由题函数相邻的两条对称轴的距离为，所以，所以，=.因为y＝sinx的单调递减区间为（kZ），令（kZ），得（kZ）.所以的单调递减区间为（kZ）.②因为x∈［0，］，所以2x＋.当2x＋=，即x＝时，最大值为2，当2x＋=，即x＝时，最小值为-1.（2）由题可得，所以，因为，所以，若有5个零点，则，即，解得：，所以的取值范围是.六、填空题21．定义运算，例如：，则函数的值域为．【答案】[-1,]【详解】由题设可得，在同一平面直角坐标系中画出正弦函数、余弦函数的图像如图，结合图像可知：，故函数的值域为，应填答案．22．已知正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD内部（不含边界）的动点，且满足，则的取值范围是.【答案】【分析】根据题意建立合适的平面直角坐标系并求出相应点的坐标，设点，代入中，再由角的取值范围即可求得的取值范围.【详解】已知正方形的边长为2，建立如图所示的平面直角坐标系，

则，又为正方形内部不含边界的动点，且满足，所以P在以AB为直径的半圆上（不包含端点），，则，又，则.故答案为：.23．已知函数，若存在满足，且（，），则的最小值为．【答案】【详解】因为，所以，因此要使得满足条件的最小，须取即【解析】三角函数性质24．设函数，给出下列结论：①是奇函数；②当时，；③是周期函数；④存在无数个零点；⑤，，使得且.其中正确结论的序号是.（写出所有正确结论的序号）【答案】①②④【分析】直接利用三角函数的性质，周期性单调性的应用，函数的导数和函数的单调性的关系，函数的零点和方程的根的关系判断①②③④⑤的结论.【详解】函数，对于①：函数故函数f(x)是奇函数,故①正确；对于②：令，而在上恒正，则，又，则，所以，故②正确；对于③,假设函数的周期为T，则对一切x都成立，取x=0时得到，再取时故，所以明显T无解，故假设错误，故不是周期函数.故③错误；对于④,令解得，取时，，解得x=0或，故存在无数个零点.故④正确；对于⑤,令，则，由为奇函数，不妨令，所以，将其转化为函数的交点问题，如下图，

不妨假设()为图象靠近原点处的两交点，随的变化，可能无限趋近于0，但恒有，所以，使不能总成立,故⑤错误.故答案为：①②④【点睛】方法点睛：（1）函数奇偶性、周期性的判断通常用定义进行验证；（2）要证明一个命题为真命题，需要严格的证明；要判断一个命题为假命题，举一个反例就可以了.（3）结论⑤是本题的难点和易错点.七、解答题25．已知函数.在下列条件①、条件②、条件③这三个条件中，选择可以确定ω和m值的两个条件作为已知.条件①：＝2；条件②：最大值与最小值之和为0；条件③：最小正周期为π.(1)求的值；(2)若函数在区间［0，a］上是增函数，求实数a的最大值【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】本题为劣构题；（1）选择条件然后对应分析解析；条件①②：由①知，根据，解得m=2；由②知，根据，解得，矛盾，不能同时选；选条件①③：解得，从而解得，结合函数图像的单调性确定a的最大值为；选条件②③：根据条件解得，，解得，（2）结合函数图像的单调性确定a的最大值为；【详解】（1）函数．选条件①②：由①知，，所以m=2；由②知，，所以，矛盾，不能同时选；选条件①③：由条件③得，，又因为ω>0，所以ω=2．由①知，，所以m=2．则．所以．选条件②③：由于最小正周期为，所以ω=2，所以；由最大值与最小值之和为0，，故，解得．所以，所以．（2）选条件①③：令，所以，所以函数f（x）的单调增区间为．因为函数在区间［0，a]上单调递增，且，此时k=0，所以，故a的最大值为．选条件②③：解法同选择①③：令，所以，所以函数的单调增区间为．因为函数在区间［0，a]上单调递增，且，此时k=0，所以，故a的最大值为．26．设是定义在区间上的函数，在内任取个数，设，令，如果存在一个正数M，使得，恒成立，则称函数在区间上具有性质P.己知函数，.(1)若对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围；(2)试判断函数在区间上是否具有性质P?若具有性质P，请求出M的最小值；若不具有性质P，请说明理由.(3)试判断函数在区间上是否具有性质P?若具有性质P，请求出M的最小值；若不具有性质P，请说明理由.(4)请试写出一个函数使其在区间上不具有性质P.（请直接写出结果）【答案】(1)(2)是，最小值为(3)是，最小值为(4)（不唯一）【分析】（1）使得恒成立，需，只需求的最大值即可；（2）判断的单调性，可得，满足性质P；（3）判断的奇偶性及单调性，结合绝对值不等式可得，满足性质P；（4）找一个函数值趋于无穷大的函数即可.【详解】（1）使得恒成立，需，因为函数，在时为增函数，所以在时为增函数，当时，,当时，.故为使得恒成立，a的取值范围是.（2）函数在区间上具有性质P.设.首先证明函数在区间上单调递增.任取，所以函