机械制图第三章-基本体及立体表面交线课件

第三章基本体及立体表面交线

第三章基本体及立体表面交线

任何立体都是由表面（平面或曲面）所围成。单一的几何立体称为基本体。表面全部为平面的立体称为平面立体，如棱柱、棱锥、棱台等。表面为曲面或既有曲面又有平面的立体称为曲面立体，常见的曲面立体是回转体，如圆柱、圆锥、球和圆环等，如图3-1所示。第一节平面立体的投影

任何立体都是由表面（平面或曲面）所围成。第一节平面立体的投

常见的基本立体平面立体曲面立体棱柱棱锥圆柱圆锥圆球圆环图3-1常见基本体常见的基本立体平面立体曲面立体棱柱棱锥圆柱圆锥圆球圆环图3

表面全部由平面围成的立体，称为平面立体。平面立体上相邻表面的交线称为棱线。

平面立体主要分为棱柱和棱锥两种。

立体的投影图是立体各表面同面投影的总和。绘制平面立体的投影就是绘制它所有多边形表面的投影，即绘制这些多边形的边和顶点的投影。

注意：当轮廓线的投影为可见时，画粗实线；不可见时，画细虚线；当粗实线与细虚线重合时，应画粗实线。表面全部由平面围成的立体，称为平面立体。平面一、棱柱

棱柱由两个底面和若干个侧棱面组成，底面为多边形，侧棱线互相平行（侧棱面与侧棱面的交线称为侧棱线）。侧棱线与底面垂直的称为直棱柱，常见的棱柱有三棱柱、四棱柱、六棱柱等。

一、棱柱

棱柱由两个底面和若干个侧棱面组成，底面为多边形，侧1.棱柱的投影分析

图示所示为一个正六棱柱，它的上、下底面为正六边形，放置成平行于H面，并使其前后两个侧面平行于V面。图3-2正六棱柱的投影1.棱柱的投影分析

图示所示为一个正六棱柱，它的上、下底面水平投影为正六边形，反映顶面和底面实形。正面投影为三个矩形线框，侧面投影为两个矩形线框图3-3正六棱柱的投影分析水平投影为正六边形，反映顶面和底面实形。正面投影为三个矩形线

如果某个投影的图形对称，则应该画出对称中心线。在投影图中，当多种图线发生重叠时，则应按粗实线、虚线、点画线等顺序优先绘制。

1.棱柱的作图

图3-4正六棱柱的投影作图如果某个投影的图形对称，则应该画出对称中心线。

1.棱柱的投影特征：

一面投影为多边形，其边是各棱面的积聚性投影；另两面投影均为一个或多个矩形线框拼成的矩形框。

图3-5棱柱的投影示例棱柱的投影特征：图3-5棱柱的投影示例

二、棱锥

棱锥的底面为多边形，各侧面均为三角形且具有公共的顶点，即为棱锥的锥顶。棱锥到底面的距离为棱锥的高。ASBC图3-6三棱锥

二、棱锥

棱锥的底面为多边形，各侧面均为三角形

1.棱锥的投影分析

该图是一正三棱锥，锥顶为S，底面为正三角形ABC，三个侧面为全等的等腰三角形。ASBC图3-7正三棱锥

1.棱锥的投影分析

该图是一正三棱锥，锥顶为S

2.

棱锥作图：

由于底面△ABC为水平面，所以水平投影△abc反映底面实形，正面和侧面投影分别积聚成平行X轴和Y轴的直线段a’b’c’和a"b"c"。abc

s

s

b

a(c)b

a

cs图3-8正三棱锥的投影2.棱锥作图：由于底面△ABC为水棱锥的投影特征：

一面投影是共顶点的三角形拼合成的多边形；另两面投影均为共顶点的三角形拼合成的三角形，其底边重合于一条线。图3-9常见棱锥和平面体的投影示例棱锥的投影特征：图3-9常见棱锥和平面体的投影示例三、平面立体表面上取点

