第006章-连续系统的振动课件

第6章连续系统的振动§6.1一维波动方程§6.2梁的弯曲振动§6.3假设模态法§6.4模态法综合法§6.5有限元法§6.6梁弯曲振动的一些特殊影响因素第6章连续系统的振动1第6章连续系统的振动可以用有限个自由度精确描述的系统称为集中参数系统或离散系统，前面几章学习的都是这种系统，其力学模型由一些具有单一力学特性的元件（集中参数元件）构成，如质点、刚性质量、纯弹性件和阻尼器等，有很多实际系统近似为集中参数系统。但大部分实际系统，理论上说不能用有限个自由度精确描述其力学行为，比如一根梁就是如此；其力学模型只能用一些场参数来描述，如几何形状、温度分布、质量分布、杨氏模量等，其力学行为也只能用一些场参数来描述，如位移场、速度场等，因此这类系统称为分布参数系统或连续系统。本章以一维分布参数系统为例，介绍振动分析的一些解析方法以及近似分析方法（即用一个集中参数系统来近似替代）。第6章连续系统的振动可以用有限个自由度精确描述的系统2§6.1一维波动方程

1.动力学方程（1）杆的纵向振动如图，如果杆中各质点的振动方向平行于杆的轴线，称杆作纵向振动。只研究细长杆，可假设振动中杆横截面保持为平面。(6.1)设杆横截面的运动位移为u(x,t),取杆微元dx，分析如下：§6.1一维波动方程

1.动力学方程（1）杆3（2）直弦的横向振动（微振动）研究张紧直弦的振动，设弦的横向挠度为y(x,t)，忽略振动中张力和长度变化。取如图6.2弦微元dx，分析如下：形如(6.1)的方程称为一维波动方程。FFdxqxyO图6.2弦的横向振动形如(6.1)的方程称为一维波动方程。FFdxqxyO图6.4(6.2)(6.2)5（3）轴的扭转振动只有等截面圆轴的弹性扭转符合平面假设，可以推出精确的波动方程。设轴横截面的扭转角为q(x,t)，取如图圆轴单元dx，分析如下：(6.3)轴单元的转动惯量图6.3轴的扭转振动xdxqx（3）轴的扭转振动(6.3)轴单元的图6.3轴的扭转振动6（4）杆的剪切振动设杆横截面的剪切运动位移为y

(x,t)，取如图杆单元dx，分析如下：(6.4)（4）杆的剪切振动(6.4)72.波动方程的模态以上得到的一维波动方程，如方程（6.1），为二阶线性偏微分方程，可以用分离变量法求得解析解。令方程左边是时间的函数，而右边是空间坐标的函数，因此左右边只能都等于一个常数，设为l

这是两个单变量常微分方程，第一个方程的两个基本解为(6.5)代入（6.1），得2.波动方程的模态以上得到的一维波动方程，如方程（68得两个方程的通解为所以，波动方程度通解为(6.6)其中D1，D2和A这三个积分常数已经合并成两个常数C1，C2。下面来讨论(6.6)式中的积分常数的确定问题。式中有4个积分常数，它们为这些积分常数需要用初始条件和边界条件来确定。为此，我们重新考察波动方程得两个方程的通解为所以，波动方程度通解为(6.6)其中D1，9这个方程，关于时间变量t和空间变量x的导数均为二阶，因此，对时间变量积分，会出现两个积分常数，对空间变量积分也会出现两个积分常数。进而，确定这4个积分常数，分别需要用两个初始条件和两个边界条件。我们先来应用边界条件。比如两端简支梁，其边界条件为由(6.6)式，得(6.7a)这个方程，关于时间变量t和空间变量x的导数均为二阶，10方程（6.7a）称为系统的频率方程或特征方程。以上方程必须有非零解，否则，C1=C2=0，振动恒为零，讨论就没有意义了。因此，方程左边的矩阵行列式必须为零，得频率方程为由此可以确定参数w。将任一个确定的w值代入方程（6.7a）后，可知参数C1、C2中只能确定一个，另一个可以取任何非零值（即待定）。因此，应用边界条件后，通解（6.6）中还有两个待定常数，需要由初始条件来确定。(6.7b)由以上讨论可知，我们也可以将时间函数q(t)和空间函数f(x)写为方程（6.7a）称为系统的频率方程或特征方程。以上方程必须有11我们顺便讨论一下无限长杆中的纵向波。由于杆为无限长，没有边界条件，因此，杆中形成的初始振动将随时间和空间无耗散地不断变化。波动方程在无限长杆中的一个解可以写为如下形式图6.5t1t2t3这样，我们可以将关于u(x，t)的边界条件转换为关于空间函数f

