第1章连续体力学

,.第一章连续体力学思考题1-1在固体的形变中，弹性模量是一个重要的参数。杨氏模量的物理意义是什么？精品文档放心下载答：对于一般的固体材料，若形变不超过一定的限度，应力与相关的应变成谢谢阅读正比。在拉伸应变中＝Yll0其中，比例系数Y称为杨氏模量。弹性模量实际上反映了材料对形变的抵抗能力。在拉伸应变中，杨氏模量反映了材料对拉伸形变的抵抗能力。精品文档放心下载1-2生物材料的应力～应变关系与一般固体的应力～应变关系有什么不谢谢阅读同？答：晶体材料的原子排列很有规则，原子间的键合比较紧密，可以产生较大的应力，杨氏模量一般较高；而生物材料绝大多数是由非均匀材料组成的聚合物，这些聚合物的长链大分子互相纠缠在一起，彼此之间相互作用较弱。当受到外力拉伸时，不仅生物材料的分子本身可以伸长，而且分子之间也容易发生滑动，杨氏模量相对较小。精品文档放心下载1-3液体的表面张力与橡胶弹性膜的收缩力有什么不同？谢谢阅读答：前者来源于分子间的吸引力，后者来源于分子的形变；前者只存在于液谢谢阅读体表面，后者存在于发生应变的弹性膜的整个横截面上。1-4图1-1中表示土壤中的悬着水，其上、下两液面都与大气接触。已知上、下液面的曲率半径分别为R和R谢谢阅读A B(R>R)，水的表面张力系数为，密度感谢阅读 为。问悬着水高度 为多大？,.解：在上液面下取A点，设该点压强为p，在下液面内取B点，设该点压谢谢阅读A强为p。对上液面应用拉普拉斯公式，得BpR20AA对下液面使用拉普拉斯公式，得pp2图1-1土壤中的悬着水0BRB又因为p p ghB A将三式联立求解可得h211RRgAB1-5在自然界中经常会发现一种现象，在傍晚时地面是干燥的，而在清晨时地面却变得湿润了。试解释这种现象的成因。谢谢阅读答：由于水的表面张力系数与温度有关，毛细水上升的高度会随着温度的变化而变化，温度越低，毛细水上升的高度越高。在白天，由于日照的原因，土壤表面的温度较高，土壤表面的水分一方面蒸发加快，另一方面土壤颗粒之间的毛细水会因温度升高而下降，这两方面的原因使土壤表层变得干燥。相反，在夜间，土壤表面的温度较低，而土壤深层的温度变化不大，使得土壤颗粒间的毛细水上升；另一方面，空气中的水汽也会因为温度下降而凝结，从而使得清晨时土壤表层变得较为湿润。谢谢阅读1-6 连续性原理和伯努利方程是根据什么原理推出的？它们的使用条件是谢谢阅读,.什么？如果液体有黏滞性，伯努利方程还能适用吗？答：连续性原理是根据质量守恒原理推出的，连续性原理要求流体的流动是定常流动，并且不可压缩。伯努利方程是根据功能原理推出的，它的使用条件是不考虑流体的黏滞性和可压缩性，同时，还要求流动是定常流动。如果流体具有黏滞性，伯努利方程不能使用，需要加以修正。感谢阅读1-7 在推导连续性原理和伯努利方程时为什么要假定流管的横截面积 S精品文档放心下载很小，所取的变化时间t也很小？其道理何在？答：连续性原理和伯努利方程适用于定常流动，而在定常流动中，空间各点感谢阅读的流速可以不同。因此，如果在推导过程中对流管的横截面不加限制，那么，通精品文档放心下载过流管某一横截面中各点的流速可以不同。若假定了流管的横截面积S很小，精品文档放心下载就可以保证在S上各点的流速都相同。在流体运动过程中，所取的变化时间t也很小，这样才能保证在运动过程中运动速度不变，从而使得功值的计算能够简单地得出。因此，在它们的推导过程中，实际上隐含了两个无限小的思想，如果不这样假定，将无法推出连续性原理和伯努利方程。精品文档放心下载1-8泊肃叶公式和斯托克斯公式的适用条件是什么？答：泊肃叶公式适用于圆形管道中的定常流动，并且流体具有黏滞性。