1.棱柱表面上的点

棱柱体表面上取点和平面上取点的方法相同。图3-10棱柱体表面上取点三、平面立体表面上取点

1.棱柱表面上的点

棱柱abc()

sk

k

s

b

a(c)b

a

cn

n

k

nASBC

2.棱锥表面上的点

图3-11棱锥体表面上的点abc()skksba((a)(b)图3-12棱锥体表面上取点(a)(c)(d)图3-12棱锥体表面上取点(c)第二节回转体的投影

表面由平面与曲面围成，或全部由曲面围成的立体称为曲面立体。

常见曲面是回转面，它是由一直线或曲线以一定直线为轴线回转形成。由回转曲面组成的立体，称回转体，如圆柱体、圆锥体、球体等。图3-13回转体的形成第二节回转体的投影表面由平面与曲面围成，或一、圆柱体圆柱体是由顶面、底面和圆柱面所组成。圆柱面上任意一条平行于轴线的直线，称为圆柱面的素线。图3-14圆柱体的投影分析一、圆柱体圆柱体是由顶面、底面和圆柱面所组成。图3-141.圆柱体的投影分析当圆柱体的轴线垂直于H面时，水平投影为一圆，圆周是圆柱面的积聚性投影。该圆柱体的正面投影为矩形。矩形的上、下边线是圆柱体顶面和底面的积聚性投影，圆柱面上最外的两条素线轮廓素线。轮廓素线是圆柱面可见与不可见的分界线。

1.圆柱体的投影分析当圆柱体的轴线垂直于H面时，水平投影为2.圆柱的作图

画圆柱体投影时，一般先画出轴线和圆的中心线及投影为圆的那个投影，然后画出其余投影。图3-15圆柱体的三视图2.圆柱的作图画圆柱体投影时，一般先画出轴线和圆的中(a)

(b)*轮廓素线与圆柱体的对应图3-16圆柱体的轮廓素线分析(a)已知圆柱表面上点M、N的正面投影，求作它们的水平及侧面投影。3.圆柱面上取点图3-17圆柱体表面取点、取线已知圆柱表面上点M、N的正面投影，求作它们的水平及侧图3-18常见圆柱的三面投影示例图3-18常见圆柱的三面投影示例二、圆锥体

圆锥面是由一直母线绕着与它相交的轴线旋转而成。在圆锥面上通过锥顶S的任一直线称为圆锥面的素线。

圆锥体由圆锥面和底面所围成。图3-19圆锥体的形成及三面投影二、圆锥体圆锥面是由一直母线绕着与它相交的轴线旋转而1.

圆锥体的投影分析图3-20圆锥体的投影分析1.

圆锥体的投影分析图3-20圆锥体的投影分析

该圆锥体的v和w投影为全等的等腰三角形。两腰分别是圆锥面上各轮廓素线的投影。

H面投影为圆。

画圆锥体投影时，一般先画出轴线和圆的中心线及投影为圆的那个投影，然后画出其余投影。2.

圆锥体的作图图3-21圆锥体的三视图析该圆锥体的v和w投影为全等的等腰三角形。两腰分3.圆锥体表面上的点

因为圆锥面在三个投影面上的投影都没有积聚性，所以必须用作辅助线的方法实现在圆锥体表面上取点。作辅助线的方法有两种：

（1）素线法

（2）纬圆法

3.圆锥体表面上的点因为圆锥面在三个投影面上辅助素线法。已知圆锥表面上点K的正面投影k′，求作其水平投影k和侧面投影k"。图3-21圆锥体表面取点辅助素线法。已知圆锥表面上点K的正面投影k′，求作其水平投影(b)(2)辅助纬圆法。图3-22圆锥体表面取点(b)(2)辅助纬圆法。图3-22圆锥体表面取点图3-23常见圆锥的三面投影示例图3-23常见圆锥的三面投影示例三、圆球