(x)的边界条件。我们顺便讨论一下无限长杆中的纵向波。由于杆为无12举例：如图，设纵振动杆两端固定，则边界条件为l两端固定的杆其波形如图6.5，变化过程是整个空间波形以速度a向右移动，因此参数a称为波的传播速度（波速）或相速度。因此，前面的几种物理模型中，波的传播速度为常值。举例：如图，设纵振动杆两端固定，则边界条件为l两端固定的杆其13就是两端固支杆纵向振动的固有频率和振型函数（模态），而且有无穷多个。与集中参数系统一样，模态在连续系统的振动分析中也有中心的地位，所起的作用也类似。就是两端固支杆纵向振动的固有频率和振型函数（模态），而且有无14由于横振弦、纵振杆和扭振轴有相同的波动方程，它们的运动具有相同的规律，常见边界条件下的模态如下表：边界条件两端固支两端自由一端固定一端自由固有频率振型函数由于横振弦、纵振杆和扭振轴有相同的波动方程，它们的运动具15例6.1一端固定、自由端有集中质量m。求杆纵振动的固有频率和模态函数。lOESmx例6.1图解：固定端的边界条件是显然的，为为了写出自由端的边界条件，参见图a。由集中质量的力平衡，可得右端边界条件为图(a)集中质量和杆端的受力l例6.1一端固定、自由端有集中质量m16以上第一个边界条件是由杆端的几何约束给出的，称为几何边界条件，第二个边界条件是由杆端的力平衡条件给出的，称为力边界条件。当杆作模态振动时，有由此，前面的两个边界条件变为将（6.6）式代入上式，得以上第一个边界条件是由杆端的几何约束给出的，称为几何边界条件17解：边界条件为代入一维波动方程的通解(6.6)，得

例6.2求图示纵振杆的模态。例6.2图ES，lkx解：边界条件为代入一维波动方程的通解(6.6)，得18因此，给一个b就可求出对应的固有频率w

i；而与各个w

i相应的振型函数为1.229246e+0004.493409e+0007.725251e+0001.090412e+0011.406619e+0011.722075e+001D()0.5p1.5p2.5p3.5p4.5p5.5p因此，给一个b就可求出对应的固有频率wi；而与各19

例6.3一长为l的弦，单位长度的质量为r，弦中张力为T，左端固定，右端连接于另一弹簧质量系统的质量m上，m只能作上下微振动，其平衡位置即在y=0处，如图所示。求此弦横向振动的频率方程。（在振动过程中，弦的张力T视为不变）解：由（6.6）式，弦振动微分方程的解为(a)mklxyO例6.3图Tqm(a)例6.3一长为l的弦，单位长度的质量为20其中

x=0处的边界条件为由此得参见图a，由质量m的力平衡，可得x=l处的边界条件为由于m只能作微振动，所以(b)其中x=0处的边界条件为由此得21于是，得(c)将式（b）代入（a），再将结果代入（c），可得频率方程或其中于是，得(c)将式（b）代入（a），再将结果代入（c），可得22§6.2梁的弯曲振动

1.动力学方程本节只研究细直梁，并且不考虑梁横截面的剪切变形和绕中性轴转动惯量的影响。这样的梁理论称为Bernoulli-Euler梁理论，即垂直于中性轴的平截面在梁的弯曲过程中始终保持平面，且垂直于弯曲后的中性轴。OxxydxMFSf(x,t)dx图6.6梁的弯曲振动§6.2梁的弯曲振动

