高数-第一节-空间直角系与空间曲面、空间曲线课件

第七章一、空间直角坐标系二、空间两点间的距离三、空间曲面与空间曲线第一节机动目录上页下页返回结束空间直角系与空间曲面、空间曲线第七章一、空间直角坐标系二、空间两点间的距离三、空间曲1ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ一、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.

坐标原点

坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z轴(竖轴)过空间一定点o,

坐标面

卦限(八个)zox面空间直角坐标系的基本概念机动目录上页下页返回结束ⅠⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ一、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规2向量在直角坐标系下坐标轴上的点

P,Q,R;坐标面上的点A,B,C点

M特殊点的坐标:有序数组(称为点M的坐标)原点O(0,0,0);机动目录上页下页返回结束向量在直角坐标系下坐标轴上的点P,Q,R;坐标面上3坐标轴:坐标面:机动目录上页下页返回结束坐标轴:坐标面:机动目录上页下页4向量的模与两点间的距离公式则有由勾股定理得因得两点间的距离公式:对两点与机动目录上页下页返回结束向量的模与两点间的距离公式则有由勾股定理得因得两点间的距离公5例1.

求证以证:即为等腰三角形.的三角形是等腰三角形.为顶点机动目录上页下页返回结束例1.求证以证:即为等腰三角形.的三角形是等腰三角形.6例2.

在z轴上求与两点等距解:

设该点为解得故所求点为及离的点.机动目录上页下页返回结束例2.在z轴上求与两点等距解:设该点为解得故所求点为7提示:(1)设动点为利用得(2)设动点为利用得且机动目录上页下页返回结束思考:(1)如何求在xoy面上与A,B等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B等距离之点的轨迹方程?提示:(1)设动点为利用得(2)设动点为利用得且机动8三、曲面方程的概念求到两定点A(1,2,3)

和B(2,-1,4)等距离的点的化简得即说明:动点轨迹为线段

AB的垂直平分面.引例:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,不在此平面上的点的坐标不满足此方程.解:设轨迹上的动点为轨迹方程.

机动目录上页下页返回结束三、曲面方程的概念求到两定点A(1,2,3)和B(2,-19定义1.如果曲面

S

与方程

F(x,y,z)=0有下述关系:(1)曲面

S上的任意点的坐标都满足此方程;则F(x,y,z)=0

叫做曲面

S

的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.两个基本问题:(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.(2)已知方程时,研究它所表示的几何形状(必要时需作图).机动目录上页下页返回结束定义1.如果曲面S与方程F(x,y,z)=10故所求方程为例3.

求动点到定点方程.特别,当M0在原点时,球面方程为解:

设轨迹上动点为即依题意距离为

R

的轨迹表示上(下)球面.机动目录上页下页返回结束故所求方程为例3.求动点到定点方程.特别,当M0在原点11例4.研究方程解:

配方得此方程表示:说明:如下形式的三元二次方程

(A≠0)都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面.表示怎样半径为的球面.球心为一个球面,或点,或虚轨迹.机动目录上页下页返回结束例4.研究方程解:配方得此方程表示:说明:如下形式的三元12定义2.一条平面曲线2、旋转曲面

绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴.例如:机动目录上页下页返回结束定义2.一条平面曲线2、旋转曲面绕其平面上一条定直133、柱面引例.分析方程表示怎样的曲面.的坐标也满足方程解:在xoy面上，表示圆C,沿曲线C平行于z轴的一切直线所形成的曲面称为圆故在空间过此点作柱面.对任意

z,平行z

轴的直线

l,表示圆柱面在圆C上任取一点其上所有点的坐标都满足此方程,机动目录上页下页返回结束3、柱面引例.分析方程表示怎样的曲面.的坐标也满足方程解14定义3.平行定直线并沿定曲线C移动的直线l形成的轨迹叫做柱面.