球面是由母线圆（或半圆）绕其直径旋转而成。图3-24圆球的形成三、圆球球面是由母线圆（或半圆）绕其直径旋转而成。图31.圆球的投影分析

圆球的三面投影均为与其直径相等的圆。它们分别是球三个不同方向的轮廓圆的投影。图3-25圆球的投影分析1.圆球的投影分析圆球的三面投影均为与其直径相等的(c)(c)AB(C)(b)

cbbaaa2.圆球的作图注意：轮廓线的投影与曲面可见性的判断3.圆球面上的点辅助圆法圆的半径？提示：圆球辅助圆可选用正平圆、水平圆或侧平圆。图3-26圆球表面取点(c)(c)AB(C)(b)cbbaaa2.(a)(b)(c)图3-27圆球表面上取点(a)图3-28常见圆球的三面投影示例图3-28常见圆球的三面投影示例四、圆环

圆环的表面由环面构成。

图3-29圆环的形成及三面投影四、圆环圆环的表面由环面构成。图3-29圆环的形成图3-30常见圆环的三面投影示例图3-30常见圆环的三面投影示例第三节平面与立体相交第三节平面与立体相交

截切立体的平面称为截平面，截平面与立体表面的交线叫截交线，截交线所围成的截面图形称为截断面或断面，如图3-31所示。截平面可以是一个（图3-31a），也可以是两个以上的截平面，这样截平面不仅与立体有交线，还与其它截平面有交线，如图（3-31b）所示。一、截交线

立体被平面截切所形成的立体称为截切体。

截切立体的平面称为截平面，截平面与立体表面的交线叫截

（a）图3-31截交线的概念（b）

1.截交线的性质1）共有性:截交线为平面与立体表面的共有线，即交线上的每一点均为截平面与立体表面的共有点；2）封闭性：立体的表面是封闭的，因此与截平面的交线也是封闭的平面图形。2.截交线的形状截交线的形状取决于立体的几何性质及其与截平面的相对位置，通常为直线线框、曲线线框或直线与曲线组成的线框。1.截交线的性质

二、平面与平面立体的截交线平面与平面立体相交，其截交线是一封闭的直线线框。根据平面截切平面立体的性质可知，求平面立体截交线的投影，实际上就是求截平面与平面立体各棱线交点的投影，或是求截平面与平面立体表面交线的投影。

二、平面与平面立体的截交线作截交线的步骤：1.补全基本体的三面投影，理解基本体的投影关系；2.分析截平面具有积聚性投影的端点和分点（截平面与基本体投影的交点），并判断其可见性，找点时充分利用面的积聚性；3.依次连接各点,判断立体的存在域。

作截交线的步骤：图3-32完成切割三棱锥的三面投影【例3-1】完成图3-32（a）所示截切正三棱锥的三面投影。（1）补画完整三棱锥的三面投影，如图3-32（b）所示，理解正面投影中s’a’、s’b’、s’c’各为一条棱线。图3-32完成切割三棱锥的三面投影【例3-1】完成图图3-32完成切割三棱锥的三面投影

（2）分析P面在正面投影积聚成线的端点和分点，端点1’、3’分别是截平面P与棱线s’a’、s’c’的交点，而s’a’、s’c’各为一条棱线，因此两端点各为一点；分点2’是截平面P与棱线s’b’的交点，s’b’是一条棱线，所以分点为一点。如图3-32（c）所示。图3-32完成切割三棱锥的三面投影（2）分析P面图3-32完成切割三棱锥的三面投影（3）依次连接各点，判断切割体的存在域，SⅠ、SⅡ、SⅢ被正垂面切割，按可见性整理轮廓线，依次连接Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ点的同面投影，这样就完成了切割三棱锥的三面投影，如图3-32（d）所示。图3-32完成切割三棱锥的三面投影（3）依次连接各点，判【例3-2】完成图3-33（a）所示截切正六棱柱的三面投影。图3-33完成切割六棱柱的三面投影（1）补画六棱柱的侧面投影，如图3-33（a）所示，理解正面投影中的四条纵向线，左右纵向线各为一条棱线，而中间的两条纵向线各表示两条棱线。【例3-2】完成图3-33（a）所示截切正六棱柱的三面投图3-33完成切割六棱柱的三面投影（2）分析P面在正面投影中积聚成线的端点和分点。如图3-33（b）所示。图3-33完成切割六棱柱的三面投影（2）分析P面在正图3-33完成切割六棱柱的三面投影

