厦门市高二年质检数学理科阅卷分析

厦门市2011—2012学年(下)高二年质检数学理科阅卷分析第11题题组长湖滨中学李明本题考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、古典概型及其概率和运算求解能力，考查了解独立性检验(x列联表)的基本思想、方法及其简单应用.满分分.试卷解答情况本题平均分 分，基本达到命题目的。2因.本题比较基础，大部分学生的解题思路和答案提供的思路一致，没有发现比参考答案更好的解题方法。3学本生书写存在的主要问题：“6个没有”--没-有相关的文字说明--没-有过程展示--没-有约分--没-有化为小数--没-有保留3位小数--没-有比大小。少数学生对列联表的概念和本质理解不清。复习建议：加强审题，读题训练。加强答题的规范性训练，书写应规范、严谨，注意得分点和采分点，力求答题完整、流畅、避免出现不必要的失误，要让学生清楚解题过程中哪些内容需要写出来。概率题的解题书写格式，包括“设”，“答”等，教学中应加强。第13题：题组长：灌口中学 吴清平一、本题的考查情况分析：本题来源于数学选修2-2第84页(2.1合情推理与演绎推理)习题2.1A组第3题：对于任意正整数n,猜想2n€1与(n+1)2的大小关系。以正方形数及杨辉三角为背景，考查利用合情推理与归纳假设得出结论的思想方法及能力，考查杨辉三角的基本性质，考查等比数列的求和计算，考查用数学归纳法等其他直接证明的方法推理论证简单折数学命题的能力，满分12分。二、优秀解法介绍和点评：除参考答案给出的两种解法之外，学生还有如下的解法：法3(导数)：当2€n€4时，已证；下面证明：当n>5时，a,T,即证n2,2n一1,即证2n一n2-1„0,nn设f(x)…2x一x2一1(x>5),贝卩f'(x)…2xln2—x,又设g(x)…2xln2—x,则g'(x)…2乂ln2)2—,当x>5时,因为4„en2>、：enln2„2,且g©)为单调递增函数，所以g'(x)>g(5)…32(ln2)2-32x丄2-6…0„,4函数g(x)在［5,+8)上递增，故g(x)>g(5)…32ln2一10„32x-一10…6„0，2所以f'(x)„0当x<［5,+8)时恒成立，所以函数f(x)在［5,+8)上递增，所以f(x)>f(5)=32-25-…6„0，当n>5且n<N*时，f(n)„0即2n„n2+1成立。点评：本解法比较繁杂，也不见精彩，但却是通性通法，利用导数的性质证明不等式是导数的重点内容，因此在学生的答卷中更多地看到这种解法。法4:由(1)知，T…1+2+22 +2n-1，a,T，n 5 5又a…n2…1+3+5++(2n-1)；•故先证：当n>5时，2n-1„2n-1，n进一步，当n>5时，》一2„2；且1+2+4+8„2+2+2+2+2=10；所以当n>5时，1+2+22++2n-2„2+2++2…2n；所以当n€5时，T,25,,2n-1>a,11,13,,(2n-1),艮卩2n-1>n2成立。55点评：虽然很少的考生能利用上述的方法来求解,••但该解法却很有教学价值：(1)图形已经暗示了该解法：比较前n项，可以转化为比较通项公式(用了两次)；(2)与导数的解法比较，求导不就是“降次”吗？！因此，知识的联系于此体现得淋漓尽致。法5:在数学归纳法的第二步：证明2k>2k,1时用导数，把两种方法结合起来。三、典型错误分析和点评：1、不会：(零分率为12.4%)学生对题意的理解仍有较大的障碍，空白卷为数不少，而且也有把a的通项写错,n证明简单的基础仍有问题。2、杨辉三角不熟练，看不出Co+C1++CnJ„2n4(基础知识有缺漏)。n-1n一1 n-13、 直接把第n行的和当成前n行所有项的和，即T„2n-1(这部分的考生只能得n2分，计为46.2%)，说明考生在理解题意上有较大的缺陷。4、 没有化简或化简错误(1)T„T+2n-i,(2)直接给出T„1+2+22+ +2n-1,nn-1 n把等比数列求和当作等差数列求和：T„n(1+2"7(这方面的学生为数不少)。n25、 用数学归纳法证明a及T的通项(多此一举)。nn1、只算出a>T,a>T,便下结论a>T(居然也能证明成立！无视常2 2 3 3 nn识性的知识：指数爆炸。)2、 忽略数学归纳法第二步的证明，直接给出2k+i-1>(k+1)2。3、 数学归纳法证明过程不严谨：(1)忽略了第一步，直接假设；(2)没有写综合①②可得。4、 利U用导数法，直接对f(n)„2n-n2-1求导，这是不严密的(必须先化归为连续的变量。)5、 直接给出f(5)=321n240弱,没有加以证明(也许没有想到ln2>2)。6、 计算永远是解答的大问题，包括求导出错等。