1.动力学方程本节只23如图，设梁的横向位移为y(x,t)，取梁微元dx，分析如下：(6.8)如图，设梁的横向位移为y(x,t)，取梁微元dx，分24代入(6.8)式，得控制微分方程为(6.10)若为等截面均质梁，控制微分方程为(6.9)顺便讨论一下无限长的梁中简谐波的传播问题。设梁中有传播的简谐波代入(6.8)式，得控制微分方程为(6.10)若为等截面均质25代入(6.10)并令f=0，得现在波速已不是常值，它随波动频率的增长而无穷增长（或随波数的增长而无穷增长），这显然是不符合实际的。因为当波动频率达到一定值时，梁的横向波传播速度可以超过最快的光波的波速。由此可知，Bernoulli-Euler梁模型用于梁的高频振动分析是不准确的。代入(6.10)并令f=0，得现在波速已不是常值，262.梁的模态讨论等截面均质梁自由振动。振动微分方程为我们仍然用分离变量法来解。设(6.11)代入方程，得所以2.梁的模态讨论等截面均质梁自由振动。振动微分方程为27以上第一个方程的解为(6.12)以上第二个方程的解设为得到关于l的特征方程为(6.13)对(6.11)应用边界条件就得到梁的固有频率和振型函数。以上第一个方程的解为(6.12)以上第二个方程的解设为得到关28表6.1等截面梁的弯曲振动边界条件频率方程特征根bnl振型函数fn(x)简支－简支固定－自由自由－自由固定－固定简支－自由固定－简支表6.1等截面梁的弯曲振动边界条件频率方程特征根bn29例6.4梁的一端固定，另一端自由端但有集中质量m。求梁横向振动的频率方程。例6.4图OEI,

rlmxlym图(a)解：梁横向振动的通解为：其中(a)例6.4梁的一端固定，另一端自由端但有30应用左端边界条件右端边界条件为将（b）式代入（a）式后，得得(b)即(d)将（c）式代入边界条件（d）式，得(c)应用左端边界条件右端边界条31(e)(f)方程组（e）、（f）的非零解条件，得频率方程为(e)(f)方程组（e）、（f）的非零解条件，得频率方程为32例6.5梁一端固定，另一端为弹性支承。求梁横向振动的频率方程。解：梁横向振动的通解为：例6.5图OEI,

rlxylk图(a)(a)例6.5梁一端固定，另一端为弹性支承。求33其中应用左端边界条件将（b）式代入（a）式后，得得(b)右端边界条件为即(d)(c)其中应用左端边界条件将（b）式代入（a）式34将方程（c）和（d）与前例（例6.4）的方程方程（c）和（d）比较可见，只要在将前例中的mw2换成k，则两种情况的方程完全相同。因此，只需在前例的结果中将mw2换成k，就得到本例的结果。所以频率方程为将方程（c）和（d）与前例（例6.4）的方程方程（c）和（d35解：将梁分成两段，对各段建立如图坐标系。根据(6.13)式，两段梁的振型函数可写为边界条件：(a1,a2)(b1,b2)由(a1)、(b1)两式，得l1l2rl,EIx1y1x2y2例6.6图

例6.6求图示连续梁横向振动的频率方程。解：将梁分成两段，对各段建立如图坐标系。根据(6.13)36(c)同理，由(a2)、(b2)两式，得(d)再应用两段梁对接处的协调条件：(e)(f)(c)同理，由(a2)、(b2)两式，得(d)再应用两段梁对37(c)、(d)、(e)、(f)四式是关于待定未知常数的线性方程组，写成矩阵形式为方程必须有非零解，故有运算后得频率方程为：(c)、(d)、(e)、(f)四式是关于待定未知常数的线性383.模态函数的正交性讨论正交性时，不必涉及振型函数的具体形式，所以我们按一般方程(6.9)的齐次形式来讨论。(6.14)设(6.14)在一定的边界条件下，任意两个模态的固有频率为w

i、w

j，振型函数为fi(x)、fj(x)

