高等代数§18-复系数与实系数多项式的因式分解课件

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§1.8复系数与实系数多项式的因式分解一、复系数多项式1、代数基本定理定理1每个次数的复系数多项式在复数域中有一根.§1.8复系数与实系数一、复系数多项式1、代数基本定理定理推论1若则存在

使得即,每个次数的复系数多项式在复数域上必有一次因式.推论2复数域上不可约多项式只有一次多项式.即若则可约.推论12、复系数多项式因式分解定理定理2

若则在复数域上可唯一分解成一次因式的乘积.推论3

若则在上具有标准分解式其中是不同的复数，

推论4每个次复系数多项式恰有个根(重根按重数计算).2、复系数多项式因式分解定理定理2若3、韦达定理定理3设有个复根,则3、韦达定理定理3设有个复根,二、实系数多项式命题1若是实系数多项式的复根,则的共轭复数也是的根.两边取共轭有

∴也是为复根．

证：设若为的根，则即,二、实系数多项式命题1若是实系数多项式的复命题2实系数不可约多项式只能是一次多项式和某些二次多项式.证:设是实系数不可约多项式.若下证即可.由代数基本定理,存在复根

则

也是的根,即注意到(否则,,则在上存在一次因式,这与实不可约相矛盾.)所以,命题2实系数不可约多项式只能是一次多项式和某些二次多项式又实不可约且所以是二次多项式.实系数多项式因式分解定理，若,则可唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积．

定理4(实系数多项式因式分解定理)又实不可约且所以其中不可约多项式.

推论5设则在

上具有标准分解式且，即为上的其中不可约多项式.推论5设则例

求在上与在上的标准分解式.

1)在复数范围内有n个复根，

解：∴

这里例求在上与在上的标准分解式.1)

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