多元课件第三章

多元课件第三章1第1页，课件共111页，创作于2023年2月§3.1几个重要统计量的分布

一、正态变量二次型的分布二、威沙特分布三、霍特林T2分布四、威尔克斯统计量§3.2单总体均值向量的检验及置信域§3.3多总体均值向量的检验第三章多元正态总体参数的假设检验目录(一)2第2页，课件共111页，创作于2023年2月

一元统计中,参数μ,σ2的检验涉及到一个总体、二个总体,乃至多个总体的检验问题;推广到p元统计分析中，类似地对参数向量μ和参数矩阵Σ涉及到的检验也有一个总体、二个总体,乃至多个总体的检验问题。第三章多元正态总体参数的假设检验3第3页，课件共111页，创作于2023年2月

在一元统计中，用于检验μ,σ2的抽样分布有χ2分布,t分布,F分布等,它们都是由来自总体N(μ,σ2)的样本导出的检验统计量.

推广到多元统计分析后，也有相应于以上三个常用分布的统计量:Wishart,HotellingT2,WilksΛ统计量,讨论这些统计量的分布是多元统计分析所涉及的假设检验问题的基础.第三章多元正态总体参数的假设检验4第4页，课件共111页，创作于2023年2月

设Xi～N1(μi,σ2)(i=1,...…,n),且相互独立，记第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--分量独立的正态变量二次型一般情况(μi＝0，σ2≠1时),结论15第5页，课件共111页，创作于2023年2月

结论2当μi≠0(i=1,…,n),σ2=1时,X′X的分布常称为非中心χ2分布.

第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--分量独立的正态变量二次型

定义3.1.1设n维随机向量X～Nn(μ,In)(μ≠0),则称随机变量ξ＝X'X为服从

n个自由度,非中心参数的χ2分布，记为6第6页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--分量独立的正态变量二次型则

结论3设X～Nn(0,σ2In),A为n阶对称方阵,rk(A)=

r,则二次型X'AX/σ2～χ2(r)

A2＝A(A为对称幂等阵).特例:当A=In时,7第7页，课件共111页，创作于2023年2月

证明(充分性)因A为对称幂等阵，而对称幂等阵的特征值非0即1,且只有r个非0特征值，即存在正交阵Γ(其列向量ri为相应特征向量)，使第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--分量独立的正态变量二次型8第8页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--分量独立的正态变量二次型必要性证明不要求(利用特征函数).9第9页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--分量独立的正态变量的二次型则(必要性)因A为对称阵，所以存在正交阵Γ使:Γ′AΓ＝diag(λ1,…λr，0…0).令

Y=Γ′X～N（0,σ2In

）,X=ΓY且Y1，…，Yr相互独立同N(0,σ2)分布.故而

10第10页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--分量独立的正态变量的二次型(i＝1,…,r),且相互独立.又已知ξ＝X'AX/σ2～χ2(r)，故ξ的特征函数为(1-2it)-r/2

Zi=λiZi的特征函数为(1-2iλit)-1

/2,又

Z1

Z2...Zr且相互独立.故有11第11页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--分量独立的正态变量的二次型diag(1,…,1,0,…,0)=Γ'AΓ=Γ'AΓ·Γ'AΓ=Γ'A2Γ故A＝A2，即A为对称幂等阵.

利用同分布的特征函数相同可得出

λ1＝…＝λr=1.12第12页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--分量独立的正态变量的二次型

结论4设X～Nn(μ,σ2In),A为对称阵,且rk(A)=r,

则二次型

A2＝A(A为对称幂等阵).作业1:证明充分性(习题3-1

）(充分性的证明类似于结论3中充分性的证明方法,必要性证明不要求)13第13页，课件共111页，创作于2023年2月

证明(充分性)因A为对称幂等阵，而对称幂等阵的特征值非0即1,且只有r个非0特征值，即存在正交阵Γ(其列向量ri为相应特征向量)，使第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--分量独立的正态变量二次型14第14页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--分量独立的正态变量二次型15第15页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--分量独立的正态变量二次型其中非中心参数为16第16页，课件共111页，创作于2023年2月

结论5二次型与线性函数的独立性:

设X～Nn(μ,σ2In),A为n阶对称阵，B为m×n阵,令ξ＝X'AX,Z=BX(Z为m维随机向量),若BA=O,则BX和X'AX相互独立.第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--分量独立的正态变量二次型证明设rk(A)=r＞0(当r=0时A＝0，结论显然成立)，存在正交阵Γ使17第17页，课件共111页，创作于2023年2月其中λi是A的非零特征值(i＝1,…,r).因为第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--分量独立的正态变量二次型故有C1Dr＝Om×r(Dr为对角矩阵,且λi≠0)，从而得C1＝

Om×r18第18页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--分量独立的正态变量二次型即Y1，…,Yn独立.因为19第19页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--分量独立的正态变量二次型而故X′AX与BX相互独立.以上结论反之也成立：若BX和X'AX相互独立,则BA=0.20第20页，课件共111页，创作于2023年2月

结论6两个二次型相互独立的条件:设X～Nn(μ,σ2In),

A，B为n阶对称阵则AB＝O

X'AX与X'BX相互独立.第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--分量独立的正态变量二次型

证明必要性的思路：记rk(A)=r.

①因A为n阶对称阵,存在正交阵Γ,使得

Γ'AΓ=diag(λ1,…,λr

0,..,0)

②令Y＝Γ'X，则Y～Nn(Γ'μ,σ2In),

作业2:证明必要性(习题3-2）21第21页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--分量独立的正态变量二次型③且又因为X'BX=Y'Γ'BΓ

Y=Y'HY,其中H=Γ‘BΓ。④如果由AB=O,能够证明X′BX可表示为Yr+1，…,Yn的函数，即H只是右下子块H22为非O的矩阵。则X′AX与X′BX相互独立。22第22页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--分量独立的正态变量二次型

证明以下只证明必要性.记rk(A)=r.若r=n,由AB＝0,知B＝0n×n,于是X′AX与X′BX独立；若r=0时,则A＝0,则两个二次型也是独立的.以下设0＜r＜n.因A为n阶对称阵,存在正交阵Γ,使得23第23页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--分量独立的正态变量二次型

其中λi≠0为A的特征值(i=1,…,r).于是令r24第24页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--分量独立的正态变量二次型由AB＝0可得DrH11＝0，DrH12＝0.因Dr为满秩阵,故有H11＝0r×r，H12＝0r×(n-r).由于H为对称阵，所以H21＝0(n-r)×r.于是令Y＝Γ′X，则Y～Nn(Γ′μ,σ2In),

且25第25页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--分量独立的正态变量二次型

由于Y1，…,Yr,Yr+1,…,Yn相互独立，故X′AX与X′BX相互独立.26第26页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--一般p维正态变量的二次型

结论1设X～Np(μ,Σ),Σ＞0,则X'Σ-1X～χ2(p,δ)，其中δ＝μ'Σ-1μ.

证明因Σ＞0,由正定阵的分解可得

Σ＝CC′(C为非退化阵).令Y＝C-1X

(即X＝CY)，则

Y～Np(C-1μ,C-1

Σ(C-1)′),因Σ＝CC′，所以Y～Np(C-1μ,Ip).且X′Σ-1X＝Y'C'Σ-1

CY＝Y'Y～χ2(p,δ)，其中δ＝(C-1μ)′(C-1μ)=μ'Σ-1μ.27第27页，课件共111页，创作于2023年2月

结论2

设X～Np(μ,Σ),Σ＞0,A为对称阵,rk(A)=r.则(X-μ)′A(X-μ)～χ2(r)

ΣAΣAΣ＝ΣAΣ.第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--一般p维正态变量的二次型

证明因Σ＞0,则rk(Σ)＝p.因Σ为对称阵,故存在正交阵Γ,使得28第28页，课件共111页，创作于2023年2月

令第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--一般p维正态变量的二次型这里注意:修改P5529第29页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--一般p维正态变量的二次型由以上“1.结论3”的证明知即两边左右乘Σ1/2，即得

ΣAΣAΣ＝ΣAΣ.30第30页，课件共111页，创作于2023年2月

结论3设X～Np(μ,Σ),Σ＞0,A和B为p阶对称阵,则(X-μ)′A(X-μ)与(X-μ)′B(X-μ)独立

ΣAΣBΣ＝Op×p.第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--一般p维正态变量的二次型注意:修改P55倒2行31第31页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--一般p维正态变量的二次型由“1.结论6”知ξ与η相互独立