，于是由(6.15)有(6.15)(6.16)(6.17)3.模态函数的正交性讨论正交性时，不必涉及振型函数的39(6.18)(6.19)(6.18)(6.19)40两个积分式相减，得梁两端的边界条件通常为固定、铰支和自由，对这三种情况任意组合，上式右端都等于零，即(6.20)由(3.21)和(3.18)（或(3.19)），并考虑以上三种边界条件，得(6.22)(6.21)两个积分式相减，得梁两端的边界条件通常为固定、铰支和自由，对41(6.21)和(6.22)就是振型函数的正交性表达式，具体说：振型函数关于梁的质量线密度正交，振型函数的二阶导数关于弯曲刚度正交。下面考察梁的一端为特殊边界的正交性：（1）当梁的l端为弹性支承时，边界条件为当i=j时，(3.20)自动满足。记下列积分为分别称为第i阶主质量（模态质量）和主刚度（模态刚度）。也可将模态正则化，正则化后的正交性表达式为代入(6.20)和(6.19)，可得(6.21)和(6.22)就是振型函数的正交性表达式，具体说42（2）当梁的l端有附加质量时，边界条件为代入(6.20)和(6.19)，可得(6.24)4.模态叠加法现在来求梁的强迫振动解。设(6.23)(6.25)（2）当梁的l端有附加质量时，边界条件为代入(6.20)43(6.9)代入方程(6.9)，(6.26)方程(6.26)的解法已经很熟悉不再赘述。(6.9)代入方程(6.9)，(6.26)方程(6.26)的44

例6.7图示简支粱在其中点受到力P作用而产生静变形，求当力P突然取消后梁的响应。PlEI，rlxy例6.7图解：由于简支粱是左右对称结构，且力P作用在梁的纵向对称点上，所以它只激发梁的各阶对称模态。于是，该简支粱在初始条件下的响应表达式为其中而需要由初始条件确定。(a)例6.7图示简支粱在其中点受到力P45因为t=0时，梁处于静态挠曲线状态，故有(b)(c)将（a）式的一阶导数代入（c）式，有由此得(d)因为t=0时，梁处于静态挠曲线状态，故46将（d）式代入（a）式、令t=0，有

为了确定Cn，将上式两边同乘，再沿梁全长积分，利用振型的正交性，得(e)将（b）式代入（e）式，并考虑到模态的对称性，得将（d）式代入（a）式、令t=0，有为47(f)将（d）、（f）代入（a），即得响应(f)将（d）、（f）代入（a），即得响应48

例6.8不变的集中力P沿梁以匀速度v移动，求梁的横向振动响应。设初始时力P在梁的左端。解：梁的振动微分方程为例6.8图lxyPx0EI，rl其中为Diracd函数。设方程的解为(b)例6.8不变的集中力P沿梁以匀速度49将（b）代入（a）后，方程两边同乘，再沿梁全长积分，利用振型的正交性和d函数的性质，得(c)其中方程（c）的解为将（b）代入（a）后，方程两边同乘，再沿梁全长积分，利用振型50利用初始条件解出Cn、Dn后，可得梁的响应为利用初始条件解出Cn、Dn后，可得梁的51§6.3假设模态法应用模态叠加法需要知道精确的模态，但实际复杂系统很难求出精确的模态，所以在近似法中，广泛采用一些更为实用的函数来构造近似解。这时，不一定要求这些函数满足系统的运动微分方程，但它们必须具备方程中所用到的各阶导数，并且满足适当的边界条件。其中满足全部边界条件的函数称为比较函数（comparisonfunctions）;而那些只满足几何边界条件的函数，称为容许函数（admissiblefunctions）。这时，一维弹性体问题的解可近似地表示为(6.25)这种处理问题的方法，实际上就是Ritz缩聚方法。§6.3假设模态法应用模态叠加法需要知道精确的模态52这样就把无限自由度的分布参数问题转化成了有限自由度问题，因此可以用离散系统的各种建模方法建立系统的运动微分方程。我们用Lagrange方程。梁本身的动能为这样就把无限自由度的分布参数问题转化成了有限自由度问题，53写成矩阵形式为(6.26)当梁上含有集中质量m时，如图6.13,相应的附加动能为因此(6.26)中质量矩阵的各元素应写为写成矩阵形式为(6.26)当梁上含有集中质量m时，如图54第006章-连续系统的振动ppt课件55梁本身的势能为写成矩阵形式为(6.27)梁本身的势能为写成矩阵形式为(6.27)56当梁上含有弹性支承时，如图6.13，附加的势能为因此(6.27)中刚度矩阵的各元素应写为当梁上含有弹性支承时，如图6.13，附加的势能为因此(657设梁上受到分布力f(x,t)和集中力F(xc,t)，则对应的虚功为其中：(6.28)设梁上受到分布力f(x,t)和集中力F(xc,t58将动能、势能和广义力代入Lagrange方程，得(6.39)问题归结为上一章学过的多自由度系统。kkxyl例6.9图

