7 静止原子激光器的振荡理论

第7章静止原子激光器的振荡理论固体激光器、半导体激光器以及染料激光器的激活介质粒子是固定不动的，或者其运动速度是可以忽略不计的。这类激光器是静止原子激光器，其介质主要是均匀加宽。7静止原子激光器的振荡理论首先求解二能级原子系综的密度矩阵运动方程，求出非对角元ρab与ρba利用式(5.6.5)得到介质的宏观极化强度(5.6.5)利用激光电磁场方程讨论激光振荡的振幅特性与频率特性。(6.3.47)7静止原子激光器的振荡理论7.1单模振荡7.1.1集居数矩阵的运动方程由大量原子组成的系综，必须根据其激发状态以及工作介质的物理状态，对系综内各种原子的密度矩阵进行统计平均，从而得到集居数矩阵的运动方程。其形式为7静止原子激光器的振荡理论(7.1.1)(7.1.2)(7.1.3)(7.1.4)在单位时间内，由于外界激发而使得上能级的原子数得增加率（a），由于自发辐射或其它弛豫过程使该能级上得原子数目得衰减（-aaa），以及由于受激辐射而使得上能级数目的减少(7.1.1)表示能级a的原子数随时间的变化来源于:7静止原子激光器的振荡理论7.1.2单模振荡的一阶理论对集居数矩阵的运动方程进行具体的求解。先从其中的第三个方程(7.1.3)入手。由于气体中原子弹性碰撞或固体中声子-原子相互作用可以使ρab比对角元的衰减得更快，这样非对角元的总衰减率应为（7.1.3）（3.1.2）式中相——由于毁相碰撞引起的非对角元ρab的衰减率。7静止原子激光器的振荡理论

本节讨论静止原于情形，并且假定腔内只有第n个纵模产生振荡，即式（7.1.3）中的激光场E表示(7.1.5)式中En(t)、n(t)满足兰姆自洽场方程式。场与原子相互作用项为(7.1.6)要解出ρab，必须知道ρaa和ρbb。求ρaa、ρbb又必须知道ρab和ρba。因而无法求出集居数矩阵元的精确解析解，而只能在某些假设条件下求近似解。7静止原子激光器的振荡理论1．一级近似如果λa(z,t0)、λb(z，t0)是时间的慢变化函数，在

a-1和

b-1时间内变化不大，将上而式积分可得对于式(7.1.3),如果不计常数因子，其解为当E(z,t)=0时，式(7.1.1)(7.1.2)两式为(a1)7静止原子激光器的振荡理论N(z)仅是位置的函数，即反转粒子数不随时间而变。这样，在式(a1）中，可将(ρaa-ρbb)视为与时间无关的常数而移出积分号外，然后将式(7.1.5)的En(z,t)代入，得到令(7.1.7)7静止原子激光器的振荡理论假设En(t)、n(t)均为时间的慢变化函数，因此,与它们有关的因子也移出积分号外，完成积分得到由于ω0≈ωn,并且ω0和ωn均显著大于γ，因此上式括号中的第二项与第一项相比可以忽略。略去高频反共振项在电磁共振中称为旋转波近似。于是上式写成7静止原子激光器的振荡理论将上两式代入(7.1.10)一级近似由于ρba=ρab*，所以得到宏观电极化强度（5.6.5）7静止原子激光器的振荡理论(7.1.11)根据(6.3.40)式，可得P(1)(z,t)的空间傅里叶分量为其中(7.1.12)(7.1.13)激活介质的平均反转原子数0000007静止原子激光器的振荡理论将式（7.1.12）与式（6.3.44）比较，得到(7.1.14)(7.1.15)在反转原子数不变的近似下，宏观电极化强度是电场强度的线性函数。下面讨论模的振幅特性和频率特性。将式(7.1.15)代入兰姆自洽场方程式(6.3.47)，得到7静止原子激光器的振荡理论(7.1.16)这是模的振幅所满足的方程．第一项表示在介质内平均反转原子数情况下腔内介质的极化导致振幅的增长。第二项表示由腔内存在的各种损耗机制导致的振幅的衰减。因为光强正比于振幅的平方，所以从式(7.1.16)可知光强的时间增益系数为00(a1)7静止原子激光器的振荡理论可见静止原于的增益系数具有洛仑兹线型，线宽为Δωn=2