斯托谢谢阅读克斯公式适用于球形物体在黏滞流体中运动速度不太大的情况。精品文档放心下载,.练习题1-1要设计一个最大起重量为8.9×104N的起重机，所用钢丝绳的最小直径感谢阅读应该是多少？（钢的弹性极限为3×108Pa）解：若钢丝绳的半径为r，绳内部某截面上的应力 为感谢阅读ffSr2设钢的弹性极限为e，则达到拉伸极限时fr2e由此解出fre钢丝绳的最小直径为D2r4f48.91041.94cm3.143108e1-2 某人的一条腿骨长为0.4m，横截面积平均为5×10-4m2。用此骨支承谢谢阅读整个体重（相当500N的力），其长度缩短多少？占原长的百分之几？（骨的杨感谢阅读氏模量按1×1010N·m-2计算）解：物体内部某截面上的应力 可以表示为fS在拉伸应变中应力与相关的应变成正比，即,.＝Yll0则lfl5000.44105(m)YS0110105104lf5001040.01%lYS11010510401-3 弹跳蛋白是一种存在于跳蚤的弹跳机构和昆虫的飞翔机构中的弹性蛋精品文档放心下载白，其杨氏模量接近于橡皮。假定有一个截面积为 30cm2的弹跳蛋白，施加谢谢阅读270N的力后其长度为原长的1.5倍，求弹跳蛋白的杨氏模量。感谢阅读解：物体内部某截面上的应力 可以表示为fS在拉伸应变中，应力有如下关系＝Yll0其中，Y为杨氏模量。由上两式可得fl27011.8105(Nm-2)Y030104Sl1.511-4一根不绣钢丝长为3.0m，截面积为0.15cm2。若悬挂一个质量为200kg的重物，钢丝伸长多少？直径缩小多少？已知不绣钢丝的杨氏模量为1.971011Pa，泊松比为0.30。感谢阅读解：设钢丝所受的拉力为F，钢丝的截面积为S，直径为d，纵向应变为，谢谢阅读杨氏模量为Y，由胡克定律＝Yll0,.可得钢丝的伸长量为lFlmgl00其中，m为外挂重物的质量，并已考虑到＝FS。带入数据得长度的伸长量为感谢阅读拉l2009.83.02.0103(m)0.151041.971011由泊松比的定义知bb0其中，b/b为横向应变，为泊松比。于是，钢丝的横向变化量为精品文档放心下载bb4Sl4S0l0带入数据得b0.302.010340.15104(m)8.71073.03.141-5在密度为的液体中沿竖直方向放置一个高为h、底边长为a的三角形平板，板的上边与水面相齐，求此板面所受液体压力的大小（不考虑液面外的大气压）。精品文档放心下载解：建立如图所示的坐标系，在深度为y处取长为l、宽度为dy的液层，液层的面积为dS=ldy，该液层处液体的压强为精品文档放心下载dfgypdS即Oyldfgyldydy由于

hhylh aay即,.lhya练习题4-6用图：竖直平板所受的压力h将其带入上式，得dfgyhyadyh积分得整个板面所受到的压力为fhgyhyady1gah20h61-6 水坝长1.0km，水深5.0m，坡度角60º，求水对坝身的总压力。谢谢阅读解: 设以水坝底部作为高度起点，水坝任一点至底部的距离为h。在h基础谢谢阅读上取微元dh，与之对应的水坝侧面面积元dS（图1-2中阴影面积）应为坡长谢谢阅读dm与坝长l的乘积。dFldhdhdm高线练习题4-7用图,.由图可知dmdhdhsinsin60o水坝侧面的面积元dS为dS=ldm=ldhsin60°该面积元上所受的水压力为dF=pdS=[p+ρg(5-dhh)]l0sin60°水坝所受的总压力为5dF5p0g5hldh7.3108(N)谢谢阅读sin60o0 0（注：若以水坝的上顶点作为高度起点亦可，则新定义的高度h¢=5-h,高度微元取法不变，即dh¢=dh，将h¢与dh¢带入水坝压力积分公式，同样可解出水坝所受压力大小。）