例6.9如图所示为两端弹性支承的梁。求：

（1）假设一阶振型为则系统可以等价为单自由度系统。用Rayleigh商法求出系统的固有频率。（2）b取何值时，Rayleigh商最接近于基频。将动能、势能和广义力代入Lagrange方程，得(6.39)59则系统的动能与势能为解：（1）设系统的振动为则系统的动能与势能为解：（1）设系统的振动为60令，则最大动能和最大势能为：由，得其中令，则最大动能和最大势能为：由，得其中61（2）令，得此即b的最佳取值。

例6.10图示均质悬臂梁，长为l，厚度为b，截面积A按直线规律变化：用假设模态法（Ritz法）求系统的第一和第二阶固有频率。例6.10图lxO（2）令，得此即b的最佳取值。例6.1062解：设振型函数为这个假设振型函数同时满足几何与力边界条件。截面惯性矩为为了求第一和第二阶固有频率w1、w2，取i=1,2，有解：设振型函数为这个假设振型函数同时满足几何63所以，离散系统质量矩阵元素为：所以，离散系统质量矩阵元素为：64离散系统刚度矩阵元素为：离散系统刚度矩阵元素为：65离散系统的自由振动方程为：所以，特征方程为将矩阵元素代入上式，可得频率方程为解得离散系统的自由振动方程为：所以，特征方程为将矩阵元素代入上式66

例6.11如图所示均质等截面悬臂梁，自由端有集中质量m，基础按已知规律yb(t)沿垂直于粱的方向运动。假设粱的振动为其中为梁的假设模态。建立系统关于广义坐标的振动方程。（不考虑重力的影响）例6.11图xylm例6.11如图所示均质等截面悬臂梁，自由67解：系统的动能为（注意xy为平动坐标系）解：系统的动能为（注意xy为平动坐标系）68其中系统的势能为其中将动能和势能代人Lagrange方程，得系统的振动方程为其中系统的势能为其中将动能和势能代人Lagrange方程69§6.4模态法综合法从原理上说，假设模态法也适合于复杂结构的振动分析，问题是很难找到整个结构的假设模态。为了克服这一困难，人们设法将一个复杂结构分解成若干个较简单的子结构，对于这些子结构，比较容易找到它们的假设模态。然后根据对接面上保持位移协调（或者再加上内力协调）的条件，把这些子结构装配成总体结构。也就是说，我们利用各个子结构的假设模态来综合总体结构的振动模态，因此这一方法称为模态综合法。模态综合法已形成比较完整的理论体系，其中演变出了多种处理方法。下面用一个简单例子说明这一方法的基本思想。图6.14为一直角梁结构，由两根完全相同的细直梁焊接而成。现在将结构分割为两根简单梁，一根为悬臂梁，另一根为自由梁。分别取坐标系O1x1y1和O2x2y2，梁的振动位移用u1(x1,t),y1(x1,t),u2(x2,t)和y2(x2,t)表示，利用每根梁的假设模态，这些振动位移可表示为§6.4模态法综合法从原理上说，假设模态法也适合于70图6.14ll12PNMO2y2x2u22O1y1u1x1MPN1图6.14ll12PNMO2y2x2u22O1y1u1x1M71(6.40)其中各个假设模态取为(6.41)(6.40)其中各个假设模态取为(6.41)72其中f1(x1)、f2(x2)是悬臂梁弯曲振动的容许函数；f3(x2)是自由梁纵振刚体模态，f4(x2)是铰支－自由梁的刚体转动模态，而f5(x2)则是悬臂梁的弯曲振动的容许函数。系统的动能为因为对接面上要满足位移协调（或者再加上内力协调）的条件，因此各个广义坐标z