32第32页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--非中心t分布和F分布定义3.1.2定义3.1.333第33页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--非中心t分布的应用

一元统计中，关于一个正态总体N(μ,σ2)的均值检验中，检验H0：μ＝μ0时，检验统计量否定域为{|T|＞λ}，其中λ满足：P{|T|＞λ}=α(显著性水平).34第34页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--非中心t分布的应用

当否定H0时，可能犯第一类错误，且第一类错误的概率＝P｛“以真当假”｝＝P｛|T|＞λ|μ＝μ0｝＝显著性水平α.当H0相容时，可能犯第二类错误，且第二类错误的概率＝P｛“以假当真”｝＝P｛|T|≤λ|μ=μ1

≠μ0

｝

=β.此时检验统计量T～t(n-1,δ),利用非中心t分布可以计算第二类错误β的值.35第35页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--Wishart分布(威沙特分布)Wishart分布是一元统计中χ2分布的推广.多元正态总体Np(μ,Σ)中,常用样本均值向量X作为μ的估计，样本协差阵S＝A/(n-1)作为Σ的估计.由第二章的定理2.5.2已给出了X～Np(μ,Σ/n).S~?.一元统计中，用样本方差作为σ2的估计，而且知道36第36页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--Wishart分布(威沙特分布)推广到p元正态总体,样本协差阵S＝A/(n-1)及随机矩阵A(离差阵)的分布是什么?设X(α)(α＝1,…,n)为来自Np(0,Σ)的随机样本,考虑随机矩阵的分布.当p=1时，37第37页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--Wishart分布(威沙特分布)推广到p维正态总体时，随机矩阵W的分布是什么?

定义3.1.4设X(α)

～Np(0,Σ)(α＝1,…,n)相互独立，则称随机矩阵的分布为Wishart分布(威沙特分布)，记为W～Wp(n,Σ).显然p=1时,即38第38页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--Wishart分布(威沙特分布)一般地,设X(α)～Np(μ,Σ)(α＝1,…,n)相互独立,记则称W＝X'X服从非中心参数为Δ的非中心Wishart分布,记为W～Wp(n,Σ,Δ).其中39第39页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--Wishart分布(威沙特分布)当X(α)～Np(μα,Σ)(α＝1,…,n)相互独立时，非中心参数这里其中p为随机矩阵W的阶数,n为自由度,一元统计中的σ2对应p元统计中的协差阵Σ.40第40页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--Wishart分布的性质

性质1设X(α)～Np(μ,Σ)(α＝1,…,n)相互独立，则样本离差阵A服从Wishart分布，即

证明根据第二章§2.5的定理2.5.2知而Zα～Np(0,Σ)(α=1,…,n-1)相互独立,由定义3.1.4可知A～Wp(n-1,Σ).41第41页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--Wishart分布的性质

由于Wishart分布是χ2分布的推广,它具有χ2分布的一些性质.

性质2关于自由度n具有可加性：设Wi～Wp(ni,Σ)(i＝1,…,k)相互独立，则

性质3设p阶随机阵W～Wp(n,Σ),C是m×p常数阵,则m阶随机阵CWC′也服从Wishart分布,即CWC′～Wm(n,CΣC′).42第42页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--Wishart分布的性质证明其中Zα～Np(0,Σ)(α=1,…,n)相互独立.令Yα=CZα,则Yα～Nm(0,CΣC′).故

由定义3.1.4有:43第43页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--Wishart分布的性质

①aW～Wp(n,aΣ)(a＞0，为常数).在性质3中只须取C＝a1/2Ip，即得此结论.特例：②设l′＝(l1,…,lp)，则

l´Wl＝ξ～W1(n,l´Σl),即ξ～σ2χ2(n)(其中σ2＝l´Σl).在性质3中只须取C＝l´,即得此结论.思考:试问随机阵W的对角元素Wii的分布？44第44页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--Wishart分布的性质

性质4分块Wishart矩阵的分布:设X(α)～

Np(0,Σ)(α＝1,…,n)相互独立，其中又已知随机矩阵则(习题3-4)45第45页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--Wishart分布的性质

性质5设随机矩阵W～Wp(n,Σ)，记则相互独立。其中～(性质5,性质7和性质8不要求)46第46页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--Wishart分布的性质

性质6设随机矩阵W～Wp(n,Σ)，则

E(W)＝nΣ.证明:由定义3.1.4,知其中Zα～Np(0,Σ)(α=1,…,n)相互独立.则47第47页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--

HotellingT

2分布一元统计中,若X～N(0,1),～χ2(n),X与相互独立,则随机变量下面把的分布推广到p元总体.