，这个结论与经典理论是一致的。Gt(ωn)与单位长度的增益系数g(ωn)有如下关系式中c一光速从式(7.1.16)看出，如果要求激光振荡的振幅随时间增加，而不因腔的损耗按指数衰减，则必须有(7.1.17)07静止原子激光器的振荡理论激光振荡的阈值条件由上式所决定．上式表明，要实现激光运转，激活介质所获得的增益至少应等于各种损耗机制所导致的损耗。当振荡被调谐到谱线中心频率时(ωn=ω0)，对该模，阈值反转原子数由下式给出或(a2)7静止原子激光器的振荡理论可见，谐振腔的Q值越高，介质的能级寿命越长（即越小)，偶极跃迁几率越大，则阈值反转越小，越容易实现激光振荡。从式(7.1.16)还可以着出，当反转原子数超过阈值反转数时，模的振幅按指数增大起来，而且在此近似下，这种增大是无限制的。（？）一级近似中，作了反转原子数不变的假设,因而不能说明饱和效应。所以只能预言激光器的阈值行为，而不能预言激光器在阈值以上是如何自行调整到稳态运转的。

7静止原子激光器的振荡理论模的频率特性如果考虑阈值运转情况，就可以在式(7.1.17)中取等号，解出代入上式得到并略去(7.1.18)(7.1.19)(6.3.47)(7.1.14)7静止原子激光器的振荡理论激光振荡频率n均与腔的共振频率n不一致。当介质工作谱线的中心频率0比振荡频率高(n<0)，由上式看出n>n；如果n>0，则必有n<n

。这说明实际的振荡频率相对于腔的共振频率n而言，总是向中心频率靠近，这正是经典理论所讨论的频率牵引效应。(7.1.19)7静止原子激光器的振荡理论7.1.3单模振荡的三阶近似理论1、二阶近似7静止原子激光器的振荡理论(7.1.1)前面我们从(ρaa-ρbb)与时间无关的条件下，得到非对角元素的一级近似解ρab(1)和ρba(1),讨论了模的振幅特性和频率特性。为了研究阈值以上激光器的行为，必须考虑受激辐射对粒子反转数的影响，这就需要求解集居数矩阵方程中的对角元ρaa和ρbb。从集居数矩阵运动方程(7.1.1）知7静止原子激光器的振荡理论略去以2n为频率的振荡项和分子中含有0-n

的项，则上式中(7.1.26)于是(7.1.20)000007静止原子激光器的振荡理论令对于ρbb

，同样可得到(7.1.20)(7.1.23)(7.1.26)则激光上、下能级的速率方程称R为受激辐射速率参数,它依赖于辐射的强度、两能级间的跃迁几率(正比于D）、两能级间的平均衰减率以及模频率n均到谱线中心频率0的距离00(7.1.27)7静止原子激光器的振荡理论速率方程(7.1.26,27)是在假设(ρaa-ρbb

）不随时间而变的条件下得到的。只要(ρaa-ρbb)随时间的变化相对于

-1来说是慢变化的，就可以将(ρaa-ρbb)提到积分号外，这个近似就称为速率方程近似。这种近似的适用条件是:由泵浦、驰豫(衰减）过程导致粒子数布居的变化同

-1

比是慢变化；同时要求场的强度不能太强，使得受激辐射过程导致粒子反转数的变化同

-1

比也是一种慢变化。7静止原子激光器的振荡理论将式(7.1.26,27）对时间积分，并利用速率方程近似，得到(7.1.25)(7.1.24)称Rs为饱和参量,它是系统趋向饱和快慢的量度。从两式可得：7静止原子激光器的振荡理论当电场强度E=0时,ρaa-ρbb=ρaa(0)-ρbb

(0)

，所以(ρaa-ρbb)的零级近似值就是不存在电场时(ρaa-ρbb)的值。当E0时，随着E的增大，R增大，粒子反转数(ρaa-ρbb)减少，这就是粒子反转数的饱和现象。反转数决定激光介质增益，所以E越强时(即光强越强)，增益就越小，这将使光强增大的速率变慢，从而最终总会使得光强趋于一个稳定值。(7.1.25)(7.1.23)07静止原子激光器的振荡理论R是空间坐标z的周期为n/2的周期函数，所以粒子反转数(ρaa-ρbb)也是z的周期函数。在驻波波腹处，光强最强，R最大，粒子反转数下降得最多；在驻波波节处，光强为零，粒子反转数基本上没有什么变化。