分析正面投影里Q面具有积聚性投影的端点（无分点），如图3-33（c）所示。图3-33完成切割六棱柱的三面投影分析正面投影图3-33完成切割六棱柱的三面投影（3）依次连接各点的同面投影。由于六棱柱的右棱线没被切到，其侧面投影不可见，因此1″以上为虚线，1″以下的实线为左棱线，如图3-33（d）所示。图3-33完成切割六棱柱的三面投影（3）依次连接各第四节平面与回转体相交第四节平面与回转体相交

平面与回转体相交，其截交线是一封闭的线框。截交线的形状取决于回转面的形状及截平面与回转面轴线的相对位置，一般为平面曲线线框、直线与曲线构成的平面线框、直线线框。当截平面与回转体轴线垂直时，截交线均为圆。

求回转面截交线的步骤：（1）画出回转体的三面投影，理解回转体的投影关系，特别是回转面的转向轮廓线，并且分析截平面与回转体轴线的相对位置，了解截交线的形状；（2）分析截平面的积聚性投影的特殊点和一般点。找点时，充分利用积聚性，并判断其可见性；（3）光滑连接各点，并判断立体的存在域。

平面与回转体相交，其截交线是一封闭的线框。截交1.平面与圆柱的截交线当平面与圆柱的轴线平行、垂直、倾斜时，产生的截交线分别是矩形、圆、椭圆，如表3-1所示。1.平面与圆柱的截交线表3-1平面与圆柱的截交线表3-1平面与圆柱的截交线【例3-3】完成图3-34（a）所示截切圆柱的侧面投影。图3-34完成开槽圆柱的三视图【例3-3】完成图3-34（a）所示截切圆柱的侧面投影。图3-34完成开槽圆柱的三视图图3-34完成开槽圆柱的三视图【例3-4】完成图3-35（a）所示截切圆柱的侧面投影。图3-35完成斜切圆柱的侧面投影【例3-4】完成图3-35（a）所示截切圆柱的侧面投影。图3-35完成斜切圆柱的侧面投影图3-35完成斜切圆柱的侧面投影2.平面与圆锥的截交线

根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，平面截切圆锥所形成的截交线有五种：三角形、圆、椭圆、抛物线和双曲线，如表3-2所示。

2.平面与圆锥的截交线

根据截平面与圆锥轴线表3-2平面与圆锥的截交线表3-2平面与圆锥的截交线【例3-5】完成图3-36（a）所示截切圆锥的三面投影。图3-36完成截切圆锥的三面投影（1）补画圆锥的侧面投影，如图3-36（a）所示，理解正面投影中点画线是圆锥的侧面转向轮廓线（两条）。【例3-5】完成图3-36（a）所示截切圆锥的三面投影。图3-36完成截切圆锥的三面投影（2）分析截交线的特殊点，如图3-36（b）所示。图3-36完成截切圆锥的三面投影（2）分析截交线的特殊点图3-36完成截切圆锥的三面投影

分析截交线的一般点，如图3-36（c）所示。图3-36完成截切圆锥的三面投影分析截交线的一般图3-36完成截切圆锥的三面投影

（3）依次光滑连接各点，判断存在域。如图3-36（d）所示。图3-36完成截切圆锥的三面投影（3）依次光滑连接各

3.平面与圆球的截交线圆球被任何位置的平面截切，其截交线都是圆。由于截平面相对于投影面的位置不同，截交线的投影可能是圆、椭圆或直线。截平面平行于投影面时，截交线在该投影面上的投影为圆；

