第四章-复变函数与积分变换课件

第四章级数复变函数与积分变换第四章级数复变函数与积分变换§4.1复数项级数一、复数列的极限二、复数项级数的概念§4.1复数项级数一、复数列的极限二、复数项级数的概念.)(¥®®naxnlim=¥®axnn，或记为的极限，恒成立,则称>Nn时，当(无论有多小)，如果对于a是一个实数。是一个数列，设a为数列此时称数列收敛;若数列极限不存在称数列是发散的.回忆：实数数列的极限.)(¥®®naxnlim=¥®axnn，或记为的极限，恒成n>NNO,有些点在条形域外面！●●●●●●●●●●●●●●●●●●数列极限的几何意义OK!N找到了！！n>NNO,●●●●●●●●●●●●●●●●●●数列极限的几Ne越来越小，N越来越大！Ne越来越小，N越来越大！一、复数列的极限1.定义记作一、复数列的极限1.定义记作2.复数列收敛的条件证从而有所以同理2.复数列收敛的条件证从而有所以同理反之,如果从而有该定理说明:可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性.[证毕]反之,如果从而有该定理说明:可将复数列的敛散性转化为判别下列数列是否收敛,如果收敛,求出其极限.而解

例1所以数列发散.下列数列是否收敛,如果收敛,求出其极限.而解例1所以数课堂练习:下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限.发散课堂练习:下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限.发散二、复数项级数的概念1.定义表达式称为复数项无穷级数.其最前面n

项的和称为级数的部分和.部分和设为一个复数列.二、复数项级数的概念1.定义表达式称为复数项无穷级数.其最前收敛与发散说明:

与实数项级数相同,判别复数项级数敛散性的基本方法是:收敛与发散说明:与实数项级数相同,第四章——复变函数与积分变换课件2.复数项级数收敛的条件证定理说明

复数项级数的审敛问题实数项级数的审敛问题(定理)则2.复数项级数收敛的条件证定理说明复数项级数的审敛问题实数例2解例2解所以原级数发散.课堂练习所以原级数收敛.(1)所以原级数发散.课堂练习所以原级数收敛.(1)级数收敛的必要条件重要结论:级数收敛的必要条件重要结论:不满足必要条件,所以原级数发散.启示:判别级数的敛散性时,可先考察?级数发散;应进一步判断.不满足必要条件,所以原级数发散.启示:判别级数的敛散性时,3.绝对收敛与条件收敛注：可用正项级数的审敛法.定理证由于而根据实数项级数的比较准则,知3.绝对收敛与条件收敛注：可用正项级数的审敛法.定理证由非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.说明如果

收敛,那么称级数

为绝对收敛.定义所以综上:非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.说明如果例3故原级数收敛,且为绝对收敛.因为所以由正项级数的比值判别法知:解例3故原级数收敛,且为绝对收敛.因为所以由正项级数的比值判故原级数收敛.所以原级数非绝对收敛.例4解故原级数收敛.所以原级数非绝对收敛.例4解§4.2复变函数项级数一、幂级数的概念二、幂级数的敛散性三、幂级数的运算和性质§4.2复变函数项级数一、幂级数的概念二、幂级数的敛散性一、幂级数的概念

1.复变函数项级数定义其中各项在区域

D内有定义.表达式称为复变函数项级数,记作

一、幂级数的概念

1.复变函数项级数定义其中各项在区域D内称为这级数的部分和.

级数最前面n项的和和函数称为这级数的部分和.级数最前面n项的和和函数称为该级数在区域D上的和函数.如果级数在D内处处收敛,那么它的和一定称为该级数在区域D上的和函数.如果级数在D内处处收敛,那么例1

求级数的收敛范围与和函数.解级数的部分和为级数收敛,级数发散.收敛范围为一单位圆域且有例1求级数的收敛范围与和函数.解级数的部分和为级数收敛,2.幂级数当或函数项级数的特殊情形或这种级数称为幂级数.为简便，以下讨论幂级数.2.幂级数当或函数项级数的特殊情形或这种级数称为幂级数.为二、幂级数的敛散性

1.收敛定理(阿贝尔Abel定理)如果级数在收敛,那么对的级数必绝对收敛,如果在级数发散,那么对满足的级数必发散.满足阿贝尔介绍二、幂级数的敛散性

1.收敛定理(阿贝尔Abel定理)如果级第四章——复变函数与积分变换课件第四章——复变函数与积分变换课件2.收敛圆与收敛半径（1）对所有的复数都收敛.（2）对所有的复数，除z=0外都发散.例如，级数通项不趋于零,故级数发散.对于一个幂级数,其收敛的情况有三种:2.收敛圆与收敛半径（1）对所有的复数都收敛.（2）对所..收敛圆收敛半径幂级数的收敛范围是以原点为中心的圆域..（3）既存在使级数收敛的复数,也存在使级数发散的复数.由阿贝尔定理，则存在正数R，..收敛圆收敛半径幂级数的收敛范围是以原点为中心的圆域..（答案:

幂级数的收敛范围是何区域?问题1:

在收敛圆周上是收敛还是发散,不能作出一般的结论,要对具体级数进行具体分析.注意问题2:幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?答案:幂级数的收敛范围是何区域?问题1:3.收敛半径的求法方法1：（比值法）那么收敛半径方法2：（根值法）那么收敛半径说明:如果收敛半径公式可记为幂级数3.收敛半径的求法方法1：（比值法）那么收敛半径方法2：（例2求下列幂级数的收敛半径:(1)(并讨论在收敛圆周上的情形)(2)(并讨论时的情形)或解(1)例2求下列幂级数的收敛半径:(1)(并讨论在收敛圆周上的情形所以收敛半径即原级数在圆内收敛,在圆外发散,收敛的级数所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.在圆周上,级数所以收敛半径即原级数在圆内收敛,在圆外发散,收敛的级数说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点,也有级数的发散点.原级数成为交错级数,收敛.发散.原级数成为调和级数，解(2)(并讨论时的情形)说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点,也有原级数成为交错级数所以收敛半径为例3求幂级数的收敛半径:解所以收敛半径为例3求幂级数解例4求的收敛半径.解例4求的收敛半径答案课堂练习试求幂级数的收敛半径.因为所以故收敛半径答案课堂练习试求幂级数的收敛半径.因为所以故收敛半径三、幂级数的运算和性质

1.幂级数的有理运算三、幂级数的运算和性质

1.幂级数的有理运算2.幂级数的代换(复合)运算如果当时,又设在内解析且满足那么当时,说明:此代换运算常应用于将函数展开成幂级数.2.幂级数的代换(复合)运算如果当时,又设在内解析且满足那定理设幂级数的收敛半径为那么(2)在收敛圆内的导数可将其幂级数逐项求导得到,是收敛圆内部的解析函数

.(1)3.复变幂级数在收敛圆内的性质定理设幂级数的收敛半径为那么(2)在收敛圆内的导数可将其幂级(3)在收敛圆内可以逐项积分,简言之:在收敛圆内,幂级数的和函数解析;幂级数可逐项求导,逐项积分.(常用于求和函数)即(3)在收敛圆内可以逐项积分,简言之:在收敛圆内,幂级例5把函数表成形如的幂级数,其中是不相等的复常数.解把函数写成如下的形式:代数变形,使其分母中出现凑出例5把函数表成形如的幂级数,其中是不相等的复常数.解把函级数收敛,且其和为级数收敛,且其和为第四章——复变函数与积分变换课件作业：

第四章习题

6（1）（3）（5）作业：第四章习题阿贝尔资料

非凡的数学家

——阿贝尔Died:6April1829inFroland,NorwayNielsAbelBorn:5Aug1802inFrindoe,Norway

阿贝尔资料非凡的数学家Died:6April182

阿贝尔（1802-1829）挪威数学家。是克里斯蒂安尼亚（现在的奥斯陆）教区穷牧师的六个孩子之一。尽管家里很贫困，父亲还是在1815年把阿贝尔送进克里斯蒂安尼亚的一所中学里读书，15岁时优秀的数学教师洪堡发现了阿贝尔的数学天才，对他给予指导。16岁时阿贝尔写了一篇解方程的论文。丹麦数学家戴根看过这篇论文后，为阿贝尔的数学才华而惊叹，当时数学界正兴起对椭圆积分的研究，于是他给阿贝尔回信写到：“...与其着手解决被认为非常难解的方程问题，不如把精力和时间投入到对解析学和力学的研究上。例如，椭圆积分就是很好的题目，相信你会取得成功...”。于是阿贝尔开始转向对椭圆函数的研究。阿贝尔（1802-1829）挪威数学家。是克里斯蒂安

阿贝尔18岁时，父亲去世，这使生活更加贫困。1821年在洪堡老师的帮助下，阿贝尔进入克里斯蒂安尼亚大学。1823年，他发表了第一篇论文，开了研究积分方程的先河。1824年，他解决了用根式求解五次方程的不可能性问题。这一论文也寄给了高斯，但是高斯连信都未开封。

1825年，他去柏林，结识了业余数学爱好者克莱尔。他建议克莱尔创办了著名数学刊物《纯粹与应用数学杂志》。这个杂志头三卷发表了阿贝尔22篇包括方程论、无穷级数、椭圆函数论等方面的论文。

