湖北省黄冈市黄梅县蔡山第一中学2022-2023学年高三数学理下学期期末试卷含解析

湖北省黄冈市黄梅县蔡山第一中学2022-2023学年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）＝，若数列{an}满足an＝f（n）（n∈N﹡），且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．[，3） B．（，3） C．（2，3） D．（1，3）参考答案：C【解答】解：根据题意，an＝f（n）＝；要使{an}是递增数列，必有；解可得，2＜a＜3；2.在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，PA=PC=2，AC中点为M，cos∠PMB=，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A． B．2π C．6π D．π参考答案：C【考点】球的体积和表面积．【分析】利用条件，判断AB，PB，BC互相垂直，可得三棱锥的外接球的直径，即可求出三棱锥的外接球的表面积．【解答】解：由题意，AC=2，BM=1，PM=，∵cos∠PMB=，∴PB=，∴AB，PB，BC互相垂直，∴三棱锥的外接球的直径为，∴三棱锥的外接球的表面积为=6π，故选C．3.已知数列的各项均为正数，满足：对于所有，有，其中表示数列的前项和．则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C4.若非零向量的夹角为，且，则的夹角为

（

）

A．0

B．

C．

D．参考答案：D5.设D是函数定义域内的一个区间，若存在,使，则称是在区间D上的一个“k阶不动点”，若函数在区间[1,4]上存在“3阶不动点”，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．(－∞,0] 参考答案：A6.已知命题：，使得，则为A．，总有

B．，使得C．，总有

D．，使得参考答案：C7.把分别标有数字1,2,3,4,5,6的六个不同小球放入甲、乙、丙三个盒子中，要求每个盒子放入两个小球，1号球不能放入甲盒子，2号球不能放入乙盒子.则不同的放球方法数是（

）A．24

B.

30

C.

36

D.

42参考答案：D8.用数学归纳法证明：“,在验证n＝1时，左端计算所得的项为(

)A．1

B．

C．

D．参考答案：C9.为促进社会和谐发展，儿童的健康已经引起人们的高度重视。某幼儿园对本园“大班”的100名儿童的体重做了测量，并根据所的数据画出了频率分布直方图如图所示，则体重在18—20千克的儿童人数为

A．15

B．25

C．30

D．75参考答案：A10.一个盒子里有6只好晶体管,4只坏晶体管,任取两次,每次取一只,每次取后不放回,则若已知第一只是好的,则第二只也是好的概率为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如右图所示的程序框图，运行后输出的结果是

.参考答案：30略12.已知正整数n不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的n的个数是___________.参考答案：6首项为a为的连续k个正整数之和为

．

由Sk≤2000，可得60≤k≤62．

当k=60时，Sk=60a+30×59，由Sk≤2000，可得a≤3，故Sk=1830,1890,1950；

当k=61时，Sk=61a+30×61，由Sk≤2000，可得a≤2，故Sk=1891，1952；

当k=62时，Sk=62a+31×61，由Sk≤2000，可得a≤1，故Sk=1953．

于是，题中的n有6个．13.已知△ABC外接圆O的半径为2，且，，则______.参考答案：12【分析】由可知，点是线段的中点，是外接圆的圆心，可以判断是以为斜边的直角三角形，又，可得,,利用向量数量积的定义求出的值.【详解】因为，所以点是线段的中点，是外接圆的圆心，因此是以为斜边的直角三角形，又因为，所以,因此,，所以【点睛】本题考查了平面向量的加法几何意义、考查了平面向量数量积运用，解题的关键是对形状的判断.14.设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中．若，则的值为

．参考答案：－10

15.函数的定义域为________．参考答案：16.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为（），曲线C在点（2，）处的切线为l，以极点为坐标原点，以极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则l的直角坐标方程为

▲

.参考答案：17.已知正三棱柱ABC—A1B1C1的高为6，AB＝4，点D为棱BB1的中点，则四棱锥C—A1ABD的表面积是________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)已知O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，＝t1＋t2.(1)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线；(2)若t1＝a2，求当⊥且△ABM的面积为12时a的值．参考答案：解：(1)证明：当t1＝1时，由(1)知＝(4t2,4t2＋2)．∵＝－＝(4,4)，＝－＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2，∴不论t2为何实数，A、B、M三点共线．(2)当t1＝a2时，＝(4t2,4t2＋2a2)．又∵＝(4,4)，⊥，∴4t2×4＋(4t2＋2a2)×4＝0，∴t2＝－a2.∴＝(－a2，a2)．又∵||＝4，点M到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝＝|a2－1|.∵S△ABM＝12，∴||·d＝×4×|a2－1|＝12，解得a＝±2，故所求a的值为±2.19.已知曲线C：为参数，0≤<2π)，（Ⅰ）将曲线化为普通方程；（Ⅱ）求出该曲线在以直角坐标系原点为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程．参考答案：（Ⅰ）

…

5分（Ⅱ）20.已知函数.(1)讨论极值点的个数；(2)若是的一个极值点，且，证明:.参考答案：(1)当时，无极值点；当时，有1个极值点；当或时，有2个极值点；(2)证明见解析【分析】（1）求导得到；分别在、、和四种情况下根据的符号确定的单调性，根据极值点定义得到每种情况下极值点的个数；（2）由（1）的结论和可求得，从而得到，代入函数解析式可得；令可将化为关于的函数，利用导数可求得的单调性，从而得到，进而得到结论.【详解】（1）①当时，当时，；当时，在上单调递减；在上单调递增为的唯一极小值点，无极大值点，即此时极值点个数为：个②当时，令，解得：，⑴当时，和时，；时，在，上单调递增；在上单调递减为的极大值点，为的极小值点，即极值点个数为：个⑵当时，，此时恒成立且不恒为在上单调递增，无极值点，即极值点个数为：个⑶当时，和时，；时，在，上单调递增；在上单调递减为的极大值点，为的极小值点，即极值点个数为：个综上所述：当时，无极值点；当时，有个极值点；当或时，有个极值点（2）由（1）知，若是的一个极值点，则又，即

令，则

，则当时，，当时，；当时，在上单调递增；在上单调递减，即

【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用问题，涉及到利用导数讨论函数极值点的个数、证明不等式的问题；本题中证明不等式的关键是能够通过换元的方式将转化为关于的函数，利用导数求得函数最值之后即可证得结论；易错点是换元时忽略自变量的取值范围，导致定义域错误.21.（13分）在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．参考答案：（1）x2=4y；（2）存在M.（Ⅰ）∵⊙Q过M、F、O三点，∴Q一定在线段FO的中垂线上，∵抛物线x2=2py的焦点F（0，），O（0，0）∴FO的中垂线为：y=，设Q（xQ，yQ），得，结合抛物线的定义，得Q到抛物线C的准线的距离为，解之得p=2由此可得，抛物线C的方程为x2=4y（Ⅱ）设存在点M（），抛物线化成二次函数：y=x2，对函数求导数，得，得切线MQ：，由（1）知，yQ=，所以对MQ方程令，得∴Q（），结合|MQ|=|OQ|得：，解之得，得M所以存在M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M．22.