设总体X～Np(0,Σ)，随机阵W

～Wp(n,Σ),我们来讨论T2＝nX'W-1

X的分布.48第48页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--

HotellingT

2分布

定义3.1.5设X～Np(0,Σ),随机阵W～Wp(n,Σ)(Σ0,

n≥p),且X与W相互独立,则称统计量T2＝nX′W-1

X为HotellingT2

统计量,其分布称为服从n个自由度的T2分布,记为T2～T2(p,n).

更一般地,若X～Np(μ,Σ)(μ≠0),则称T2的分布为非中心HotellingT2

分布，记为T2～T2(p,n,μ).49第49页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--

HotellingT2分布的性质

性质1设X(α)～

Np(μ,Σ)(α＝1,…,n)是来自p元总体Np(μ,Σ)的随机样本,X和A分别为总体Np(μ,Σ)的样本均值向量和离差阵,则统计量事实上,因50第50页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--

HotellingT2分布的性质

而A～Wp(n-1,Σ),且A与X相互独立.由定义3.1.5知51第51页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--

HotellingT2分布的性质

性质2

T2与F分布的关系:设T2～T2(p,n)，则在一元统计中52第52页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--

HotellingT2分布的性质当p=1时,一维总体X～N(0,σ2)，所以注意:因这是性质2的特例:即p=1时,T2~F(1,n).53第53页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--

HotellingT2分布的性质一般地：(性质2的严格证明见参考文献[2])其中ξ＝X′Σ-1

X～χ2(p,δ)(δ＝0)，还可以证明χ2(n-p+1),且ξ与η独立.54第54页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--

HotellingT2分布的性质

性质3

设X～Np(μ,Σ),随机阵W～Wp(n,Σ)(Σ0,

n≥p),且X与W相互独立,

T2＝nX′W-1

X为非中心HotellingT2

统计量(T2～T2(p,n,μ)).则其中非中心参数.～55第55页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--

HotellingT2分布的性质

或

性质3

设X(α)～

Np(μ,Σ)(α＝1,…,n)是来自p元总体Np(μ,Σ)的随机样本,X和A分别为样本均值向量和离差阵.记56第56页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--

HotellingT2分布的性质

一元统计中(p=1时),t统计量与参数σ2无关.类似地有以下性质.性质4

T2统计量的分布只与p,n有关,而与Σ无关.即57第57页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--

HotellingT2分布的性质事实上,因X～Np(0,Σ)(Σ＞0),W～Wp(n,Σ),则Σ-1/2X～Np(0,Ip)，因此58第58页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--

HotellingT2分布的性质

性质5

在非退化的线性变换下,T2统计量保持不变设X(α)(α＝1,…,n)

是来自p元总体Np(μ,Σ)的随机样本,Xx和Ax分别表示正态总体X的样本均值向量和离差阵,则由性质1有59第59页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--

HotellingT2分布的性质

作业(习题3-4)令其中C是pp非退化常数矩阵，d是p1常向量。则可证明：60第60页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--

WilksΛ分布的定义

一元统计中,设ξ～χ2(m),η～χ2(n),且相互独立,则

在总体N(μ1,σ2(x))和N(μ2,σ2(y))方差齐性检验中,设X(i)(i=1,…,m)为来自总体N(μ1,σ2(x))的样本,Y

(j)

(j=1,…,n)为来自总体N(μ2,σ2(y))的样本.取σ2(x)和σ2(y)的估计量(样本方差)分别为61第61页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--

WilksΛ分布的定义检验统计量

p元总体Np(μ,Σ)中,协差阵Σ的估计量为A/(n-1)或A/n.在检验H0:Σ1＝Σ2时,如何用一个数值来描述估计矩阵的离散程度呢.一般可用矩阵的行列式、迹或特征值等数量指标来描述总体的分散程度.62第62页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--