四、补救措施和后阶段复习建议：、加强审题，读题训练：本题在“前n项所有数之和”加了着重号，学生仍然忽视该核心提示，审题、理解题意的能力令人担忧。2、立足双基，建立完善的知识网络结构：在高三复习工作中，首先要抓好课本，过好基础关，并在此基础上，加强各知识块间的纵横联系，小步快跑；然后抓主干知识，理清框架，构建知识网络，持之以恒在基础知识的理解、应用和综合上下功夫，让落实基础有系统性、计划性、阶段性和实效性，这样学生的能力肯定会得到飞跃。3、加强答题的规范性训练，要让学生清楚解题过程中哪些内容需要写出来，哪些内容不需要写出来。4、重视推理与证明这方面的教学，加强对数学知识过程性的考查必将成为高考考查的热点和趋向，本题的得分却相当低(其实若认真思考，本题真的很难吗？或者是我们平时注重对主干知识的训练，忽视了这方面的教学。)第14题题组长厦门六中赖志峰一、典型错误Q错解一：没理解获利的含义s=收入-成本错写成s=(x2-40x+1600)-20x错解二：先算y=x2-40x+1600在x„[30,50]最值当x二30时，y二1300，将x二30代入，得2x二600min得1300-600=700，错因将两个函数y=x2-40x+1600和y=2x最小值相减未必12得到最小值错解三：s=-x2+60x-1600,x„[30,50]直接将端点代入得出最值。没说明在这一区间的单调性。x3+64025 没有考虑到平均而直接处理x2-40x+1600错解二：求P(x)=—=<x25x'+640,x$[10,30) 在错解二：求P(x)=—=<xx2-40x+1600,xe[30,50]值点，没说明单调性，在［30,50］内应用均值不等式没有说明取等条件。、优秀解法：对第二小题中Xe［10,30）时，求P（x）=25x法二：丄x2+640二1x2+型+320n3,'3201二4825x25xxV251 320当且仅当一x2= 即x3=8000即x=20e[10,30)取得最小值25x三、建议：本次试卷阅读量较大，而学生对应用题或文字较多的题目感到比较困难。虽然需要加强但不必过多过于集中。填空题（第15-20题）：仅尽分析典型错误及个人预测。第15题：（1）概念不清：直接给出-2+i，或者Ii-21作为答案；（2）公式记错:IzI二a2+b2，从而给出答案为5；（3）计算出错（或者也是公式出错）：答案为75。第16题：主要是计算出错（没有过程，应该也有公式的问题）。第17题：（1）没有考虑定义域，出现（-8,-1）或（-1,0）的错误答案；也有把定义域记错，认为x>0。（2）没有写成区间形式，直接给出集合：｛x卩<x<1｝，审题不认真。第18题：应该也是计算及理解的问题，得分率很低。第19题：很多给出一,应该是计算问题，而且大都是用死算出来，本题有进一2步分析的价值，可以了解学生的具体作答过程。第20题：类似于选择题，猜的因素会更多。总体感想：填空题的平均得分为9.56，比预料的要低很多，可能有位置调整的原因（本来在选择题之后，现在都到B卷去了），也有学生对B卷的误解等原因，但学生对填空题的作答一直不理想是不争的事实，高考对填空题的考查力度会不会加大？如何提高学生填空题的解答能力？这些都应引起我们深入的思考。第21题：（1）本题的考查情况分析本题考查概率统计等基础知识，理解取有限个值的离散型随机变量的均值与方差的概念及其计算，本题同时还考查了数据处理能力、推理论证、运算理解能力，解决实际问题能力。从结果来看，不少考生在题意理解、数据处理、运算等方面存在不少问题，造成失分，也影响了全市平均分，最终本题的均分为：2.91分。（2）优秀解法介绍和点评本题的解法并不多，甚至没有。（I）问中，不同考生取不同的投资资金进行计算，但还称不上是不同解法；（II）问中，由于比较二者盈利的概率在本题中并不太适合，所以评卷组不认为是一种解法；（II）问中，有考生使用D（X）二E（X2）€（e（X））2（3）典型错误分析和点评（I）问中，将“成本+收益"当作“收益”计算；（I）问中，没能利用分布列的性质得到a值；（III）问中，利用公式D（aX,b）二a2D（X）计算，考生较陌生，甚至从来没算过；