于是粒子反转数相对于z的变化曲线将出现周期性地凹陷，这种现象称为空间烧孔效应，相邻两孔之间距离为1/2波长，如图07静止原子激光器的振荡理论7静止原子激光器的振荡理论2.三阶近似计算积分时仍采用速率方程近似。同求解ρab(1)

时的过程一样，得到（7.1.3）(7.1.25)(d1)(7.1.10)07静止原子激光器的振荡理论假设R/Rs<<1(电场足够小，弱饱和情形）,则N定态可以展成级数。我们取(7.1.25)(7.1.10)(7.1.29)(d2)007静止原子激光器的振荡理论用替换的办法。定义(7.1.14)(7.1.13)(d3)将R、Rs值代入，并利用07静止原子激光器的振荡理论考虑到N(z)是z的慢变化函数，空间高频项的积分为零，完成对式(d3）的积分，有(d4)其中(d5)07静止原子激光器的振荡理论(d6)(7.1.14)其中(7.1.31)000007静止原子激光器的振荡理论同理其中(d7)(7.1.15)(7.1.32)下面讨论振幅特性和频率特性。一种办法是将式(7.1.16)和式(7.1.19)中的换成，再利用式(d4)即可进行具体讨论;0007静止原子激光器的振荡理论再一种办法是将式(7.1.31)和式(7.1.32)代入兰姆方程式(6.3.47)，再利用式(7.1.14)、(7.1.31)、(7.1.15)、(7.1.32)，忽略，就得到模的振幅和频率所满足的方程.即:(7.1.33)(7.1.36)7静止原子激光器的振荡理论(7.1.34)(7.1.37)(7.1.35)其中为无量纲光强线性净时间增益系数自饱和系数线性模牵引系数模推斥系数7静止原子激光器的振荡理论各有关系数表示式如下为无量纲洛伦兹函数

一阶因子

三阶因子

000000007静止原子激光器的振荡理论在场振幅En(t)较小时，右边的第二项可以忽略，一级理论。在n>0时，En指数增加，随着En的增加，

nIn增大，使得En增长率下降，这就是饱和效应。最后在

n=nIn时，En=0达到稳定振荡。将上式两边同乘以EnD2/

ab，可以得到如下形式(7.1.34)利用初始条件In(0)=I0定出常数，最后得到7静止原子激光器的振荡理论上式为无量纲光强随时间的变化规律。最初，对于小的I0，有

nI0<<n

，从上式可见，近似有即在器件开始运转的时刻，腔内光强按指数规律增长。随着时间的推移，

nI0

项逐渐增大，使In(t)的增长速率减慢，最后光强趋向一个稳定值

(7.1.39)(7.1.38)7静止原子激光器的振荡理论时间t是以n

为单位表示的四条曲线自下而上分别对应于

n/n=0.25，0.50，0.75和1.07静止原子激光器的振荡理论式中——谱线中心的阈值反转数。称为相对激发度。由上式可知，In是失谐量(0-n)的函数。将

n与

n的表达式代入式(7.1.39)，可以得到稳态光强的明显表达式

(d8)007静止原子激光器的振荡理论相对激发度自下而上分别取1.05、1.10、1.15和1.20。由图可见，稳态光强在谱线中心处形成高峰，这是因为现在讨论的是静止原子，不可能出现Lamb凹陷的情况。图中所用参数=2×100MHz，

=2×55.55MHz。7静止原子激光器的振荡理论如果用式(d4)表示的代替式(a1)中的，就可得到三级近似情况下光强的时间增益系数在弱饱和下，上式右端中括号中第二项远比1小，可作1-x1/(1+x)近似，这样就得到(a3)007静止原子激光器的振荡理论中心频率处的小信号增益为(a3)其中饱和光强(a5)(a4)(a3)可表示为(a6)7静止原子激光器的振荡理论在稳态时，光强的时间增益系数应等于它的时间损耗系数，即稳态时，应有