WilksΛ分布的定义

定义3.1.6

设X～Np(μ,Σ),则称协差阵的行列式|Σ|为X的广义方差.若X(α)(α＝1,…,n)为p元总体X的随机样本，A为样本离差阵,有了广义方差的概念后,在多元统计的协差阵齐次检验中,类似一元统计,可考虑两个广义方差之比构成的统计量——Wilks统计量的分布.63第63页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--

WilksΛ分布的定义定义3.1.7

设A1～Wp(n1,Σ),A2～Wp(n2,Σ)(Σ＞0,n1≥p),且A1与A2独立,则称广义方差之比为Wilks(或Λ)统计量,其分布称为Wilks(威尔克斯)分布,记为

Λ～Λ(p,n1,n2)(或Λp,n1,n2)64第64页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--

WilksΛ统计量的性质

在实际应用中,常把Λ统计量化为T2统计量,进而化为F统计量,利用我们熟悉的F统计量来解决多元统计分析中有关检验的问题.

结论1当n2＝1时,设n1=n＞p,则注意:在这里记号Λ(p,n,1)有两重含义:①统计量(也是随机变量);②其分布是参数为p,n,1的威尔克斯分布.65第65页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--

WilksΛ统计量的性质或

证明设X(α)(α＝1,…,n,n+1)相互独立同Np(0,Σ)分布,显然有66第66页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--

WilksΛ统计量的性质由定义3.1.7，知67第67页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--

WilksΛ统计量的性质利用分块矩阵求行列式的公式(见附录的推论4.1):68第68页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--

WilksΛ统计量的性质所以结论2当n2＝2时,设n1＝n＞p,则69第69页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--

WilksΛ统计量的性质

结论3

当p=1时，则因p=1时,Λ(1,n1,n2)就是ß(n1/2,n2/2)利用贝塔分布与F分布的关系,即有以上结论.70第70页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--

WilksΛ统计量的性质结论4当p=2时，则

结论5当n2＞2,p＞2时,可用χ2统计量或F统计量近似.Box(1949)给出以下结论：设Λ～Λ(p,n,n2),则当n→∞时，-rlnΛ～χ2(p

n2),其中r=n-(p-n2+1)/2.(二个重要结论不要求)71第71页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.1几个重要统计量的分布--

WilksΛ统计量的性质下面不加证明地给出地二个重要结论：

(1)若Λ～Λ(p,n1,n2),则存在相互独立B1,…,Bp,Bk～(k=1,…,p)使得dp=1时Λ(1,n1,n2)就是ß(n1/2,n2/2).(2)72第72页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.2单总体均值向量的检验

在多元统计分析中,考虑的总体是p维正态总体Np(μ,Σ),关于均值向量的检验问题经常是需要的.

p元正态随机向量的每一个分量都是一元正态变量,关于均值向量的检验问题能否化为p个一元正态的均值检验问题呢?显然这是不完全的.因为p个分量之间往往有互相依赖的关系,分开作检验,往往得不出正确的结论.但我们可以构造出类似于一元统计中的统计量,用来对均值向量进行检验.73第73页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.2单总体均值向量的检验关于均值向量的检验包括:

①一个p元正态总体Np(μ,Σ),检验

H0:μ＝μ0;②二个p元正态总体Np(μ1,Σ1)和Np(μ2,Σ2)，检验H0:μ1＝μ2③k个p元正态总体Np(μi,Σ)(i＝1,…,k),当协差阵相等时检验k个均值向量是否全相等(即多元方差分析).74第74页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.2单总体均值向量的检验设总体X～Np(μ,Σ),随机样本X(α)(α＝1,…,n).检验H0:μ＝μ0(μ0为已知向量),H1:μ≠μ01.当Σ＝Σ0已知时均值向量的检验利用二次型分布的结论(“2.结论1”)知75第75页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.2单总体均值向量的检验取检验统计量为按传统的检验方法,对给定的显著水平α,查χ2分布临界值表得λα:76第76页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.2单总体均值向量的检验由样本值x(α)(α＝1,…,n),计算X及T20值,若T20＞λα,则否定H0,否则H0相容.

利用统计软件(如SAS系统),还可以通过计算显著性概率值(p值)给出检验结果,且由此得出的结论更丰富.假设在H0成立情况下,随机变量T20～χ2(p),由样本值计算得到T20的值为d,可以计算以下概率值：p=P{T20≥d},常称此概率值为显著性概率值，或简称为p值.77第77页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.2单总体均值向量的检验

对给定的显著性水平α,当p值＜α时(即d值大,X与μ偏差大),则在显著性水平α下否定假设H0；在这种情况下,可能犯“以真当假”的第一类错误,且α就是犯第一类错误的概率.