④计算错误，这是本题的主要错误。4）补救措施和后阶段复习建议试卷上的”补救”:老师们主要提出了以下几个方案：A.减少文字内容，即减少阅读量B直接以表格的形式给出分布列C.数据再小一点，或者用（百万）做单位能力上的”补救”:提升应用题理解能力，加强数据处理能力、运算能力的训练。后阶段复习建议：加强概率、离散型分布列的概念教学；注意数据的含义、数据处理的适当训练；均值、方差的计算、性质不可忽视。第22题质量分析厦门一中肖文辉（1）本题的考查情况分析本题是整卷的压轴题.题目以能力立意命题，着重对综合应用能力的考查，题目每问都由最常见的问题处入手，简洁清晰的题干，逐级提升，较多人解答，但满分极少，有较好的能力区分度．主要考查函数导数的几何意义，考查利用函数与导数等基础知识，运算求解能力、推理论证能力，创新意识.考查函数与方程、分类与整合、化归与转化、以及数形结合等思想方法．本题满分14分．（本题有一定计算量和难度，满分卷极少），全市平均分为3.0分6；方差为2.4从1考.试结果看，学生掌握的还很不好（预设全市均分能达到4分），尤其是第一问基础题还有待加强.2）优秀解法介绍和点评本小问主要涉及三类数学方法与思想（1）构造函数法；（2）分离变量法；（3）数形结合法（且都有相关联，一题多解，认真讲评，一举多得，可以在讲评过后，让学生再解，增强此类重点题型的解题能力与灵活应用能力，下图为解法中的辅助图）以下给出简要思路和方法）：另解法1：分离变量得a€旦（1<x<ea），构造函数h（x）=旦（1<x<e«），lnx lnx转化为直线y€a与y€h（x）在［1,ea］上的交点的个数问题.x1<x<yfe4e<x<eah'(x)最小值(lnx)2...h'(x)二x(2lnx-D,令...h'(x)€0,则x=<7,h((lnx)2又:a„2又:a„2e,所以<x2有两个交点（如图所示）y€ lnx另解法：分离变量得丄=叵(1,x,ea)，构造h(x)=旦(1,x,ea)以下同上法ax2 x2另解法：分离变量得-=虹(1，x，ea)，构造函数h(x)=虹(1，x，ea)，ax xx观察比较证明它与过原点的直线y= 在［1,ea］上的交点的个数a另解法：视为两函数y=alnx与y=x2在［i,ea］上的交点的个数问题以上各种解法均应交代清楚单调性、比较大小等iii本题实质上是有公共顶点的害线的斜率的比较问题目的在于培养学生观察、猜想、比较、证明的能力尤其是严谨的数学证明的思想与方法.另解法:若要证明f(%)一f(%J〉f(“)一f(%2)，ii ——+1+lnt—lnx构造函数h(x)= x(x„t)，则h(x)=-^~t—x (t—x)2设H(x)=—-+1+int—lnx,H'(x)=二，易知x<t时，H'(x)>0；x<t时，h'(x)>0x x2H(x)<H(t)=0，:.h'(x)<0，即h(x)单减，x<x，/.f(x)一f(x丿>f(x)一f(x-)12另解法2(构造函数中介法)：即证lnx一即证lnx一inx 1，再证lnx—lnx1士< 另解法( 中值定理)：【要证明定理才给满分】f(x)=lnx,f'(x)=-，因此f(x)为(0,+8)上的增函数x・♦^TC1气［卜'xr卢Ox2x设平行于(x,f(x)),(x,f(x))两点构成的直线与f(x)11切于点(x,f(x))...f(x)-f(x1)=丄TOC\o"1-5"\h\z0 0 x-x x10同理有平行于(x,f(x)),(x ,f(x))两点构成的直线与f(x)221，—>——，mxx0 m切于点(x,f(x)).f(x)一f(x1，—>——，mxx0 m1m即f(x)一f(x)>f(x)一f(x)，得证。1~> 2-x—x x—x12(3)典型错误分析和点评第一小题的典型错误及分析：①两个最基础的初等函数的求导错误(已很简单);不理解f（X）,g（x）在（1,0）处有相同的切线的含义，导致无法正确列式；列式列对的，又有连最简单的方程组计算也会错（姑且理解成考到这里，已晕头转向）,注意强调与重视计算是最重要的得分手段.强化这方面的能力训练。第二小题的典型错误及分析：①不懂把alnx€X2二0的解的个数问题转化为函数的零点的个数问题,反映了学生化归与转化能力较弱，本题是一种很重要的高频题型，蕴含着多种解法与思路，应充分重视；②构造函数后单调性没说明（不少在此被扣分），尤其是一些好生，仅凭作出函数的草图求解，这是不严密和不规范；③函数值与零的大小比较（走江湖的不少），又是方法会了但计算能力有问题（当然本题计算不简单）。第三小题的典型错误及分析：①看不出是割线的斜率的比较k=f（x）~f（xi）,k=f（x）~f（x2）;②不会AB x€x BC x€x12通过做草图加以观察，注意培养学生的观察分析能力，因本题的结构特殊和数形结合，很容易得此2分。③部分同学用数形结合（图象的凹凸性），或直接使用拉格朗日中值定理（未加证明只得2-3分），逻辑推理证明不严密；④严格论证本题较难。（4）补救措施和后阶段复习建议重视定义、公式的理解与记忆，充分重视基础知识的再现巩固与扎实落实问题，如：此次切线所暴露的问题。这无论是何类学校均应高度重视的问题，并注意数学概念的内涵与外延，概念间的区别与联系等。注意数学基本方法的教学，在平时的教学和复习中，重视对常规与传统题型知识的归类和解决方法的归纳训练。如：切线、单调性、极值最值问题、含参数不等式恒成立及有解存