2022-2023学年北京市怀柔区高一下学期期中考试数学试题【含答案】

2022-2023学年北京市怀柔区高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．设，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】逐一判断，对A取，，可得结果；对B取，可得结果；对C利用不等式的性质判断即可；对D取可判断.【详解】解：A.取，，则不成立；B.取，，则不成立；C.∵，∴，正确；D.取，∵，∴，因此不成立.故选：C.2．已知是定义在上的奇函数，当时，，则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】根据奇函数的性质及所给函数解析式计算可得.【详解】因为是定义在上的奇函数，当时，，所以.故选：A3．下列函数中，是偶函数且在上单调递减的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可.【详解】对于A，由题意可知的定义域为,，所以是偶函数且在上不是单调递减，不符合题意；故A错误；对于B，由题意可知的定义域为,，所以是偶函数且在上单调递减，符合题意；故B正确；对于C，由题意可知的定义域为,，所以是偶函数且在上单调递增；不符合题意；故C错误；对于D，的定义域为，不是偶函数，不符合题意；故D错误；故选：B.4．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别和特殊值0，1比较大小，即可判断.【详解】，，，所以.故选：A5．已知函数，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】由的奇偶性、单调性结合充分条件、必要条件的概念即可得解.【详解】因为定义域为，，所以为奇函数，且为上的增函数.当时，，所以，即“”是“”的充分条件，当时，，由的单调性知，，即，所以“”是“”成立的必要条件.综上，“”是“”的充要条件.故选：C6．如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是

A． B．C． D．【答案】C【详解】试题分析：如下图所示，画出的函数图象，从而可知交点，∴不等式的解集为，故选C．

【解析】1．对数函数的图象；2．函数与不等式；3．数形结合的数学思想．7．对任意实数x，都有loga（ex+3）≥1（a＞0且a≠1），则实数a的取值范围是（）A． B．（1，3] C．（1，3） D．[3，+∞）【答案】B【解析】根据对数函数的单调性转化为参数恒成立进行求解即可．【详解】∵loga（ex+3）≥1＝logaa，∴若a＞1，则ex+3≥a恒成立，∵ex+3＞3，∴此时1＜a≤3，若0＜a＜1，则ex+3≤a恒成立，∵ex+3＞3，∴此时a无解，综上所述，1＜a≤3，即实数a的取值范围是（1，3]．故选：B【点睛】本小题主要考查对数不等式的有关问题，属于中档题.8．已知函数的定义域为，存在常数，使得对任意，都有，当时，．若在区间上单调递减，则t的最小值为（

）A．3 B． C．2 D．【答案】B【分析】根据函数的周期性和绝对值型函数的单调性进行求解即可.【详解】因为存在常数，使得对任意，都有，所以函数的周期为，当时，函数在单调递减，所以当时，函数在上单调递减，因为在区间上单调递减，所以有，故选：B【点睛】关键点睛：根据函数的周期的性质，结合绝对值型函数的单调性是解题的关键.9．已知函数满足：①定义域为R；②对任意，有；③当时，.则方程在区间内解的个数是（

）A．18 B．12 C．11 D．10【答案】C【分析】根据已知条件分别作出函数与函数在区间的图象，两个函数图象交点的个数即为方程在区间内的解的个数.【详解】由已知中函数满足：①定义域为；②对任意，有；③当时，，首先作出时的图象，由可知：当自变量增加函数值变为原来的倍，或者图象向左平移两个单位函数值变为原来的，作出函数与函数的图象如图：当时；当时，，此时是方程的一个根，当时，；当时，，此时是方程的一个根，当时，的函数值小于，函数的函数值大于，所以两个函数图象不再有交点，当时方程有个根，由图知当时，函数与函数的图象在区间有个交点，函数与函数的图象在区间有个交点，所以函数与函数在区间共有11个交点，即方程在区间内的解的个数是，故选：C10．恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就.其中对数的发明曾被十八世纪法国数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数N的70次方是一个83位数，则由下面表格中部分对数的近似值（精确到0.001），可得N的值为（

