广东省茂名市西涌中学高三数学文下学期期末试卷含解析

广东省茂名市西涌中学高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设,是两条不同的直线,,,是三个不同的平面．有下列四个命题：①若，，，则；②若，，则；③若，，，则；④若，，，则．其中错误命题的序号是（

）A.①④

B.①③

C.②③④

D.②③参考答案：A2.已知函数f（x）=2sinxcosx﹣sin2x+1，当x=θ时函数y=f（x）取得最小值，则=（）A．﹣3 B．3 C．﹣ D．参考答案：D【考点】三角函数的化简求值．【分析】将函数f（x）=2sinxcosx﹣sin2x+1化解求解最小值，求出θ，带入化解计算即可．【解答】解：函数f（x）=2sinxcosx﹣sin2x+1=sin2x+cos2x+=sin（2x+φ）+，其中tanφ=，可得cot=2．当x=θ时函数y=f（x）取得最小值，即2θ+φ=，那么：2θ=φ+2kπ．则====．故选D．3.高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则截面所在平面与底面所在平面所成的锐二面角的正切值为（）A．2 B． C． D．参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体建立空间直角坐标系，由三视图求出A、C、D、E的坐标，设平面DEC的法向量，根据平面法向量的条件列出方程，求出法向量的坐标，由两平面的法向量求出成的锐二面角的余弦值，由平方关系求出正弦值，由商的关系即可求出正切值．【解答】解：如图建立空间直角坐标系，截面是平面CDE，由三视图得，A（0，0，0），E（0，0，2），D（0，2，4），C（2，0，0），所以，，设平面DEC的法向量为，则，即，不妨令x=1，则y=﹣1，z=1，可得，又为平面ABC的法向量，设所求二面角为θ，则，∵θ是锐二面角，∴=，则，故选B．4.设函数f（x）=是定义在R上的函数，其中f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）<f（x）对于x∈R恒成立，则

A．f（2）＞e2f（0），f（2014＞e2014f（0）

B．f（2）＞e2f（0），，（2014）<e2014f（0）

C．f（2）<e2f（0），f（2014）<e2014f（0）

D．f（2）<e2f（0），f（2014＞e2014f（0）参考答案：C略5.设则

（

）A．或

B．

C．

D．参考答案：D6.已知集合，函数的定义域为集合B，则A∩B=（）A.[－2,1] B.[－2,1) C.[1,3] D.(1,3]参考答案：B【分析】求出集合，再利用交集运算得解【详解】由得：，所以集合，又所以.故选：B【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题。7.设实数x，y满足约束条件，则当z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最小值2时，a=（）A． B． C．1 D．2参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】可以作出不等式的平面区域，根据目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，得到a+1=2，解得即可【解答】解：画出可行域如图，可知z在H（1，1）处取得最小值，故a+1=2，a=1，故选C．【点评】本题主要考查线性规划的应用以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．8.复数z满足，则z等于

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C略9.奇函数在上为减函数，且，则不等式的解集为（

）A．

B． C．

D．（3，）参考答案：B10.下列命题中正确的是A.函数是奇函数B.函数在区间上是单调递增的C.函数的最小值是D.函数是最小正周期为2的奇函数参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为的个小正方形（如右图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有

种．参考答案：10812.

的展开式中的系数是

参考答案：答案:1413.在的展开式中的常数项为

.参考答案：10略14.已知等差数列{an}的公差不为0，且a1，a3，a9成等比数列，则=

参考答案：答案：

15.设.若f(x)在上存在单调递增区间，则a的取值范围为__________.参考答案：略16.直线与抛物线所围图形的面积等于.参考答案：17.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示，据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过

小时后，学生才能回到教室.