谢谢阅读1-7液滴法是测定液体表面张力系数的一种简易方法。将质量为m的待测液体吸入移液管，然后让液体缓缓从移液管下端滴出。可以证精品文档放心下载明，mgnd。其中，n为移液管中液体全部滴尽时的总滴数，d为液滴从管口下落时断口的直径。谢谢阅读请证明这个关系。证明：当液滴从管口下落时，在液滴袋状表面层会形成—个细窄的颈部，如感谢阅读图1-2所示。 图1-2 液滴法测表面张力系数谢谢阅读当液滴逐渐增大，颈部上方液面对下方液面作,.用的表面张力不足以支持液滴的重量时，液滴就会由颈部断裂而下落。假定图中圆围线AB为断裂痕，AB直径d可用移测显微镜测出，AB界线上方液面作用于下方液面的表面张力为谢谢阅读2Rd若移液管中液体全部滴尽时的总滴数为n，每个液滴的重量为感谢阅读PmgnWmgn于是由fP可得mgnd1-8在20平方公里的湖面上下了一场50mm的大雨，雨滴半径为1.0mm。设温度不变，雨水在此温度下的表面张力系数为7.3102Nm-1。求释放出的能量。精品文档放心下载解：设湖的表面积为S，下雨使水面升高了h，下的雨滴数为N。只考虑由谢谢阅读于雨水本身表面积变化而释放的能量E，有E(4r2NS)由于NhS，将其带入上式可得4r333hSESr带入数据得E7.310235010201020106361.01032.18108(J)1-9假定树木的本质部导管为均匀的圆柱形导管，树液完全依靠毛细现象而上升，接触角为45º，树液的表面张力系数5.0102Nm1。问要使树液达到树木的顶部，高为20m的树木所需本质部导管的最大半径为多少?谢谢阅读,.解：由毛细现象的分析可知2cosgr其中为接触角。将已知数据带入，解得r2γcosθ25.0102223.6107(m)ρgh1.01039.8201-10 图1-3是应用虹吸现象从水库引水的示意图。已知虹吸管粗细均匀，其最高点B比水库水面高出h1=3.0m，管口C又比水精品文档放心下载库水面低h2=5.0m，求虹吸管内的流速及B点处的压强(已知大气压为1.013105Pa)。精品文档放心下载解：（1）设A为水库中水面上一点，对A点和C点使用伯努利方程可写出感谢阅读p1v2ghp1v2gh图1-3习题1-10用图A2AAC2CC取C点为基准，h0，由于水库水面下降很小，v0，ppp（p为大气压），hCAAC00h，上式即可简化为A21v2gh22C由此解得v2gh29.85.09.9(m)C2（2）对B点和C点使用伯努利方程，可写出p1v2ghp1v2ghB2BBC2CC取C点为基准，h0，vv，hhh，pp，上式化为CBCB12C0pg(hh)pB120即ppg(hh)1.0131051039.8(3.05.0)2.3104(Pa)B012,.1-11 一个大水池水深H＝10m，在水面下h＝3m处的侧壁开一个小孔，感谢阅读问(1)从小孔射出的水流在池底的水平射程R是多少?(2)h为多少时射程最远?感谢阅读最远射程为多少?解：（1）设水池表面压强为p、流速为v、高度为h，小孔处压强为p、感谢阅读流速为v、高度为h，由伯努利方1程可写出11222p1v2ghp1v2gh12112222根据题中条件可知ppp、v0、hhh，于是，由上式可得120112v22gh又由运动学方程Hh12gt2可解出2(Hh)tg则水平射程为Rvt2gh2(Hh)4h(Hh)2g带入数据解得R 4h(Hh) 43(103)9.17(m)谢谢阅读（2）根据极值条件，在ddRh0时，R出现最大值，即谢谢阅读H2h0Hhh2R出现最大值。