第五章-数值插值方法课件

第五章 插值方法第五章 插值方法1第五章插值方法插值的基本概念Lagrange插值分段低次插值均差与Newton插值Hermite插值三次样条插值第五章插值方法插值的基本概念25.1代数插值问题例.某地区某年夏季时节间隔30天的日出日落时间为

5月1日5月31日 6月30日日出5：51 5：17 5：10日落19：04 19：38 19：50插值：研究用简单函数为各种离散数据建立连续数学模型的方法。5.1代数插值问题例.某地区某年夏季时节间隔30天3日照时间的变化设为y(x)=a0+a1x+a2x2,求出a0，a1，a2，即可得到5、6月份的日照时间的变化规律。根据三组数据:(1,15.2167)，(31,14.35)，(61,14.6667)导出关于a0，a1，a2的线性方程组日照时间的变化设为y(x)=a0+a1x+a2x2,4定义已知函数y=f(x)在[a,b]有定义，且已知它在n+1个互异节点

a≤x0<x1<…<xn≤b上的函数值

y0=f(x0)，y1=f(x1),…,yn=f(xn)，若存在一个次数不超过n次的多项式

Pn(x)=a0+a1x+a2x2+……+anxn满足条件 Pn(xk)=yk(k=0,1,…,n)则称Pn(x)为f(x)的n次插值多项式。点x0,x1,…,xn称插值节点，f(x)为被插值函数。[a,b]称插值区间，点x称插值点。插值点在插值区间内的叫内插，否则叫外插。定义已知函数y=f(x)在[a,b]有定义，且已知它在n+15设 Pn

(x)=a0+a1x+a2x2+……+anxn是y=f(x)在[a,b]上的n+1个互异节点x0,x1,…,xn的插值多项式，则求Pn(x)问题归结为求系数a0,a1,…,an。定理

n次插值问题的解是存在而且唯一的。证明：由插值条件：

Pn

(xk)=yk(k=0,1,…,n)得关于a0,a1,…,an的n+1阶线性方程组设 Pn(x)=a0+a1x+a2x26故Pn(x)存在且唯一。因故上式不为0。据Cramer法则，方程组解存在且唯一。其系数行列式是Vandermonde行列式故Pn(x)存在且唯一。因故上式不为0。据Cramer法则7给定插值节点x0,x1，y0=f(x0)，y1=f(x1).求线性插值多项式L1(x)=a0+a1x，使满足:

L1(x0)=y0,L1(x1)=y1.5.2Lagrange插值一、线性插值与抛物插值1.线性插值：n=1情形y=L1(x)的几何意义就是过点(x0,y0)，(x1,y1)的直线。L1(x)的表达式：点斜式:两点式:给定插值节点x0,x1，y0=f(x0)，y1=f(x18由两点式可以看出，L1(x)是由两个线性函数的线性组合得到，其系数分别为y0，y1。即显然，l0(x)及l1(x)也是线性插值多项式，在节点x0,x1上满足条件： l0(x0)=1,l0(x1)=0. l1(x0)=0,l1(x1)=1.

称l0(x)及l1(x)为线性插值基函数。(j,k=0,1)即由两点式可以看出，L1(x)是由两个线性函数的线性组合得9l0(x0)=1,l0(x1)=0,l0(x2)=0.l1(x0)=0,l1(x1)=1,l1(x2)=0.l2(x0)=0,l2(x1)=0,l2(x2)=1.2.抛物插值：n=2情形假定插值节点为x0,x1,x2，求二次插值多项式