参考答案：0.6三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知f（x）=2sinx（sinx+cosx），x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若=1+＜a＜，求cosa的值．参考答案：【考点】正弦函数的图象；三角函数中的恒等变换应用．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的单调递增区间．（Ⅱ）根据=1+sin（a﹣）=1+，求得sin（a﹣）的值，可得cos（a﹣）的值，再根据cosa=cos[（a﹣）+]，利用两角和的余弦公式计算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2sinx（sinx+cosx）=2sin2x+2sinxcosx=2?+sin2x=1+sin2x﹣cos2x=1+sin（2x﹣），令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]k∈Z．（Ⅱ）∵=1+sin（a﹣）=1+，∴sin（a﹣）=，＜a﹣＜π，∴cos（a﹣）=﹣=﹣，∴cosa=cos[（a﹣）+]=cos（a﹣）cos﹣sin（a﹣）sin=﹣?﹣=﹣．【点评】本题主要考查三角恒等变换、正弦函数的单调性，同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式的应用，属于中档题．19.已知函数f（x）=x3﹣ax2，常数a∈R．（Ⅰ）若a=1，过点（1，0）作曲线y=f（x）的切线l，求l的方程；（Ⅱ）若函数y=f（x）与直线y=x﹣1只有一个交点，求实数a的取值范围．参考答案：考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的图象．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）把a=1代入函数解析式，设出切点坐标，利用导数求出过切点的切线方程，代入点（1，0），求得切点横坐标，则过（1，0）点的切线方程可求；（Ⅱ）把曲线y=f（x）与直线y=x﹣1只有一个交点转化为关于x的方程ax2=x3﹣x+1只有一个实根，进一步转化为方程只有一个实根．构造函数，利用导数分析其单调性，并画出其图象大致形状，数形结合可得方程只有一个实根时的实数a的取值范围．解答： 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x3﹣x2，设切点P为（x0，y0），则，∴过P点的切线方程为．该直线经过点（1，0），∴有，化简得，解得x0=0或x0=1，∴切线方程为y=0和y=x﹣1；（Ⅱ）曲线y=f（x）与直线y=x﹣1只有一个交点，等价于关于x的方程ax2=x3﹣x+1只有一个实根．显然x≠0，∴方程只有一个实根．设函数，则．设h（x）=x3+x﹣2，h′（x）=3x2+1＞0，h（x）为增函数，又h（1）=0．∴当x＜0时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）为减函数；当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；∴g（x）在x=1时取极小值1．又当x趋向于0时，g（x）趋向于正无穷；当x趋向于负无穷时，g（x）趋向于负无穷；又当x趋向于正无穷时，g（x）趋向于正无穷．∴g（x）图象大致如图所示：∴方程只有一个实根时，实数a的取值范围为（﹣∞，1）．点评：本题考查学生会利用导数求曲线上过某点的切线方程，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．考查数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是压轴题．20.设函数f（x）=ex﹣ax2+1，曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=bx+2．（1）求a，b的值；（2）若方程F（x）=f（x）﹣mx有两个极值点x1，x2（x1＜x2），x0是x1与x2的等差中项；（i）求实数m的取值范围；（ii）求证：f′（x0）＜0（f′（x）为f（x）的导函数）．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先求导，再根据导数的几何意义即可求出a，b的值，?min（x）=?（ln2）=2﹣2ln2（2）先求导，分离参数，再构造函数，利用导数求出最值，（i）结合图象m∈（2﹣2ln2，+∞），（ii）由图易知：x1＜ln2＜x2设F（x）=?（x）﹣?（2ln2﹣x）

（x＜ln2），再求导，求出函数极值点，再根据等差中项的性质?′（x0）＜0，问题得以证明．【解答】解：（1）f′（x）=ex﹣2ax，f′（1）=e﹣2a，f（1）=e﹣a+1，∴曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为：y﹣e+a﹣1=（e﹣2a）x﹣e+2a，即：y=（e﹣2a）x+a+1，由题意：e﹣2a=b，a+1=2，∴a=1，b=e﹣2（2）由（1）知：f（x）=ex﹣x2+1，f′（x）=ex﹣2x，∴F′（x）=f′（x）﹣m=ex﹣2x﹣m，令?（x）=ex﹣2x，则?′（x）=ex﹣2，由?′（x）＜0得：x＜ln2；由?′（x）＞0得：x＞ln2；∴?（x）在（﹣∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增；当x→+∞时，?（x）→+∞，当x→﹣∞时，?（x）→+∞；?（x）的图象如图所示：?min（x）=?（ln2）=2﹣2ln2，（i）若使?（x）=f′（x）=ex﹣2x=m有两个解x1，x2，则应有：m＞2﹣2ln2∴m∈（2﹣2ln2，+∞），（ii）由图易知：x1＜ln2＜x2设F（x）=?（x）﹣?（2ln2﹣x）

（x＜ln2），则F′（x）=?′（x）+?′（2ln2﹣x）=ex﹣2+e2ln2﹣x﹣2=ex+﹣4≥0，∴F（x）在（﹣∞，ln2）上单调递增，∴F（x）＜F（ln2）=0，即：?（x）﹣?（2ln2﹣x）＜0，即?（x）＜?（2ln2﹣x），∵x1∈（﹣∞，ln2），∴?（x1）＜?（2ln2﹣x1），∵?（x1）=?（x2）=m，∴?（x2）＜?（2ln2﹣x1），∵?（x）在（ln2，+∞）上单调递增且x2＞ln2，2ln2﹣x1＞ln2，∴x2＜2ln2﹣x1，∴x1+x2＜2ln2，∴＜ln2，即x0＜ln2，∵?（x）在（﹣∞，ln2）上单调递减，∴?′（x0）＜0，即f′（x0）＜0【点评】本题考查了导数的几何意义以及导数和函数的单调性和最值的关系，考查了转化能力，运算能力，解决问题的能力，属于难题．21.已知函数，其中且． （I）求函数的单调区间； （II）当时，若存在，使成立，求实数的取值范围．[来源:参考答案：解（1）定义域为R，

当时，时，；时，当时，时，；时， 所以当时,的增区间是，减区间是当时,的ug减区间是，增区间是

（II）时，，由得：设，，

所以当时，；当时，，所以在上递增，在上递减，

所以的取值范围是略22.《山东省高考改革试点方案》规定：从2020年高考开始，高考物理、化学等六门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为八个等级.参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为.选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到八个分数区间，得到考生的等级成绩.某校2017级学生共1000人，以期末考试成绩为原始成绩转换了本校的等级成绩，为学生合理选科提供依据，其中物理成绩获得等级A的学生原始成绩统计如下成绩93919088878685848382人数1142433327

（1）求物理获得等级A的学生等级成绩的平均分（四舍五入取整数）；（2）从物理原始成绩不小于90分的学生中任取2名同学，求2名同学等级成绩不相等的概率.参考答案：(1)94(2)【分析】（1）先计算出原始成绩的平均分，再由转换公式计算等级成绩的平均分（2）物理成绩不小于分的学生共名：其中名原始成绩为的学生的等级成绩为；名原始成绩为，由转换公式得其等级成绩为；名原始成绩为，由转换公式得