截平面垂直于投影面时，在该投影面上的投影为直线；截平面倾斜于投影面时，在该投影面上的投影为椭圆。

3.平面与圆球的截交线·图3-37平面与圆球的交线

当截平面平行于投影面时，截交线在该投影面上的投影为圆，如图3-37所示的俯视图，当截平面垂直于投影面时，在该投影面上的投影为直线如图3-37所示的主、左视图·图3-37平面与圆球的交线当截平面图3-38垂直于投影面的截平面与圆球相交当截平面倾斜于投影面时，在该投影面上的投影为椭圆，如图3-38所示的俯、左视图。图3-38垂直于投影面的截平面与圆球相交当截平【例3-6】完成图3-39（a）所示截切圆球的三面投影。图3-39切割圆球的投影（1）补画完整圆球的水平投影和侧面投影，如图3-39（a）。【例3-6】完成图3-39（a）所示截切圆球的三面投影。图图3-39切割圆球的投影

（2）画出三个截平面截切产生的交线。

画出截平面P截切产生的交线。如图3-39（b）。图3-39切割圆球的投影（2）画出三个截平面截切产生

画出侧平面Q截切产生的交线，如图3-39（c）。图3-39切割圆球的投影画出侧平面Q截切产生的交线，如图3-39（c）。图3图3-39切割圆球的投影（3）判断存在域。如图3-39（d）所示。图3-39切割圆球的投影（3）判断存在域。如图3-39（d【例3-7】已知复合回转体的正面和侧面投影，如图3-40（b）所示，求该立体水平投影。（1）补画完整复合回转体的水平投影，如图3-40（b）。图3-40复合回转体截交线的画法（a）（b）【例3-7】已知复合回转体的正面和侧面投影，如图3图3-40复合回转体截交线的画法（2）画出两个截平面截切产生的交线。求水平面Q截切产生的交线：水平面的三面投影为一框（水平投影）两线（正面、侧面投影）。a）Q面截切圆锥：Q是水平面且平行于圆锥轴线，截交线的水平投影为双曲线（由表3-2可知），如图3-40（c）所示。

图3-40复合回转体截交线的画法（2）画出两个截平面b)Q面截切圆柱：Q是水平面且平行于圆柱轴线，截交线的水平投影为矩形（由表3-1可知）。Q面的侧面投影与圆的交点2’’、3’’，由此可得2、3的投影，矩形的宽为2、3之间的距离，长为圆柱的长，如图3-40（d）所示。图3-40复合回转体截交线的画法b)Q面截切圆柱：Q是水平面且平行于圆柱轴线，截交图3-40复合回转体截交线的画法c)Q面截切大圆柱：与切圆柱同理，矩形的宽为点6、7之间的距离，如图3-40（e）所示。图3-40复合回转体截交线的画法c)Q面截切大圆图3-40复合回转体截交线的画法求正垂面P截切产生的交线：P面是正垂面，与大圆柱轴线倾斜，其侧面投影是圆，水平投影是椭圆（由表3-1可知）。而P面与Q面相交为直线，因此Q面的水面投影是一椭圆弧和一直线组成的线框，如图3-40（f）所示。图3-40复合回转体截交线的画法求正垂面P截切产生图3-40复合回转体截交线的画法（3）判断存在域。水平面切到圆锥、圆柱和大圆柱，因此水平投影为一封闭的线框，三个线框之间没有线，如图3-40（g）所示。图3-40复合回转体截交线的画法（3）判断存在域。水图3-40复合回转体截交线的画法

水平面Q只切复合回转体的上方，下方未被切到，因此，俯视图有两条虚线（圆锥与圆柱的分界线、圆柱与大圆柱的分界线），如图3-40（h）所示。图3-40复合回转体截交线的画法水平面Q只切复合回第五节两回转体表面的相交第五节两回转体表面的相交一、相贯线