阿贝尔18岁时，父亲去世，这使生活更加贫困。1821

1826年，阿贝尔来到巴黎，会见了柯西、勒让德、狄利赫莱等，但人们并没有真正认识到他的天才。阿贝尔又太腼腆，不好意思在陌生人面前谈论他的理论，但他仍然坚持数学的研究工作。撰写了“关于一类极广泛的超越函数的一般性质”的论文，提交给巴黎科学院。阿贝尔在给洪堡的信中，非常自信地说：“...已确定在下个月的科学院例会上宣读我的论文,由柯西审阅,恐怕还没有来得及过目。不过，我认为这是一件非常有价值的工作，我很想能尽快听到科学院权威人士的意见，现在正昂首以待...。”

1826年，阿贝尔来到巴黎，会见了柯西、勒让德、狄

可是，负责给阿贝尔审稿的柯西把论文放进抽屉里，一放了之（这篇论文原稿于1952年在佛罗伦萨重新发现）。阿贝尔等到年末，了无音信。一气之下离开了巴黎，在柏林作短暂停留之后于1827年5月20日回到了挪威。由于过渡疲劳和营养不良，在旅途上感染了肺结核。这在当时是不治之症。当阿贝尔去弗鲁兰与女朋友肯普（ChristineKemp）欢度圣诞节时，身体非常虚弱，但他一边与病魔作斗争一边继续进行数学研究。他原希望回国后能被聘为大学教授，但是他的可是，负责给阿贝尔审稿的柯西把论文放进抽屉里，一

这一希望又一次落空。他靠给私人补课谋生，一度当过代课教师。阿贝尔和雅可比是公认的椭圆函数论的创始人。这一理论很快就成为十九世纪分析中的重要领域之一，他对数论、数学物理以及代数几何有许多应用。阿贝尔发现了椭圆函数的加法定理、双周期性。此外，在交换群、二项级数的严格理论、级数求和等方面都有巨大的贡献。在这个时候，阿贝尔的名声随着克莱尔杂志的广泛发行而传遍了欧洲的所有数学中心。雅可比看见这篇椭圆函数的论文，而且知道了巴黎科学院所作的蠢事之后，非常吃惊，在1829年3月14日写信给巴黎科学院表示抗议：“...这在我们生活的这个世纪中，恐怕是数学中最重要的发现，虽然向‘老爷们’的研究院提交此论文达两年之久，但一直没有得到诸位先生的注意，这是为什么呢？...”。这一希望又一次落空。他靠给私人补课谋生，一度当过

由于阿贝尔身处孤陋寡闻之地，对于这一切一无所知。阿贝尔的病情不断发展，甚至连医生也束手无策了。

1829年4月5日夜间，阿贝尔的病情急剧恶化，于4月6日上午11点去世。作为命运捉弄人的是，在他死后的第二天，克莱尔写信给阿贝尔“...我国教育部决定招聘您为柏林大学教授...，一个月之内就能发出招聘书...。”这封信还提到，希望阿贝尔能尽量用最好的药物治疗，不要考虑费用支出。他的亲人们听到这一消息，禁不住泪流满面。第四章——复变函数与积分变换课件§4.3泰勒级数一、问题的引入二、泰勒定理三、将函数展开成泰勒级数§4.3泰勒级数一、问题的引入二、泰勒定理三、将函数一、问题的引入问题:任一个解析函数能否用幂级数来表达？如图:.内任意点.K.一、问题的引入问题:任一个解析函数能否用幂级数来表达？如图由柯西积分公式,有其中K取正方向.则..K.由柯西积分公式,有其中K取正方向.则..K.第四章——复变函数与积分变换课件由高阶导数公式,上式又可写成其中可知在K内由高阶导数公式,上式又可写成其中可知在K内令则在K上连续,则存在一个正常数M,令则在K上连续,则存在一个正常数M,在内成立,从而在K内圆周的半径还可以增大,只要内即可.在的泰勒展开式．在泰勒级数称为如果到的边界上各点的最短距离为那么在的泰勒展开式在内成立．由上讨论得重要定理——泰勒展开定理特别地，在内成立,从而在K内圆周的半径还可以增大,只要内即可二、泰勒定理其中泰勒级数泰勒展开式定理为到的边界上各点的最短距离,设在区域内解析,为

内的一点,成立,泰勒介绍时,当那么.R二、泰勒定理其中泰勒级数泰勒展开式定理为到的边界上各点的最短说明:1.由泰勒定理，复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多;(想一想,为什么?)yxz0aO说明:1.由泰勒定理，复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数那么即因此,任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数,因而是唯一的.3.解析函数在一点处的幂级数展开式是唯一的．事实上,4.由泰勒定理及幂级数的性质得:函数在一点解析的充要条件是它在该点的邻域内可以展开为幂级数．那么即因此,任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数三、将函数展开成泰勒级数常用方法:

直接法和间接法.1.直接法:由泰勒展开定理计算系数三、将函数展开成泰勒级数常用方法:直接法和间接法.1.直接例如，故有1.直接法:例如，故有1.直接法:仿照上例,仿照上例,2.间接展开法:

借助于一些已知函数的展开式,结合解析函数的性质,幂级数运算性质(逐项求导,积分等)和其它数学技巧(代换等),求函数的泰勒展开式.间接法的优点:

不需要求各阶导数与收敛半径,因而比直接展开更为简洁,使用范围也更为广泛.2.间接展开法:借助于一些已知函数的展例如，例如，例1解上式两边逐项求导,例1解上式两边逐项求导,例2分析如图,例2分析如图,即

将展开式两端沿C逐项积分,得解即将展开式两端沿C逐项积分,得解例3解例3解例4解例4解例5解例5解例6求幂函数(a为复数)的主值支在z=0点的Taylor展开式.实轴向左的射线的区域内解析.因此在内,可展开为z的幂级数.根据复合函数求导法则,按照直接方法展开如下:

显然,在复平面中割去从点-1沿负例6求幂函数(a为复数)的主值支在z=0点的Taylo令z=0,有令z=0,有于是于是附:常见函数的泰勒展开式附:常见函数的泰勒展开式第四章——复变函数与积分变换课件例6解利用微分方程法

对上式求导得例6解利用微分方程法对上式求导得由此可得故由此可得故小结与思考

通过本课的学习,应理解泰勒展开定理,熟记五个基本函数的泰勒展开式,掌握将函数展开成泰勒级数的方法,能比较熟练的把一些解析函数展开成泰勒级数.思考题奇、偶函数的泰勒级数有什么特点?思考题答案

奇函数的泰勒级数只含z的奇次幂项,偶函数的泰勒级数只含z的偶次幂项.小结与思考通过本课的学习,应理解泰勒展开定作业：

第四章习题

11.(1)(2)(3)12.(1)(2)(3)作业：第四章习题泰勒资料

非凡的数学家

——泰勒BrookTaylorBorn:18Aug1685inEdmonton,Middlesex,EnglandDied:29Dec1731inSomersetHouse,London,England泰勒资料非凡的数学家BrookTaylorBorn:1泰勒定理其中泰勒级数泰勒展开式定理为到的边界上各点的最短距离,设在区域内解析,为

内的一点,成立,时,当那么.R泰勒定理其中泰勒级数泰勒展开式定理为到的边界上各点的最短距离§4.4洛朗级数一、问题的引入二、洛朗级数的概念三、函数的洛朗展开式§4.4洛朗级数一、问题的引入二、洛朗级数的概念三、函一、问题的引入问题:负幂项部分正幂项部分主要部分解析部分同时收敛收敛一、问题的引入问题:负幂项部分正幂项部分主要部分解析部分同时收敛半径收敛域收敛半径两收敛域无公共部分．两收敛域有公共部分H:R

HR2z0R1收敛半径收敛域收敛半径两收敛域无公共部分．两收敛域有公共部分结论:.常见的特殊圆环域:...在圆环域内解析的函数是否能展开成双边幂级数?结论:.常见的特殊圆环域:...在圆环域内解析的函数是否能展二、洛朗级数的概念定理C为圆环域内绕

的任一正向简单闭曲线.为洛朗系数.洛朗级数洛朗展开式R2R1二、洛朗级数的概念定理C为圆环域内绕的任一正向简单闭说明:函数在圆环域内的洛朗展开式在圆环域内的洛朗(Laurent)级数.1)2)某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，这就是f(z)的洛朗级数.3)络朗级数在收敛圆环域内,其和函数是解析的,而且是可以逐项求积分和逐项求导.说明:函数在圆环域内的洛朗展开式在圆环域内的洛朗(Laure三、函数的洛朗展开式1.直接展开法利用定理公式计算系数然后写出根据正、负幂项组成的的级数的唯一性,可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开.2.间接展开法三、函数的洛朗展开式1.直接展开法利用定理公式计算系数然后例1解本例中z=0既是各负幂项的奇点,例1解本例中z=0既是各负幂项的奇点,解

练习解练习例2内展开成洛朗级数.解xyO1xyO12xyO2例2内展开成洛朗级数.解xyO1xyO12xyO2oxy1oxy112oxy由12oxy由2oxy由2oxy由注意:奇点但却不是函数的奇点.本例中圆环域的中心是各负幂项的说明:1.函数在以为中心的圆环域内的洛朗级数中尽管含有的负幂项,而且又是这些项的奇点,但是可能是函数的奇点,也可能的奇点.不是注意:奇点但却不是函数的奇点.本例中圆环域的中心是各负幂项2.给定了函数与复平面内的一点以后,域内解析，则在各个不同