(a6)将式(a3)代入，就可得到稳态时光强式(a2)

在n=0时，上式可简化成(a7)(a8)7静止原子激光器的振荡理论当腔内光强增加时，-nIn项起作用，结果使频率牵引减少，所以-nIn

为频率推斥项。推斥的原因是，由于饱和效应，使反转粒子数下降，而由一级近似计算

n时用的是未饱和的反转数，将牵引量估算多了，-nIn正是对此作出的修正。将

n和n的表达式代入式(7.1.37)中，模的频率特性线性模牵引系数模推斥系数(7.1.37)7静止原子激光器的振荡理论在稳态下将得到(d9)其中(d10)稳定因子。表示模的频率移动(相对于无源腔频率)相对于失谐量(0-n)所占的比例数。

(7.1.38)可得

无源腔模的线宽

原子谱线的均匀线宽

00007静止原子激光器的振荡理论典型的S值大约在0.01~0.1范围，说明频率牵引量只是失谐量0-n

的一个很小的分数。由于S<<1，nn，所以常用下式来代替式(d9)

(d11)折射率略去推斥效应，即将一级近似解时S的值代入，注意nn

，就得到(d12)7静止原子激光器的振荡理论上式所表示的折射率与频率的依赖关系如图(d13)7静止原子激光器的振荡理论7.2静止原子激光器的多模运转当有两个模或多个模在一个激光器里振荡时，由于介质的非线性而产生拍频，反转数(aa-bb)会含有频率为模间频率整数倍的脉动。这些变化与原子衰减率相比较一般同样大或者更大一些，因此上节中的速率方程近似可能导致不正确的结果。下面我们采用微扰方法来求解集居数矩阵运动方程。7静止原子激光器的振荡理论1.一级近似在多模振荡时，集居数矩阵运动方程仍为式(7.1.1~4)所表示，只是腔内的电场应为微扰能相应地变为(7.2.1)(d14)反转粒子数的零级近似(E(z,t)=0)(7.2.2)7静止原子激光器的振荡理论并假定E(z,t)、En(t)和的在时间1/

内变化很小，重复上节处理单模时所采用的步骤，可得(7.2.10)若N(z,t)不是位置z的函数，利用{sinkz}的正交性有(7.2.3)007静止原子激光器的振荡理论式(7.2.11）与式（7.1.12)完全相同。由此看出，在一级近似下，若N(z，t)不是位置的函数，Pn(t)只与第n个模的场有关，和其它模无关，各个模的行为彼此独立。这种近似下的理论仅仅适用于阈值情况。(7.2.11)(d15)其中007静止原子激光器的振荡理论2.三级近似将方程(7.2.3）和它的共轭式代入式（7.1.1)中，忽略高频项并积分，可得

若N(z,t‘)、E

(t’)、E(t‘)、、均为t’的慢变化函数，与它们有关的因子可提出积分号外，并将t‘换成t，完成上述积分，可得07静止原子激光器的振荡理论式中(d16)(7.2.4)(7.2.6)7静止原子激光器的振荡理论同理可得(7.2.5)(7.2.4)-(7.2.5)式:7静止原子激光器的振荡理论即：在多模辐射场作用下，反转粒子数的二级修正值以各种纵模之间两两差频（-）波动，这和单模情况是不同的。对非对角元的三级修正时，（aa(2)-bb(2)