L2(x)，使 L2(xj)=yj (j=0,1,2)y=L2(x)的几何意义就是过(x0,y0)，(x1,y1)，(x2,y2)三点的抛物线。采用基函数方法，设 L2(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2此时基函数l0(x),l1(x),l2(x)是二次函数，且在节点上满足：l0(x0)=1,l0(x1)=0,l0(x2)=010满足上式的插值基函数很容易求出。如求l0(x),因x1,x2为其零点，故可表为故即(j,k=0,1,2)其中A为待定系数，由l0(x0)=1,得满足上式的插值基函数很容易求出。如求l0(x),因x1,11显然 L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2满足条件 L2(xj)=yj (j=0,1,2)同理将l0(x),l1(x),l2(x)代入得显然 L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y12 取x0=4,y0=2，x1=9,y1=3，x2=16,y2=4.取x0=4,x1=9,x2=16例已知 求解（1）线性插值：取x0=4,x1=9（2）抛物插值： 取x0=4,y0=2，x1=9,y1=3，x2=16,13设有n+1个互异节点x0<x1<…<xn，且

yi=f(xi) (i=0,1,2…,n)构造Ln(x)，使 Ln(xj)=yj

(j=0,1,2,…,n)二、Lagrange插值多项式定义若n次多项式lj(x)(j=0,1,…,n)在n+1个节点x0<x1<…<xn上满足条件(j,k=0,1,…,n)则称这n+1个n次多项式l0(x),l1(x),…,ln(x)为节点x0,x1,…,xn上的n次插值基函数。设有n+1个互异节点x0<x1<…<xn，且二、Lagra14由n=1,2时的讨论可得 (k=0,1,2,…,n)或记为(k=0,1,2,…n)故满足插值条件的多项式为称Lagrange插值多项式。由n=1,2时的讨论可得 (k=0,1,2,…,n)或记15定理

设f(x)在[a,b]上具有n阶连续导数,且f(n+1)(x)存在,节点a≤x0<x1<…<xn≤b，

Ln(x)是满足条件Ln(xj)=yj(j=0,1,2,…,n)的插值多项式，则对任何x[a,b]，插值余项三、插值余项与误差估计定义

若在[a,b]上用Ln(x)近似f(x)，则其截断误差

Rn(x)＝f(x)-Ln(x) 称插值多项式的余项。其中定理设f(x)在[a,b]上具有n阶连续导数,且16证明：因为设其中证明：因为设其中17第五章-数值插值方法ppt课件18根据Rolle定理,再由Rolle定理,依此类推，由于因此根据Rolle定理,再由Rolle定理,依此类推，由于因此19所以注：余项表达式只有在f(x)的高阶导数存在时才能使用，ξ通常不能具体给出，可求出故Ln(x)逼近f(x)的截断误差限是所以注：余项表达式只有在f(x)的高阶导数存在时才能使用，ξ20当f(x)是n次的多项式时,Ln(x)=f(x)。即n次多项式的n次插值函数即为该n次多项式本身。说明：n=1时，n=2时，当f(x)是n次的多项式时,Ln(x)=f(x)。即21例:解:例:解:22第五章-数值插值方法ppt课件235.3分段低次插值高次插值的病态性质：对于一个确定的区间，如果插值节点之间的距离较小，自然插值节点就增多，如果用一个多项式插值，自然次数就会升高，也就是说要用高次多项式插值。但是否次数越高，插值多项式的逼近效果越好呢？20世纪初，Runge就给出了一个等距节点插值多项式不收敛的例子。5.3分段低次插值高次插值的病态性质：对于一个确定的区间24Runge反例:(-5≤x≤5)它在[-5,5]上各阶导数均存在，在该区间上取n+1个等距节点：构造拉格朗日插值多项式为：令则Runge反例:(-5≤x≤5)它在[-5,5]上各阶导数均25下表列出了n=2,4,…,20的Ln(xn-1/2)和R(xn-1/2)的值：下表列出了n=2,4,…,20的Ln(xn-1/2)和R(x26从表中可以看出，随着n的增加，R(xn-1/2)的绝对值几乎成倍地增加，这说明当n－>∞时Ln在[-5,5]上不收敛。Runge证明了，存在一个常数c≈3.63，使得当|x|≤c时，lim(Ln(x))=f(x)(n－>∞)；而当|x|>c时，Ln(x)发散。下图给出当n=10时，y=L10(x)及f(x)=1/(1+x2)在[-5,5]上的图形。从表中可以看出，随着n的增加，R(xn-1/2)的绝对值几乎27取xk=-5+k计算:f(xk)(k=0,1,…,10)构造L10(x).取:tk=-5+0.05k(k=0,1,…,200),计算:L10(tk)L10(t)

