第2讲三角变换与解三角形

,.三角变换与解三角形考情解读1.高考中常考查三角恒等变换有关公式的变形使用，常和同角三角函数的关系、诱导公结合精品文档放心下载2.利用正弦定理或余弦定理解三角形或判断三角形的形状、求值等，经常和三角恒等变换结精品文档放心下载合进行综合考查．1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ. (2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓精品文档放心下载sinαsinβ.tanα±tanβ(3)tan(α±β)＝1∓tanαtanβ.谢谢阅读2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα. (2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1精品文档放心下载－2sin2α.2tanα(3)tan2α＝1－tan2α.3．三角恒等式的证明方法(1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简．(2)等式的两边同时变形为同一个式谢谢阅读子．(3)将式子变形后再证明．4．正弦定理a b csinA＝sinB＝sinC＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．精品文档放心下载变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.谢谢阅读,.a b csinA＝2R，sinB＝2R，sinC＝2R.感谢阅读a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.5．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.b2＋c2－a2a2＋c2－b2a2＋b2－c2推论：cosA＝，cosB＝，cosC＝2ab.2bc2ac变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，a2＋c2－b2＝2accosB，感谢阅读a2＋b2－c2＝2abcosC.1116．面积公式S＝bcsinA＝acsinB＝absinC.△ABC2227．解三角形(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一．精品文档放心下载(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解．(4)已知三边，利用余弦定理求解．热点一三角变换π43π2π例1(1)已知sin(α＋3)＋sinα＝－5，－2<α<0，则cos(α＋3)等于()43A．－5B．－543C.5D.510(2)(2013·浙江)已知α∈R，sinα＋2cosα＝2，则tan2α等于(),.4334思维启迪(1)利用和角公式化简已知式子，和cos(α＋2π)A.B.C．－D．－34433进行比较．“切化弦”；平方；降次．思维升华 (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，谢谢阅读三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与精品文档放心下载恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的精品文档放心下载变换，防止出现张冠李戴的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角谢谢阅读的范围尽量缩小，避免产生增解．π设函数f(x)＝cos(2x＋3)＋sin2x.(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；θ cos2θ(2)若θ是第二象限角，且f(2)＝0，求1＋cos2θ－sin2θ的值．谢谢阅读热点二解三角形例1、完成考前11页的考向1和2；（分小组完成）谢谢阅读例2．(2014·江苏)若△ABC的内角满足sin感谢阅读

A＋

2sin

B＝2sin

C，则cos

C的最小值是________．,.cosB 2a例3 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足a＝2sinA，cosC＋c＋精品文档放心下载bc＝0.(1)求边c的大小；(2)求△ABC面积的最大值．cosB 2a b思维启迪 (1)将cosC＋c＋c＝0中的边化成角，然后利用和差公式求cosC，进而求c.(2)感谢阅读a＋b－c2只需求ab的最大值，可利用cosC＝222ab和基本不等式求解．,.思维升华 三角形问题的求解一般是从两个角度，即从“角”或从“边”进行转化突感谢阅读破，实现“边”或“角”的统一，问题便可突破．几种常见变形：(1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；感谢阅读(2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，其中R为△ABC外接圆的半径；精品文档放心下载(3)sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC.感谢阅读A－B例4．已知角A、B、C是△ABC的三个内角，若向量m＝(1－cos(A＋B)，cos感谢阅读

2

)，n＝5 A－B(，cos)，且8 2

9m·n＝8.(1)求tanAtanB的值；absinC(2)求a2＋b2－c2的最大值．5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，q＝(2a,1)，p＝(2b－c，cosC)，精品文档放心下载且q∥p.,.(1)求sinA的值；－2cos2C(2)求三角函数式1＋tanC＋1的取值范围．感谢阅读热点三正、余弦定理的实际应用例1 (2013·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A处下 山至C处精品文档放心下载有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从 A沿索道乘感谢阅读缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，精品文档放心下载速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B精品文档放心下载匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测谢谢阅读,.12cosA＝13，3cosC＝5.(1)求索道AB的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？谢谢阅读(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？感谢阅读思维升华求解三角形的实际问题，首先要准确理解题意，分清已知与所求，关注应用题中的有关专业名词、术语，如方位角、俯角等；其次根据题意画出其示意图，示意图起着关键的作用；再次将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识建立数学模型，从而正确求解，演算过程要简练，计算要准确；最后作答．精品文档放心下载变式训练1如图，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A地侦察发现，在南偏感谢阅读60°方向的B地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C地行驶，企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民．此时，C地位于中国海监船的南偏东45°方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C地救援我国渔民，能不能及时赶到？(2≈感谢阅读,.1.41， 3≈1.73， 6≈2.45)1．求解恒等变换问题的基本思路一角二名三结构，即用化归转化思想“去异求同”的过程，具体分析如下：谢谢阅读(1)首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变换形式，角的变换是三角函数变换的感谢阅读核心．(2)其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”．(3)再次观察代数式的结构特点．2．解三角形的两个关键点(1)正、余弦定理是实现三角形中边角互化的依据，注意定理的灵活变形，如a＝2RsinA，感谢阅读asinA＝2R(其中2R为三角形外接圆的直径)，a2＋b2－c2＝2abcosC等，灵活根据条件感谢阅读求解三角形中的边与角．(2)三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“三角形的内角和等于π”感谢阅读和诱导公式可得到sin(A＋B)＝sinC，sinA＋BC2＝cos2等，利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题等．,.3．利用正弦定理、余弦定理解决实际问题的关键是如何将实际问题转化为数学问题，抽象精品文档放心下载出三角形模型．(推荐时间：60分钟)一、选择题1．(2014·浙江)为了得到函数y＝sin3x＋cos3x的图象，可以将函数y＝ 2cos3x的图谢谢阅读象( )π πA．向右平移4个单位 B．向左平移4个单位π πC．向右平移12个单位 D．向左平移12个单位ππ32．已知α∈(2，π)，sin(α＋4)＝5，则cosα等于( )感谢阅读272A．－10B.1027272C．－10或10D．－10sinC53．在△ABC中，若sinA＝3，b2－a2＝2ac，则cosB的值为( )精品文档放心下载11A.3B.211C.5D.44．(2013·陕西)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝精品文档放心下载asinA，则△ABC的形状为( )A．锐角三角形 B．直角三角形,.C．钝角三角形D．不确定2－3→→15．已知△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且tanB＝a2－b2＋c2，BC·BA＝2，则tanB等于()3A.2B.3－1C．2D．2－3二、填空题π1π2sin2α＋sin2α6．已知tanα＋＝，且－<α<0，则＝________.422πcosα－47．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2－c2＝2b，且sinAcosC感谢阅读＝3cosAsinC，则b＝________.精品文档放心下载π π 1 4 π8．已知0<α<2<β<π，cos(β－4)＝3，sin(α＋β)＝5，则cos(α＋4)＝________.谢谢阅读9．如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处感谢阅读看索道AC，发现张角∠ABC＝120°；从B处攀登400米到达D处，回头看索道AC，发现精品文档放心下载张角∠ADC＝150°；从D处再攀登800米方到达C处，则索道AC