）不能提出积分号外，即不能采用速率方程近似，否则这种波动被忽略(7.2.7)7静止原子激光器的振荡理论考虑到ab

的三级近似值，ab应为(7.2.8)将方程(7.2.7）代入式（7.1.3)式，忽略高频项，并考虑N(z,t)、En(t’)、的慢变化特性，完成积分，可得

7静止原子激光器的振荡理论于是宏观极化强度其中(7.2.10)007静止原子激光器的振荡理论相对位相角(7.2.13)(7.2.9)其中7静止原子激光器的振荡理论P(z,t)的空间傅立叶分量为(7.2.12)007静止原子激光器的振荡理论式中表示电极化强度Pn(3)(t)的振幅调制，它是由各个模之间的拍频造成的。(d17)7静止原子激光器的振荡理论的极化场才能对振荡模n作出贡献。这相当于要求腔频满足从物理上可理解为:以纵模差频(-)调制的粒子数反转介质与模作用时,产生频率为(-+)的极化场。考虑到指标、是活动的，因此，介质的极化在两侧产生边带(或边频)，从而可对位于边带附近的第n个模作出贡献。由于谐振腔的Q值很高，谐振宽度c=n/Qn很窄，因而只有满足频率关系(7.2.14)7静止原子激光器的振荡理论即式(d17)中求和的各个指标必须满足式（7.2.14)，才能使n模的极化振幅Pn(t)为时间的慢变化函数。这样，式(d17)中的四个正弦的乘积利用三角函数中的积化和差写为

或波矢满足即指标满足(d18)7静止原子激光器的振荡理论上式共八项。符合条件式(7.2.14)的只有三项7静止原子激光器的振荡理论上式代入（d17），得(7.2.15)(d19)7静止原子激光器的振荡理论当=时，，而当-=1时式中(7.2.16)与介质在腔内的位置有关(7.1.12)Cn(1)(t)与Sn(1)(t)；(7.2.15)Cn(3)(t)与Sn(3)(t)。将Cn(t)=Cn(1)(t)+Cn(3)(t)，Sn(t)=Sn(1)(t)+Sn(3)(t)代入自洽方程可得7静止原子激光器的振荡理论式中n——总饱和系数，其他参数如n、n、F1等均与单模情况的相应参数相同。

(7.2.17)其中(7.2.19)(7.2.18)7静止原子激光器的振荡理论式(7.2.17)与式(7.2.18)中的求和指标必须满足式(7.2.14)。式(7.2.17)和式(7.2.18)为静止原子多模运转时，场的振幅和频率所满足的方程。从振幅方程可以看出，除了包含在单模情况下增益项和饱和项以外，还包含有由极化强度的非线性而产生的模耦合项。由频率所满足的方程可以找出模的自锁条件。

7静止原子激光器的振荡理论7.2.2二模振荡及模竞争nμρσ只能取1或2并满足(7.2.14)

当n=1时,只有1111,1122,1221;n=2时,只有2222,2112,2211,于是(7.2.17)变为7静止原子激光器的振荡理论上两式可简化成7.2.207.2.217.2.22再简化成第一个模和第二个模的线性净增益系数，表7-1交叉饱和系数自饱和系数7.2.237.2.247静止原子激光器的振荡理论交叉饱和系数描写一个模的存在对另一个模饱和强弱的影响。在方程(7.2.23)和方程(7.2.24)中如去掉含有θnm的项，这两个方程就类似于在单模情况下得到的方程。由于交叉饱和项的存在，一个模强度的增加将导致另一个模强度的减小，这就是模竞争效应。7.2.25(n,m=1,2)7静止原子激光器的振荡理论双模振荡时模间的竞争将方程式(7.2.23)两边同乘以

将方程(7.2.24)两边同乘以

得到如下的无量纲光强方程(7.2.26)(7.2.27)在稳态下，，方程为(7.2.28)(7.2.29)7静止原子激光器的振荡理论表示两个模均不能振荡(两个模的净增益系数均为负值)。解是稳定的，但没有实际意义。因为该激光器没有工作。可以获得双模光强的四组稳态解1、I1(s)=I2(s)=0相当于一个单模激光器，因为模式1没振荡，所以不产生模式竞争。或者初始的α1>0，可是由于第二个模的振荡使α1’=α1-α2θ12/β2