f(t)

f(x)取xk=-5+k计算:f(xk)(k=0,28一、分段线性Lagrange插值构造Lagrange线性插值1.分段线性插值的构造设插值节点为xi，函数值为yi，i=0,1,2,……,nhi=xi+1-xi，i=0,1,2,……,n-1，任取两个相邻的节点xk，xk+1，形成一个插值区间[xk，xk+1],k=0,1,2,…,n-1一、分段线性Lagrange插值构造Lagrange线性插值29显然我们称由上式构成的插值多项式L1(x)为分段线性Lagrange插值多项式。i=0,1,2,…,n显然我们称由上式构成的插值多项式L1(x)为分段线性Lagr30内插外插外插内插外插外插31故也称折线插值，如右图：但曲线的光滑性较差，且在节点处有尖点。

如果增加节点的数量，减小步长，会改善插值效果。因此则故也称折线插值，如右图：但曲线的光滑性较差，且在节点处有尖点32由前述余项定理可知，n次Lagrange插值多项式的余项为：2.分段线性插值的误差估计则分段线性插值L1(x)的余项为由前述余项定理可知，n次Lagrange插值多项式的余项为：33二、分段二次Lagrange插值1.分段二次插值的构造设插值节点为xi，函数值为yi，i=0,1,2,……,nhi=xi+1-xi，i=0,1,2,……,n-1，任取三个相邻的节点xk-1，xk，xk+1，以[xk-1，xk+1]为插值区间构造二次Langrange插值多项式：二、分段二次Lagrange插值1.分段二次插值的构造设插342.分段二次插值的误差估计由于那么分段二次插值L2(x)的余项为：2.分段二次插值的误差估计由于那么分段二次插值L2(x)的35例:解:(1)分段线性Lagrange插值的公式为例:解:(1)分段线性Lagrange插值的公式为36同理同理37(2)分段二次Lagrange插值的公式为(2)分段二次Lagrange插值的公式为38第五章-数值插值方法ppt课件395.4均差与Newton插值一、均差及其性质Lagrange插值多项式理论上较方便，但当节点增加时，全部基函数lk(x)都要变，在实际运算中并不方便。可将插值多项式表示为如下形式：其中a0,a1,……,an待定，可由Pn(xi)=fi(i=0,1,……,n)确定.fi为节点处的函数值.5.4均差与Newton插值一、均差及其性质Lagran40当x=x0时，当x=x1时，当x=x2时，当x=x0时，当x=x1时，当x=x2时，41再继续下去待定系数的形式将更复杂，为此引入均差的概念:再继续下去待定系数的形式将更复杂，为此引入均差的概念:42定义设f(x)在互异节点xi处的函数值为fi，i=0,1,…,n，称为f(x)关于节点xi，xj的一阶均差，两个一阶均差的均差称为f(x)关于节点xi，xj，xk的二阶均差，一般地，两个n-1阶的均差称为n阶均差（也称差商）。定义设f(x)在互异节点xi处的函数值为fi，i=0,1,…43均差的性质：（2）均差具有对称性，即任意调换节点的次序，均差的值不变。如（1）f(x)的k阶均差可表示为函数值f(x0),f(x1),……,f(xn)的线性组合，即（3）设f(x)在[a,b]上具有n阶导数，且x0,x1,…,xn