当p值≥α时(即d值小,X与μ偏差小),,则在显著性水平α下H0相容；在这种情况下，可能犯“以假当真”的第二类错误,且犯第二类错误的概率β为β=P{T20≤λα|当μ=μ1≠μ0},其中检验统计量T20～χ2(p,δ),非中心参数

δ=n(μ1-μ0)′(Σ0)-1(μ1-μ0).78第78页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.2单总体均值向量的检验

p值的直观含义可以这样看,检验统计量T20的大小反映X与μ0的偏差大小,当H0成立时T20值应较小.现在由观测数据计算T20值为d；当H0成立时统计量T20～χ2(p),由χ2分布可以计算该统计量≥d的概率值(即p值).

比如p值=0.02＜α=0.05,表示在μ＝μ0的假设下，观测数据中极少会出现T20的值大于等于d值的情况，故在0.05的水平下有足够的证据否定原假设，即认为μ与μ0

有显著地差异.79第79页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.2单总体均值向量的检验

又比如当p值=0.22≥α=0.05时,表示在μ＝μ0的假设下，观测数据中经常会出现T20的值大于等于d值的情况，故在0.05的水平下没有足够的证据否定原假设，即认为μ与μ0没有显著地差异.80第80页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.2单总体均值向量的检验

2.当Σ未知时均值向量的检验当p=1时(一元统计)，取检验统计量为或等价地取检验统计量81第81页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.2单总体均值向量的检验推广到多元,考虑统计量因离差阵82第82页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.2单总体均值向量的检验由定义3.1.5可知利用T2与F分布的关系，检验统计量取为83第83页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.2单总体均值向量的检验—例3.2.1

例3.2.1人的出汗多少与人体内钠和钾的含量有一定的关系.今测量了20名健康成年女性的出汗量(X1)、钠的含量(X2)和钾的含量(X3)(数据见表3.1).试检验

H0:μ=μ0=(4,50,10)′，H1:μ≠μ0.

84第84页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.2单总体均值向量的检验—例3.2.1解记随机向量X=(X1,X2,X3)′,假定X～N3(μ,Σ).检验H0:μ＝μ0，H1：μ≠μ0.取检验统计量为由样本值计算得:85第85页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.2单总体均值向量的检验—例3.2.186第86页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.2单总体均值向量的检验—例3.2.1对给定α=0.05,按传统的检验方法,可查F分布临界值表得λα=F3,17(0.05)=3.2,比较由样本值计算得到的F值及临界值,因F值=2.9045＜3.2,故H0相容.

利用统计软件进行检验时,首先计算p值(此时检验统计量F～F(3,17))：p=P{F≥2.9045}=0.06493.因p值=0.06493＞0.05=α,故H0相容.在这种情况下，可能犯第二类错误,且第二类错误的概率为

β=P{F≤3.2|μ=X}=0.3616(假定总体均值μ=μ1≠μ0,取μ1=X).87第87页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.2单总体均值向量的检验—例3.2.1prociml;n=20;p=3;m0={45010};used321;/*使用SAS数据集d321中的3个变量*/

xa={x1x2x3};readallvarxaintox;/*把

d321中三个变量的所有观测数据读入矩阵X*/ln={［20］

1};/*行向量ln由20个均为1的元素组成*/

x0=(ln*x)/n;/*计算样本均值行向量X′*/xm=x0-m0;以上计算结果可以用SAS/IML计算,SAS程序如下(假设表3.1的数据已生成名为d321的SAS数据集)：(yydy321a.sas)88第88页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.2单总体均值向量的检验—例3.2.1

mm=i(20)-j(20,20,1)/n;/*计算矩阵(In-J/n)*/

a=x｀*mm*x;/*x｀表示计算矩阵X的转置*/

ai=inv(a);/*计算样本离差阵A和A的逆*/

dd=xm*ai*xm｀;d2=dd*(n-1);t2=n*d2;/*计算D2和T2*/f=(n-p)*t2/((n-1)*p);/*计算检验统计量F值*/

printx0aaid2t2f;/*输出有关计算结果*/

p0=1-probf(f,p,n-p);/*计算显著性概率值(p值)*/

fa=finv(0.95,3,17);/*计算α=0.05的临界值λα*/beta=probf(fa,p,n-p,t2);/*计算第二类错误β值*/

printp0beta;run;89第89页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.2单总体均值向量的检验—例3.2.1