减小，致使α1’<0，这样两个模竞争的结果使模1振荡被抑制。2、I1(s)=0，I2(s)=α2/β27静止原子激光器的振荡理论同理，单模振荡。4、3、I2(s)=0，I1(s)=α1/β1(7.2.30)(7.2.31)(7.2.32)C称为耦合系数,它表示两个模之间耦合的强弱7静止原子激光器的振荡理论若一个模其饱和主要由系数β决定，则称之为弱耦合。若其饱和主要由系数θ决定，称之为强藕合。因此双模激光器中，若C>1，属于强耦合；若C<1，为弱耦合；当C=1时为中间耦合。弱耦合模的特性与强耦合模的特性完全不同。如果两个模只有弱耦合，它们之间虽有影响，但都能振荡。如果两模之间为强耦合情况就完全不同，这时一个模的振荡强度的增加，会使另一个模的振荡强度减弱，甚至不能振荡，这就是模间竞争效应。7静止原子激光器的振荡理论所谓稳定性是指在稳态情况下，光强有一点扰动后，是否还能恢复到原来的稳态，这相当于力学中的平衡态的稳定性问题。下面采用扰动分析法来讨论解的稳定性为此我们考虑在稳态解附近有强度的微小起伏，即令如果I1、I2是稳定解，则当t→∞时，应有ε1→0ε2→0，否则就不是稳定的代入(7.2.26)、(7.2.27)略去数量级为ε2的项7静止原子激光器的振荡理论讨论第二组稳态解得稳定性。将I1(s)=0，I2(s)=α2/β2，代入上式得(b1)7静止原子激光器的振荡理论由上式可见：若α1’<0，则t→∞时，有ε1→0。在α2>0时，当t→∞时，ε2→0恒能满足。所以在α1’<0，α2>0时，解I1(s)=0，I2(s)=α2/β2是稳定的。7静止原子激光器的振荡理论由上式可知，若α1>0，但α1’<0，则表示模2的振荡抑制了模1的振荡。如果α1足够大，以致使α1’>0，则模1可以抵制模2的竞争，并建立起振荡，此时ε1将不随时间的推移而趋于零。在这种情况下，I1(s)=0，I2(s)=α2/β2就是不稳定解7静止原子激光器的振荡理论讨论第四组稳态解的稳定性。将(7.2.30-31)代入(b1)写成矩阵形式:式中为稳定矩阵（b2）7静止原子激光器的振荡理论做线性变换使矩阵H对角化，使(b2)变为有如果λ1<0λ2<0则当t→∞时，分别有ε1’→0ε2’→0。因为ε1

、ε2是ε1’和ε2’的线性组合，所以有ε1→0，ε2→0，也即I1(s)和I2(s)是稳定的。7静止原子激光器的振荡理论特征值式中为使λ1,

2<0，须使A>B，即A2>B2

得这就是稳定性的判据(7.2.33)7静止原子激光器的振荡理论2、C>1，α1’<0,α2’<0，不满足，即有稳态解，但不稳定，要产生强烈的竞争，结果必定出现模抑制。强耦合用条件来判断第四组稳态解的稳定性(7.2.30)I1(s)和I2(s)有正解只有两种可能:1、C<1，α1’>0，α2’>0，因此两个模都可能建立稳定振荡。弱耦合7静止原子激光器的振荡理论C=1时θ12θ21=β1β2

，方程(7.2.28)和(7.2.29)表示在以I1、I2为坐标轴的平面上是互相平行的两条直线。在这些线上任意点所表示的强度组合都是稳定的。中性耦合。稳态解为7静止原子激光器的振荡理论表7-2双模方程稳定解的条件中性耦合弱耦合C>1强耦合C=0，无耦合7静止原子激光器的振荡理论7.2.3三模振荡与模式锁定在三个模式振荡时，振幅方程(7.2.17)和频率方程(7.2.18)为：符合条件式(7.2.14)的：当n=1时，只有6项，111、122、133、221、232、331，其中，除Ψ1232≠0外，其他组合位相的Ψ1μθσ均为零。当n=2时，有7项，其中Ψ2123=Ψ2321≠0。当n=3时，有6项，其中Ψ3212≠0。27项(7.2.34)(7.2.35)7静止原子激光器的振荡理论从上式可见,这些非零的组合项并不是无关的,它们可以用一个变量Ψ来表示(7.2.9)因此方程式(7.2.34)和式(7.2.35)的右边第二项可以分成组合位相等于零的项和组合位相不等于零的项。于是得到(7.2.36）无量纲光强(7.2.43)7静止原子激光器的振荡理论式中(7.2.37）(7.2.38）(7.2.39）(7.2.40）(7.2.41）(7.2.42）为频率自推斥(n=m)和交叉牵引或推斥系数7静止原子激光器的振荡理论由于θ11=β1