[a,b]，则n阶均差与导数的关系如下：均差的性质：（2）均差具有对称性，即任意调换节点的次序，44均差的计算方法(表格法):规定函数值为零阶均差均差表均差的计算方法(表格法):规定函数值为零阶均差均差表45例：已知函数f(x)的函数值列表如下：列出一至三阶的均差表。解：例：已知函数f(x)的函数值列表如下：列出一至三阶的均差表。46二、Newton插值公式据均差定义，把x≠xi看成[a,b]上一点，则即因此可得……二、Newton插值公式据均差定义，把x≠xi看成[a,b]47将后一式代入前一式，得其中称Nn(x)为Newton均差插值多项式。将后一式代入前一式，得其中称Nn(x)为Newton均差插值48（1）Newton插值多项式的系数为均差表中各阶均差的第一个数据；注：（2）Newton插值多项式的基函数为ωi(x)，i=0,1,……,n；（3）Newton插值多项式的插值余项为Rn(x)。（1）Newton插值多项式的系数为均差表中各阶均差的第一个49例：已知f(x)的函数表，求4次牛顿插值多项式，并由此计算f(0.596)的近似值。例：已知f(x)的函数表，求4次牛顿插值多项式，并由此计算f50这说明截断误差很小。可得截断误差为：从表中可以看到4阶均差几乎为常数，故取4次插值多项式即可，于是：这说明截断误差很小。可得截断误差为：从表中可以看到4阶均差几51此例中，五阶均差f[x,x0,x1,……,x4]是用f[x0,x1,……,x5]来近似的。另一种方法是取x=0.596，由f(0.596)≈0.61392求得f[x,x0,x1,……,x4]的近似值，进而计算|R4(x)|。截断误差的估计：此例中，五阶均差f[x,x0,x1,……,x4]是用f[x0525.5埃尔米特插值（Hermite）Newton插值和Lagrange插值虽然构造比较简单，但都存在插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多项式在节点处不可导等缺点。已知节点处函数值及对应节点导数值，求使其函数值及导数值均相等的插值多项式。埃尔米特插值的基本思想为：设a≤x0<x1<……<xn≤b上，(j=0,1,2…,n)求H(x)，使(j=0,1,2…,n)5.5埃尔米特插值（Hermite）Newton插值和L53共有2n+2个条件，可唯一确定一次数≤2n+1的多项式H2n+1

(x)＝H(x)。形式：一般来说，Hermite插值多项式的次数如果太高会影响收敛性和稳定性，因此2n+1不宜太大，仍用分段插值。故仅考虑n=1的情况，即三次Hermite插值。共有2n+2个条件，可唯一确定一次数≤2n+1的多项式H254一、三次Hermite插值公式考虑只有两个节点的插值问题：设f(x)在节点x0，x1处的函数值为y0，y1；在节点x0，x1处的一阶导数值为y`0，y`1。两个节点最高可以用3次Hermite多项式H3(x)作为插值函数。H3(x)应满足条件：采用基函数方法构造。一、三次Hermite插值公式考虑只有两个节点的插值问题：设55H3(x)应用四个插值基函数表示。设H3(x)的插值基函数为α0(x)，α1(x)，β0(x)，β1(x)，则其中H3(x)应用四个插值基函数表示。设H3(x)的插值基函数为56可知x1是α0(x)的二重零点，即可假设由可得可知x1是α0(x)的二重零点，即可假设由可得57Lagrange插值基函数同理可得Lagrange同理可得58将以上结果代入得两个节点的三次Hermite插值公式：将以上结果代入得两个节点的三次Hermite插值公式：59二、三次Hermite插值的余项定理：设f(x)在区间[a,b]上有定义，f(x)在(a,b)内有4阶导数，H3(x)是满足插值条件(j=0,1)的三次Hermite插值函数，则对任意的x∈[a,b]，H(x)的插值余项为证明：由(i=0,1)二、三次Hermite插值的余项定理：设f(x)在区间[a,60可知，x0，x1均为R3(x)的二重零点，因此可设其中K(x)待定构造辅助函数i=0,1因此φ(t)至少有5个零点。连续4次使用Rolle定理可得，至少存在一点ξ∈[x0,x1]，使得可知，x0，x1均为R3(x)的二重零点，因此可设其中K(x61即所以，两点三次Hermite插值的余项为即所以，两点三次Hermite插值的余项为62例1.解:例1.解:63作为多项式插值，三次已是较高的次数，次数再高就有可能发生Runge现象，因此，对有n+1个节点的插值问题，我们可以使用分段两点三次Hermite插值。作为多项式插值，三次已是较高的次数，次数再高就有可能发生Ru64设节点x0<x1<…<xn，分段插值函数Hn(x)在两个相邻节点构成的小区间[xj,xj+1] (j=0,1,…n-1)上满足条件：三、分段三次Hermite插值用三次Hermite插值，当x[xj