两立体相交称为相贯，相交两立体表面的交线称为相贯线，如图3-41所示。两立体相贯分为：两平面立体相交、平面立体和回转体相交和回转体与回转体相交三种情况。求平面立体与平面立体、平面立体与回转体相贯线的问题，本质上是求一个平面立体的表面（平面）与另一个平面立体或回转体的截交线问题，可以用前面求截交线的方法解决，在此不再重复。

本节主要解决两回转体相交时相贯线的求法。两回转体相交，相贯线的形状与回转体的形状、大小及回转轴线的相对位置有关。图3-41相贯线的概念一、相贯线两立体相交称为相贯，相交两立体表面的交线

（3）相贯线是两回转体表面的分界线。

（1）共有性：相贯线是两回转体表面的共有线，是两回转体表面共有点的集合；

（2）封闭性：相贯线一般为封闭的空间曲线线框，特殊情况可能不封闭，也可能是的平面曲线线框（等径相贯）、直线和曲线组成的平面线框；相贯线的性质：（3）相贯线是两回转体表面的分界线。（1）共有性

二、相贯线的求法两圆柱正交的相贯线是圆柱柱面上的线，而柱面积聚成圆周，因此有圆周的视图就有相贯线，所以，求相贯线一般就是求相贯线在非圆视图的投影。1.圆柱与圆柱的相贯相贯线是两回转体表面的共有线，求相贯线的投影实质就是求两回转体表面一系列共有点的投影。两圆柱正交的相贯线是圆柱柱面上的线，而柱面积聚成圆周，因此有圆周的视图就有相贯线，所以，求相贯线一般就是求相贯线在非圆视图的投影。二、相贯线的求法两圆柱正交的相贯线是圆柱柱面上的线求相贯线的步骤：（1）画出两圆柱的三面投影，分析两圆柱轴线的相对位置、直径大小和相贯线的形状；（2）分析相贯线的特殊点和一般点，找点时，充分利用积聚性，并判断其可见性；（3）光滑连接各点。求相贯线的步骤：【例3-8】如图3-42（a）所示，两圆柱轴线垂直相交，补全主视图上相贯线的投影。图3-42轴线垂直相交相贯线的画法（1）求特殊点。如图3-42a所示，点Ⅰ、Ⅱ是最左、最右点，同时也是最高点；点Ⅲ、Ⅳ为最前、最后点，也是最低点。由1、2直接找到1’、2’和1’’（2’’）；3、4同理，如图3-42（b）。【例3-8】如图3-42（a）所示，两圆柱轴线垂直图3-42轴线垂直相交相贯线的画法（2）求一般点。如图3-42c所示，由点5、6、7、8（四点最好左右对称，有助于提高绘图效率）直接找到5’’（6’’）、7’’（8’’），再找5’（7’）、6’（8’）。（3）光滑连接各点。相贯线前后对称，后半部分与前半部分重叠，图3-42（d）。图3-42轴线垂直相交相贯线的画法（2）求一般点。如图3

当两垂直相交圆柱的直径相差较大，并对相贯线形状的准确度要求不高时，允许采用简化画法，即用圆弧代替非圆视图相贯线的投影。作图过程：在非圆视图上，以转向轮廓线的交点为圆心，大圆柱（孔）的半径为半径，交小圆柱（孔）轴线外侧于一点，如图3-43（a），再以此点为圆心画弧，如图3-43（b）图3-43两圆柱垂直相交不等径相贯线的简化画法

当两垂直相交圆柱的直径相差较大，并对相贯线形状

图3-44两圆柱轴线垂直相交相贯线的形成两圆柱的相贯线通常有三种形式，即回转体外表面相交，如图3-44（a）、

一外表面与一内表面相交，如图3-44（b）、和两内表面相交，如图3-44（c）。不论哪种形式，相贯线的分析和作图方法是一样