，所以上式可以具体地写成可见，右边第一项α1是频率为ω1振荡模的线性净增益，第二项是自饱和项，θ12和θ13为互饱和项。最后一项为ω1、ω2

、ω3三个模之间的相互作用引起的饱和效应，通常称它为组合调效应。(7.2.36）7静止原子激光器的振荡理论式(7.2.39)每一项的物理含意是：右边第二项σ1为频率牵引项第三项由三项组成τ11=ρ1为自推斥项，τ12和τ13是由于互饱和效应引起的频率牵引或推斥效应。第四项为组合调效应引起的频率推斥。(7.2.39）7静止原子激光器的振荡理论组合位相Ψ可随时间缓慢地变化，按式(7.2.36)~(7.2.41)，各个纵模的振幅和频率达到稳定的数值后还会以频率波动(7.2.43)即基本上以相邻纵模差频(ω2-ω1)和(ω3-ω2)的差拍频率波动这样运行的多纵模激光器各纵模间的频率和位相没有确定的关系(7.2.44)7静止原子激光器的振荡理论作为各个纵模的叠加，合成瞬时光强随时间作无规的波动，如图所示。在这种情况下，接收器测量到的光强(它是在接收器响应时间之内的平均值）为各纵模强度的简单求和(即非相干叠加)。7静止原子激光器的振荡理论如果纵模数为N，且各纵模强度相等，即En=E0，则总强度为如果采取某种措施，使振荡着的N个纵模互相关联，就是说，设频率等间隔分布，并有固定的相邻纵模位相差，即对所有的n都有各纵模的相干叠加，瞬时光强形成了周期性脉冲序列，如图7静止原子激光器的振荡理论7静止原子激光器的振荡理论脉冲的峰值光强比自由振荡的总强度提高了N倍，即并且脉冲宽度变窄，因此稳定振荡的多模激光器当各纵模频率成等间隔分布并有固定位相关系时，将形成时域中的等间隔的脉冲序列，输出这种现象称为锁模。发生锁模的条件可归纳为(7.2.45)7静止原子激光器的振荡理论实现锁模条件将式(7.2.39)~(7.2.41)代入式(7.2.44)，并考虑到，可得(7.2.46)式中AB=(7.2.50)7静止原子激光器的振荡理论于是锁模条件可表示为：可见实现锁模必须满足条件(7.2.51)(7.2.52)7静止原子激光器的振荡理论三模自锁当将模式E2调谐到谱线中心的频率时，E1和E3模对称分布在中心两侧，因而E1≈E3，ω2-ω1≈ω3-ω2由表7-1可以看出这时σ2=0，ρ2=0，σ1=-σ3，ρ1=-ρ3，由(7.2.19)和(7.2.42)知：τ21=-τ23。可以得出两种自锁状态7静止原子激光器的振荡理论对于其中两个模（如E1和E2

）的相位φ1和φ1，适当选择初始位相，使得于是激光场随时间的变化可表示为上式即表示锁模脉冲，其周期为(7.2.54)(7.2.55)对于第一种自锁状态，有7静止原子激光器的振荡理论这样三个模叠加也能得到周期性脉冲,如图的虚线曲线。对于第二种自锁状态，有(7.2.56)7静止原子激光器的振荡理论后者峰值较前者为低，原因是前者是三个模同位相叠加，而后者并不完全同位相。三模干涉叠加的脉冲波形7静止原子激光器的振荡理论总的说来，若E2模愈是调谐在靠近谱线的中心频率，多纵模的强度愈大，非线性效应愈强，则愈容易锁模。利用激活介质自身的非线性达到自锁，最初在He—Ne激光器中被观察到，之后又在CO2激光器、Ar+激光器以及固体激光器中观察到。但这种自锁是不容易的，要锁定许多纵模使之达到实用要求就更不容易。自锁往住不稳定，各种干扰常使自锁条件破坏并使锁定状态瓦解。因此，自锁实用价值不大。7静止原子激光器的振荡理论对于要求锁模运转的激光器，通常都是在激光器谐振腔内人为地放置调制元件，进行强迫锁模（又分为主动锁模和被动锁模）7静止原子激光器的振荡理论二能级原子系统的薛定谔方程的解令γa=γb=γ(5.5.2）(5.5.4）(5.5.5）(5.5