,xj+1

]时，有设节点x0<x1<…<xn，分段插值函数Hn(x)在两个65其中其中665.6三次样条插值样条：是指飞机或轮船等的制造过程中为描绘出光滑的外形曲线(放样)所用的工具。样条本质上是一段一段的三次多项式拼合而成的曲线，在拼接处，不仅函数是连续的，且一阶和二阶导数也是连续的。1946年，Schoenberg将样条引入数学，即所谓的样条函数。因分段线性插值导数不连续，埃尔米特插值导数连续但需要已知，故引入样条插值概念。5.6三次样条插值样条：是指飞机或轮船等的制造过程中为67一、三次样条插值函数的定义定义：给定区间[a,b]上的一个划分：

a=x0<x1<…<xn=b，已知函数f(x)在点xj上的函数值为

f(xj)=

yj,(j=0,1,2,···,n)如果存在分段函数一、三次样条插值函数的定义定义：给定区间[a,b]上的一个划68(1)S(x)在每一个子区间[xj-1

,xj](j=0,1,2,···,n)上是一个三次多项式；(2)S(x)在每一个内接点xj(j=1,2,···,n-1)上具有直到二阶的连续导数；则称S(x)为节点x0,x1,…,xn

上的三次样条函数。若S(x)在节点x0,x1,…,xn

上还满足插值条件：(3)S(xj)=yj

(j=0,1,2,···,n)则称S(x)为三次样条插值函数。（即全部通过样点的二阶连续可微的分段三次多项式函数）满足下述条件：(1)S(x)在每一个子区间[xj-1,xj](j69三次样条插值多项式的确定：由(1)知，S(x)在每一个小区间[xj-1

,xj

]上是一三次多项式，若记为Sj(x)，则可设要确定函数S(x)的表达式，须确定4n个未知系数{aj，bj，cj，dj}(j=1,2,…,n)。由(2)知，S(x)，S`(x)，S``(x)在内节点x1,x2,…,xn-1上连续，则j=1,2,…,n-1三次样条插值多项式的确定：由(1)知，S(x)在每一个小区70可得3n-3个方程，又由条件(3)j=0,1,…,n得n+1个方程，共可得4n-2个方程。要确定4n个未知数，还差两个方程。通常在端点x0=a,xn=b处各附加一个条件，称边界条件，常见有三种：(1)自然边界条件：(2)固定边界条件：－自然样条（最光滑）(3)周期边界条件：共4n个方程，可唯一地确定4n个未知数。可得3n-3个方程，又由条件(3)j=0,1,…,n得n+171例已知f(x)：f(-1)=1,f(0)=0,f(1)=1，求f(x)在[-1,1]上的三次自然样条插值函数。解设由插值条件和函数连续条件得：例已知f(x)：f(-1)=1,f(0)=0,f(1)=72由一阶及二阶导数连续得：由自然边界条件得：联立上面8个方程，求解得故由一阶及二阶导数连续得：由自然边界条件得：联立上面8个方程，73二、三次样条插值函数的建立（1）用一阶导数值构造三次样条插值函数 （m表达式）设S`(xj)=mj，(j=0,1,2,…,n)计算未知的mj，即可通过分段三次Hermite插值得到分段三次样条插值多项式。假设插值节点为等距节点，h=xj+1-xj，(j=0,1,2,…,n-1)当x∈[xj,xj+1]时，利用分段三次Hermite插值函数表示S(x)可得二、三次样条插值函数的建立（1）用一阶导数值构造三次样条插值74其中其中75利用样条插值函数二阶