由此解出h=5m时，R出现最大值，此时R=10m。谢谢阅读1-12 欲用内径为1cm的细水管将地面上内径为2cm的粗水管中的水引到感谢阅读,.5m高的楼上。已知粗水管中的水压为4×105Pa，流速为4m·s－1。若忽略水的谢谢阅读黏滞性，问楼上细水管中的流速和压强分别为多少？解：由连续性原理vSvS1 1 2 2解出细水管出口处的流速为v2vS42102216ms-1112S11022再根据伯努利方程p1v2ghp1v2gh精品文档放心下载1 2 1 1 2 2 2 2可知细水管出口处的压强p2为pp1vgh1vgh,2222211122带入已知数据，解得2.3105(Pa)21-13下面是一个测定农药、叶肥等液体黏滞系数的简易方法。在一个宽大精品文档放心下载玻璃容器底部连接一根水平的细玻璃管，测定单位时间内由细管流出的液体质量感谢阅读即可知 。若已知细管内直径d=0.1cm，细管长l＝10cm，容器内液面高感谢阅读h=5cm，液体密度为1.9×103kg·m－3，测得1min内自细管流出的液体质量感谢阅读m=0.66×10-3kg，问该液体的 为多少？解：由泊肃叶流量公式可知qvR4pp）R4gh21又由,.Vmtt由上两式可得2tR4gh8lm带入已知数据，可解出102603.140.110241.939.851022η8101020.661030.04(Pas)1-14 设动脉血管的内半径为 4.0103m，流过该血管的血液流量为感谢阅读1.0106m3s－1，血液的黏滞系数为3.5103Pa·s。求：（1）血液的平均流速；（2）谢谢阅读血管中心的最大流速；（3）如果血管长度为0.1m，维持这段血管中血液流动所精品文档放心下载需要的功率为多大？解：（1）平均流速为vq1061.99102(ms1)Sv(4103)2（2） 221.991023.98102（m·s-1）感谢阅读m（3）选取r~r+dr的圆筒形流层，设流层的流速为v、流层两端的压强分别为p和p，该层流体流动时所需的功率为12dP(p12其中，速率v由泊肃叶速度方程给出：pv（14l2）(R2r2)于是，整个血管内的血液流动时所需要的功率为PRpppp2r20124lR4pp2128l,.再将泊肃叶流量方程qvR4pp）21带入上式可得8lq2PV443.1410R43即3.48106(W)由本例题可看出，黏滞系数越大，压强差就越大，功率也就越大．有些疾病可使血液的黏滞系数增加至正常值的几倍以上，这将迫使心脏要做更多的功才能维持正常的血液循环，从而诱发高血压和心脏病。感谢阅读1-15如果液体的黏滞系数较大，可采用沉降法测定液体的黏滞系数。现使一个密度为2.55×103kg·m－3、直径为6mm的玻璃球在甘油中由静止落下，测得小球的收尾速度为3.1cm·s-1。已知甘油的密度为1.26×103kg·m－3，问甘油的谢谢阅读黏滞系数为多少?解：用沉降法测黏滞系数时92(v0)gr2T带入已知数据，解得20gr29vT22.551.261039.831032精品文档放心下载93.11020.82(Pas),.1-16沉降法也可用于测定土壤颗粒的大小。若已知20℃时土粒密度为2.65×103kg·m－3，水的密度为9.98×102kg·m－3，水的黏滞系数为1.005×10－3Pa·s,谢谢阅读土粒在水中匀速下降0.15m时所需的时间为67s。土粒的半径为多少?精品文档放心下载解：土粒沉降平衡时v 2(0)gr2T 9 考虑到v St，由此可解出r为Tr9S2gt0其中，S为土粒在水中匀速下降的距离，t为沉降时间。将已知数据带入上式可解感谢阅读得91.