）M23711130.3010.4770.8451.0411.114A．13 B．14 C．15 D．16【答案】C【分析】利用对数的运算公式计算即可.【详解】由题意知，的70次方为83位数，所以，则，即，整理得，根据表格可得，，所以，即.故选：C.二、填空题11．函数的定义域是．【答案】【分析】根据对数型函数的定义域，结合二次根式的性质进行求解即可.【详解】由题意可知：，所以该函数的定义域为，故答案为：三、双空题12．已知函数，则；的最小值为.【答案】4-1【分析】根据单调性分别讨论分段函数每段的最小值，再综合判断.【详解】，在区间内单调递减，故在上无最小值，且在区间内单调递增，故，故答案为：-1四、填空题13．已知函数，则不等式的解集为.【答案】【分析】由绝对值不等式得到，再根据的单调性求解.【详解】由题，，，因为在单调递增，所以，解集为.故答案为：.五、双空题14．设函数①当时，；②若恰有2个零点，则a的取值范围是．【答案】【分析】由分段函数解析式先求，再求的值，结合零点的定义分段求零点，由条件求a的取值范围.【详解】当时，，所以，所以，令，可得当时，，所以或，当或时，方程在上有唯一解，当或时，方程在上的解为或，当时，，所以当时，，当时，方程在上无解，综上，当时，函数有两个零点，当时，函数有两个零点，当时，函数有三个零点，当时，函数有两个零点，因为恰有2个零点，所以或，所以a的取值范围是.故答案为：；.15．已知函数，对于给定的实数t，若存在，满足：使得，则记的最大值为.（i）当时，；（ii）当且时，函数H(t)的值域为.【答案】1【分析】（i）令找到，从而得解；（ii）先找到的范围，得到，由单调性得出值域.【详解】（i）令当时，，使得，即，因为，所以，故.（ii）当且时,当时，，，所以符合题意，此时；当时，由,解得，（舍去）或，故故，，所以在单调递减，故.故答案为：，【点睛】关键点睛：函数新定义问题，常见于选择（填空）的压轴小题中，少数会出现在解答题中，主要考查利用函数相关的知识点解决函数创新问题的能力，对新定义的理解以及转化，较灵活，属于综合题.六、解答题16．函数，其中．(1)若，求的零点；(2)若函数有两个零点，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）令，即可求解零点，（2）令得，进而结合基本不等式即可求解.【详解】（1）当时，，令，则，故，所以的零点为.（2）令，则，，故，由于，所以，因此，由于，由基本不等式可得，当且仅当，即时取等号，故，所以的取值范围为17．已知函数．(1)判断的奇偶性；(2)若，求的取值范围；(3)当时，求的值域．【答案】(1)奇函数(2)(3)【分析】（1）由奇偶性的定义判断，（2）由对数函数性质解不等式，（3）由对数函数性质求解，【详解】（1）由得，故的定义域为，而，故为奇函数，（2）由，得，解得，故原不等式的解集为（3）当时，，故的值域为18．已知函数．(1)判断函数f(x)的单调性，并用定义给出证明；(2)解不等式：；(3)若关于x的方程只有一个实根，求实数m的取值范围．【答案】(1)f(x)在R上单调递增；证明见解析；(2)；(3){－3}（1，+∞）.【分析】（1）利用函数单调性的定义及指数函数的性质即得；（2）由题可得，然后利用函数单调性即得；（3）由题可得方程有且只有一个正数根，分m=1，m≠1讨论，利用二次函数的性质可得.【详解】（1）f(x)在R上单调递增；任取x1，x2∈R，且x1<x2，则∵∴，∴．即．∴函数f(x)在R上单调递增．（2）∵，∵，∴，又∵函数f(x)在R上单调递增，∴，∴不等式的解集为．（3）由可得，，即，此方程有且只有一个实数解．令，则t>0，问题转化为：方程有且只有一个正数根．①当m=1时，，不合题意，②当m≠1时，（i）若△=0，则m=－3或，若m=－3，则，符合题意；若，则t=－2，不合题意，（ii）若△>0，则m<－3或，由题意，方程有一个正根和一个负根，即，解得m>1．综上，实数m的取值范围是{－3}（1，+∞）．19．如图，在函数图像任取三点，满足，，，分别过A、B、C三点作x轴垂线交x轴于D、E、F．(1)当时，求梯形ADEB的周长；(2)用a表示的面积S，并求S的最大值．【答案】(1)；(2)答案见解析.【分析】对于（1），由题可得，.，据此可得答案；对于（2），设与BE交点为P，则S，据此可得答案.【详解】（1）由题可得，，.，则梯形ADEB的周长为；（2）设与BE交点为P，则S.又，且，E为DF中点，则由梯形中位线定理得（若，变为三角形中位线，结论不变.），则则S，其中.因，则函数在上单调递增，得当时，.当且仅当时取等号.又函数在上单调递增，则，当且仅当时取等号.即的面积，其中；当且仅当时，的面积有最大值.20．已知函数是定义域为的奇函数，且(1)求实数和的值；并判断在上单调性；（不用写出单调性证明过程）(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)对于任意的，存在，使成立，求实数的取值范围．【答案】(1)，在上单调递增(2)(3)【分析】（1）根据奇函数和即可求出和的值，有定义法即可得出在上单调性.（2）根据奇函数和单调递增求出，分类讨论前的系数是否为0，即可求出实数的取值范围（3）根据函数的单调递增，得出等价条件，分类讨论的单调性即可求出实数的取值范围.【详解】（1）由题意在中，函数是定义域为的奇函数，∴解得，此时满足题意，∴设,在中，函数单调递增，∴∴∴在上单调递增（2）由题意及（1）得在中，函数是奇函数，恒成立∴恒成立∵函数单调递增∴即恒成立当即时，，解得：，不恒成立，舍去.当即时，恒成立在中，若则需开口向上，∴解得综上，实数的取值范围为（3）由题意及（1）（2）得在中，函数单调递增对于任意的，存在，使成立，∴函数在单调递增∴则存在，使成立，当时，在定义域内单调递减，∴满足题意当时，在定义域内单调递增且解得：综上，实数的取值范围为.【点睛】本题考查待定系数法求参数，定义法证单调性，考查分类讨论的思想，具有很强的综合性.21．设全集，集合A是U的真子集．设正整数，若集合A满足如下三个性质，则称A为U的子集：①；②，若，则；③，若，则．(1)当时，判断是否为U的子集，说明理由；(2)当时，若A为U的子集，求证：；(3)当时，若A为U的子集，求集合A．【答案】(1)不是U的子集；(2)证明见解析；(3)集合.【分析】（1）取，由不满足性质②可得不是U的子集；（2）通过反证法，分别假设，的情况，由不满足子集的性质，可证明出；（3）由（2）得，，，，再分别假设，，，四种情况，由不满足子集的性质，可得出，再根据性质②和性质③，依次凑出8~23每个数值是否满足条件即可.【详解】（1）当时，，，，取，则，但，不满足性质②，所以不是U的子集.（2）当时，A为U的子集，则；假设，设，即取，则，但，不满足性质②，所以，；假设，取，，且，则，再取，，则，再取，，且，但与性质①矛盾，所以.（3）由（2）得，当时，若A为U的子集，，，，所以当时，，若A为U的子集，，，；若，取，，则，，再取，，则，与