i(t)是不独立的。约束条件为(6.42)(6.43)其中f1(x1)、f2(x2)是悬臂梁弯曲振动的容73代入(6.40)、(6.41)，得因此，5个坐标中只有两个是独立的，取z1、z2作为独立变量，并令代入(6.40)、(6.41)，得因此，5个坐标中只有两个74则得老坐标（不独立）与新坐标（独立）之间的变换（约束）关系为系统的动能和势能用独立坐标表示为(6.44)现在我们已经得到了用独立广义坐标表示的、整体结构的动能和势能，应用Lagrange方程，得(6.45)(6.46)则得老坐标（不独立）与新坐标（独立）之间的变换（约束）关系为75数值计算结果如下：(6.47)数值计算结果如下：(6.47)76固有频率、振型为再用(6.44)式可回到子结构坐标，进一步用(6.40)式可算出原结构各处的振动位移。固有频率、振型为再用(6.44)式可回到子结构坐标，进一步用77§6.5有限元法假定结构被分割成只在有限个节点处相互连接的离散单元体系，通过计算每个单元的特性并将它们适当地叠加，就可求得整个结构的特性。实际上，有限元法的基本思想与模态综合法是一样的，只是有限元法所取的子结构为单元，而单元可取得比较小，取法也更灵活，单元还可以分类，因此一个结构往往只要取几类（甚至一类）单元就可将其离散。由此可以编制出大型通用有限元程序。本节只给出杆、梁结构的相关结果。（1）杆的纵振动单元形函数的选取原则和方法，可参考有限元法专著。对于杆的纵振动，形函数取为(6.48)§6.5有限元法假定结构被分割成只在有限个节点处相78形函数假设好后，可以有多种途径来建立单元刚度和质量矩阵，我们直接借用假设模态法中思想方法。(6.49)图6.15形函数假设好后，可以有多种途径来建立单元刚度和质量矩阵，我们79对应于单元节点位移的广义力阵（节点力阵）由虚功来计算：(6.50)有了单元特性后，再按一定原则将所有单元特性装配成整体结构的特性。可以用虚功方程、Hamilton原理或Lagrange方程进行装配，不再赘述。(6.51)对应于单元节点位移的广义力阵（节点力阵）由虚功来计算：(6.80（2）梁弯曲振动的单元特性单元的节点位移列阵为：如图所示。位移插值模式图6.16梁单元的形函数（2）梁弯曲振动的单元特性如图所示。位移插值模式图6.181可以算得单元质量、刚度矩阵为对应于单元节点位移的广义力阵（节点力阵）：(6.52)(6.53)(6.54)可以算得单元质量、刚度矩阵为对应于单元节点位移的广义力阵（节82§6.6梁弯曲振动的一些特殊影响因素

