(全国通用版)2023-2023高中数学 第二章 函数 2.1.4 函数的奇偶性

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(全国通用版)2023-2023高中数学其次章函数2.1.4函数的奇偶性2.1.5用计算机作函数的图象(选学)练习新人教B版必修1

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12.1.4函数的奇偶性2.1.5用计算机作函数的图象(选学

)

课时过关力量提升

1下列函数是奇函数的是()

A.y=

B.y=-3x2

C.y=-|x|

D.y=πx3-x

,再确定f(-x)与f(x)的关系.选项A中函数的定义域

为(-∞,1)∪(1,+∞),不关于原点对称,所以排解A;选项B,C中函数的定义域均是R,且函数均是偶函数;选项D

中函数的定义域是R

,且f(-x)=-f(x),则此函数是奇函数.

2设函数f(x)

=

+1,则f(x)()

A.是奇函数

B.

是偶函数

C.是非奇非偶函数

D.既是奇函数又是偶函数

得-1≤x≤1,即函数定义域为[-1,1],关于原点对称.

又由于f(-x)=

+

1=f(x),

所以f(x)是偶函数.

3若函数f(x)=

是定义域为R的奇函数,则实数b的值为()A.1

B.-1

C.0

D.1或-1

f(0)=0,即=0,故b=0,且此时f(x)=,f(-x)=

=-

=-f(x),

即f(x)是奇函数.

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24已知偶函数y=f(x)在区间(-∞,0]上是增函数,则下列不等式肯定成立的是()

A.f(3)f(-2)

B.f(-π)f(3)

C.f(1)f(a2+2a+3)

D.f(a2+2)f(a2+1)

y=f(x)在区间(-∞,0]上是增函数,且f(x)为偶函数,

所以y=f(x)在区间[0,+∞)内是减函数.

由于a2+2a+3=(a+1)2+21,

所以

f

(a2+2a+3)f(1)确定成立,故选C.

5已知f(x)=ax7-bx5+cx3+2,且f(-5)=m,则f(5)+f(-5)的值为()

A.4

B.0

C.2m

D.-m+4

,得f(x)+f(-x)=

4,

故f(-5)+f(5)=4.

6若偶函数f(x)满意f(x)=2x-4(x≥0),则不等式f(x-2)0的解集为()

A.{x|x-2或x4}

B.{x|x0或x4}

C.{x|x0或x6}

D.{x|x-2或x2}

x≥0时,令f(x)=2x-40,得x2.

又由于函数f(x)为偶函数,

所以函数f(x)0的解集为{x|x-2或x2}

.

故f(x-2)0的解集为{x|x0或x4}.

7若函数f(x)(x∈R)为奇函数,f(1)=,f(x+2)=f(x)+f(2),则f(5)等于()

A.0

B.1

C.

D.5

f(x+2)=f(x)+f(2)中,令x=-1得f(1)=f(-1)+f(2).由于f(1)=,f(x)是奇函数,

所以f(-1)=-,f

(2)=1,

所以f(x+2)=f(x)+1,

故f(5)=f(3)+1=f(1)+1+1=+2=.

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38设函数f(x)=

为奇函数,则实数a=.

f(x)是奇函数,

所以f(-1)=

=0=-f(1)=-=-2(1+a).所以a=-1.当a=-1时,f(x)=

=x-(x≠0),f(x)为奇函数,故

a=-

1.

19已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2

+4x+m,则当x0时,f(x)=.

f(x)是定义域为R的奇函数,

所以f(0)=0,即02+40+m=0,解得m=0,当x≥0时,f(x)=x2+4x.设x0,则-x0,

故f(-x)=(-x)2+4(-x)=x2-4x.

又由于f(-x)=-f(x),

所以当x0时,f(x)=-x2+4

x.

2+4x

10已知奇函数f(x)(x∈R)满意f(x+4)=f(x)+f(2),且f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2016)

等于

.

11已知定义在(-1,1)内的奇函数f(x),在定义域上为减函数,且f(1-a)+f(1-2a)0,求实数a

的取值范围.

f(1-a)+f(1-2a)0,∴f(1-a)-f(1-2a).

∵f(x)是奇函数,∴-f(1-2a)=f(2a-1),

即f(1-a)f(2a-1).

又f(x)在(-1,1)内是减函数,

∴

∴a1.

故a的取值范围是

.★12函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x0时,函数的解析式为f(x)=-1.

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4(1)求f(-1)的值;

(2)求当x0时函数的解析式;

(3)用定义证明f(x)在(0,+∞)内是减函数.

f(x)是偶函数,

所以f(-1)=f(1)=2-1=1.

x0时,-x0,故f(-x)=

-1.由于f(x)为偶函数,

所以当x0时,f(x)=f(-x)=

-1=--1.

x1,x2是(0,+∞)内的任意两个不相等的实数,且0x1x2,

则Δx=x2-x10,Δy=f(x2)-f(x1)=-1-.

由于x1-x20,x1x20,

所以Δy0.

故f(x)=-1在(0,+∞)内是减函数.

★13(1)已知函数f(x),x∈R,若对于任意实数a,b,都有f(a+b)=f(a)+f(b),求证:f(x)为奇函数;

(2)已知函数f(x),x∈R,若对于任意实数x1,x2,都有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)f(x2),求证:f(x)是

偶函数;

(3)设函数f(x)定义在(-l,l)内,求证:f(x)+f(-x)是偶函数,f(x)-f

(-x)是奇函数.

函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.

设a=0,则f(b)=f(0)+f(b),故f(0)=0.

设a=-x,b=x,则f(0)=f(-x)+f(x),

即f(-x)=-f(x).因此,f(x)是奇函数.

(2)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.

设x1=0,x2=x,得f(x)+f(-x)=2f(0)f(x).

①设x1=x,x2=0,得f(x)+f(x)=2f(0)f(x).

②

由①②,得f(-x)=f(x).

故f(x)是偶函数.

(3)由于对任意的x∈(-l,l),也必有-x∈(-l,l),

可见,f(-x)的定义域也是(-l,l).

若设F(x)=f(x)+f(-x),G(x)=f(x)-f(-x),

则F(x)与G(x)的定义域也是(-l,l),明显是关于原点对称的区间.

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