表示抛物柱面,母线平行于z轴;准线为xoy面上的抛物线.

z轴的椭圆柱面.z轴的平面.表示母线平行于(且z

轴在平面上)表示母线平行于C叫做准线,l

叫做母线.机动目录上页下页返回结束定义3.平行定直线并沿定曲线C移动的直线l形成的轨15一般地,在三维空间柱面,柱面,平行于x

轴;平行于

y

轴;平行于

z

轴;准线

xoz

面上的曲线l3.母线柱面,准线

xoy

面上的曲线l1.母线准线

yoz面上的曲线l2.母线机动目录上页下页返回结束一般地,在三维空间柱面,柱面,平行于x轴;平行于y轴164、二次曲面三元二次方程适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅就几种常见标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面.(二次项系数不全为0)机动目录上页下页返回结束4、二次曲面三元二次方程适当选取直角坐标系可得它们的标准方17（1）.椭球面(1)范围：(2)与坐标面的交线：椭圆机动目录上页下页返回结束（1）.椭球面(1)范围：(2)与坐标面的交线：椭圆机动18与的交线为椭圆：(4)当a＝b时为旋转椭球面;同样的截痕及也为椭圆.当a＝b＝c时为球面.(3)截痕:为正数)机动目录上页下页返回结束与的交线为椭圆：(4)当a＝b时为旋转椭球面;同样的截19（2）.抛物面(1)椭圆抛物面(p,q

同号)(2)双曲抛物面（鞍形曲面）特别,当p=q时为绕z轴的旋转抛物面.(p,q同号)机动目录上页下页返回结束（2）.抛物面(1)椭圆抛物面(p,q同号)(220（3）.双曲面(a)单叶双曲面椭圆.时,截痕为(实轴平行于x

轴；虚轴平行于z轴）平面上的截痕情况:机动目录上页下页返回结束双曲线:（3）.双曲面(a)单叶双曲面椭圆.时,截痕为(实轴平21虚轴平行于x轴）时,截痕为时,截痕为(实轴平行于z

轴;机动目录上页下页返回结束相交直线:双曲线:虚轴平行于x轴）时,截痕为时,截痕为(实轴平行于z轴22(b)双叶双曲面双曲线椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:双曲线单叶双曲面双叶双曲面P18目录上页下页返回结束图形(b)双叶双曲面双曲线椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别23（4）.椭圆锥面椭圆在平面x＝0或y＝0上的截痕为过原点的两直线.可以证明,椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上.①(椭圆锥面也可由圆锥面经x或y方向的伸缩变换得到,见书P316)机动目录上页下页返回结束（4）.椭圆锥面椭圆在平面x＝0或y＝0上的截痕24斜率为1的直线平面解析几何中空间解析几何中方程平行于y轴的直线平行于yoz面的平面圆心在(0,0)半径为3的圆以z轴为中心轴的圆柱面平行于z轴的平面思考与练习1.指出下列方程的图形:机动目录上页下页返回结束斜率为1的直线平面解析几何中空间解析几何中方程平行于25平面的一般方程设有三元一次方程以上两式相减,得平面的点法式方程此方程称为平面的一般任取一组满足上述方程的数则显然方程②与此点法式方程等价,②的平面,因此方程②的图形是法向量为方程.机动目录上页下页返回结束平面的一般方程设有三元一次方程以上两式相减,得平面的点26特殊情形•

当

D=0时,Ax+By+Cz=0表示

通过原点的平面;•当

A=0时,By+Cz+D=0的法向量平面平行于x轴;•

Ax+Cz+D=0表示•

Ax+By+D=0表示•

Cz+D=0表示•Ax+D=0表示•

By+D=0表示平行于

y

轴的平面;平行于

z

轴的平面;平行于xoy面的平面;平行于yoz面的平面；平行于zox面的平面.机动目录上页下页返回结束)0(222¹++CBA特殊情形•当D=0时,Ax+By+27①平面的点法式方程设一平面通过已知点且垂直于非零向称①式为平面的点法式方程,求该平面的方程.法向量.量则有故机动目录上页下页返回结束①平面的点法式方程设一平面通过已知点且垂直于非零向称①式为平28例5.求过三点即解:取该平面

的法向量为的平面

的方程.利用点法式得平面的方程机动目录上页下页返回结束例5.求过三点即解:取该平面的法向量为的平面的方29此平面的三点式方程也可写成一般情况:过三点的平面方程为说明:机动目录上页下页返回结束此平面的三点式方程也可写成一般情况30特别,当平面与三坐标轴的交点分别为此式称为平面的截距式方程.时,平面方程为分析:利用三点式按第一行展开得即机动目录上页下页返回结束特别,当平面与三坐标轴的交点分别为此式称为平面的截距式方程.31例6.求通过x轴和点(4,–3,–1)的平面方程.解:因平面通过

x轴,设所求平面方程为代入已知点得化简,得所求平面方程机动