1.轴力的影响轴力作用下的梁微元dx如图6.17。图6.17§6.6梁弯曲振动的一些特殊影响因素

1.83(6.55)轴力对梁横向振动的影响表现在对梁的刚度的影响，我们先用有限元特性来说明这一点（在后面例6.12中再作准确的理论解释）。对轴力作用的等截面均质梁，其单元质量、刚度矩阵与前面推出的(6.52)、(6.53)式相同，唯一的差别是现在轴力要产生广义力，参见图6.18，可知对应的虚功为（请同学们完成以上方程的推导！）由梁微元的力平衡、矩平衡方程，以及弯矩与挠度的关系，可以推得梁的控制微分方程为(6.55)轴力对梁横向振动的影响表现在对梁的刚度的影响84图6.18挠曲线图6.18挠曲线85而由图6.18所示的位移相似三角形关系，可得由此得将此代人虚功表达式，并应用梁单元的形函数，得所以，广义力向量为而由图6.18所示的位移相似三角形关系，可得由此得将此代人虚86因此，对于有轴力作用的梁，其总的单元刚度矩阵可用组合单元刚度矩阵表示：(6.56)(6.57)由推导过程可知，当NT>0时，KG

半正定，由此根据(6.57)推知，当梁受轴向压力时，梁的整体刚度下降，反之则增加。因此，对于有轴力作用的梁，其总的单元刚度矩阵可用组合单元87

例6.12一直梁置于连续的弹性基础上，两端简支，受常压轴向力作用。梁单位长度的质量为rl，抗弯刚度为EI，弹性基础的分布刚性系数为k。导出梁的振动微分方程，并求固有频率。yxNNl例6.12图解：梁微元d

x上受到基础的弹性力为该弹性力当挠度y为正时，方向向下；即，它与梁微元的惯性力方向相同。因此，只需将它以惯性力的方式加到方程（6.55）中，就可得到本题的梁的振动微分方程，为(1)例6.12一直梁置于连续的弹性基础上，88设方程的解为代入方程（1），得令(2)(2)式变为(3)其解为(4)设方程的解为代入方程（1），得令(2)(2)式变为(3)其89其中利用边界条件：得由此得其中利用边界条件：得由此得90和(6)(7)写成矩阵形式为(8)(5)由非零解条件，得因为，所以，频率方程为(9)将（9）式代入（6）或（7）式，得和(6)(7)写成矩阵形式为(8)(5)由非零解条件，得因为91(10)将（5）、（10）代入（4）式，得到梁的振型函数为由（9）式解得(11)所以，梁的振型函数和固有频率为(12)下面对这一结果进行分析。(10)将（5）、（10）代入（4）式，得到梁的振型函数为由92

结果分析：（1）置于弹性基础上、受轴向力作用的简支粱，其振型函数与纯粹的简支粱相同。（2）当k=0时，以上结果就是受轴向压力作用的简支粱的结果，可见轴向压力总是使梁的固有频率减小，也就是使梁的弯曲刚度减小。（3）当N=0时，以上结果就是弹性基础上的简支粱的结果，可见弹性基础总是使梁的固有频率增大，也就是使梁的弯曲刚度增大。（4）当N=0、k=0时，就变为纯粹简支粱，固有频率为与以前得到的结果一致。结果分析：（1）置于弹性基础932.剪力和转动惯量的影响(a)(b)(c)(d)图6.19Bernoulli-Euler梁理论中忽略了截面剪力和转动惯量。忽略截面剪力便产生平截面假设，而忽略转动惯量将使梁中的梁的振动波传播速度可以随波动频率的增大而达到无穷大，因此在分析高频振动时，会使结果严重失真。下面介绍考虑截面剪力和转动惯量的Timoshenko梁理论。图6.19表示横截面在剪力作用下，发生翘曲的定性分析。我们取图6.20所示的梁微元dx进行分析。Timoshenko梁微元的受力与Euler理论相同，但变形2.剪力和转动惯量的影响(a)(b)(c)(d)图6.194图6.20Timoshenko梁模型的微元分析(a)挠曲线(b)挠曲线截面法线梁截面图6.20Timoshenko梁模型的微元分析(a)挠95后的截面已不垂直于挠曲线，截面的法线与未变形挠曲线的夹角用一个新的独立参量

y来表示，而变形后挠曲线的转角仍为y/x，如图6.20(b)所示。因此，现在描述梁的弯曲变形有两个