prociml;n=20;p=3;x={3.748.59.3,5.765.18.0,3.847.210.9,3.253.212.0,3.155.59.7,4.636.17.9,2.424.814.0,7.233.17.6,6.747.48.5,5.454.111.3,3.936.912.7,4.558.812.3,3.527.89.8,4.540.28.4,1.513.510.1,8.556.47.1,4.571.68.2,6.552.810.9,4.144.111.2,5.540.99.4};m0={45010};ln={[20]1};x0=(ln*x)/n;printx0;解二:(yydy321b.sas)90第90页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.2单总体均值向量的检验—例3.2.1

xm=x0-m0;printxm;mm=i(20)-j(20,20,1)/n;a=x`*mm*x;printa;ai=inv(a);printai;dd=xm*ai*xm`;d2=(n-1)*dd;t2=n*d2;f=(n-p)*t2/((n-1)*p);printddd2t2f;p0=1-probf(f,p,n-p);printp0;fa=finv(0.95,p,n-p);beta=probf(fa,p,n-p,t2);printfabeta;run;91第91页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.2单总体均值向量的检验--似然比统计量在数理统计中关于总体参数的假设检验,通常是利用最大似然原理导出似然比统计量进行检验.在多元统计分析中几乎所有重要的检验都是利用最大似然原理给出的.下面我们回顾下最大似然比原理.作出判断,这就是假设检验问题.称H0

为原假设(或零假设)，H1为对立假设(或备择假设).设p维总体的密度函数为f(x,θ),其中θ是未知参数，且θ∈Θ(参数空间)，又设Θ0是Θ的子集,我们希望对下列假设：92第92页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.2单总体均值向量的检验--似然比统计量从总体X抽取容量为n的样本X(t)(t=1,…,n).把样本的联合密度函数记为L(X;θ),并称它为样本的似然函数.引入统计量93第93页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.2单总体均值向量的检验--似然比统计量

λ是样本X(t)(t=1,…,n)的函数,常称λ为似然比统计量.由于Θ0是Θ的子集,即分子≤分母,从而0≤λ≤1.直观考虑,若H0成立时,λ值应近似为1.如果λ取值太小(即分子＜＜分母),由最大似然原理,说明H0为真时观测到此样本X(t)(t=1,…,n)的概率比H0为不真时观测到此样本X(t)(t=1,…,n)的概率要小得多.故有理由认为假设H0不成立,所以从似然比统计量出发,以上检验问题的否定域为{λ(X(1),…,X(n))＜λα},94第94页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.2单总体均值向量的检验--似然比统计量

按传统计的检验方法,λα是由显著性性水平α确定的临界值,它满足在H0成立时有：P{λ(X(1),…,X(n))＜λα}=α.为了得到λα,必须研究似然比统计量λ的抽样分布.在一些特殊的情况下,λ的精确分布可以得到;但很多情况得不到λ的精确分布.

95第95页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.2单总体均值向量的检验--似然比统计量

当样本量很大且满足一定条件时,-2lnλ的抽样分布与χ2分布十分接近.下面不加证明地给出一条很有用的结论.近似服从自由度为f的χ2分布,其中

f=Θ的维数-Θ0的维数.

定理3.2.1当样本容量n很大时，96第96页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.2单总体均值向量的检验--似然比统计量

我们来导出当Σ未知时检验均值向量μ=μ0

的似然比统计量，并讨论它的分布.在第二章§2.5中已经导出：以上比式的分母当μ=X,Σ=A/n时达最大值，且最大值为设样本的似然函数为L(μ,Σ).检验均值向量μ=μ0

的似然比统计量为97第97页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.2单总体均值向量的检验--似然比统计量比式的分子当A0时达最大值，且最大值为故

以下来推导似然比统计量λ与T2的关系：98第98页，课件共111页，创作于2023年2月第三章多元正态总体参数的假设检验§3.2单总体均值向量的检验--似然比统计量利用分块矩阵行列式的性质(见