《近世代数》课程教学大纲

PAGE1PAGE6近世代数基础BasicAbstractAlgebra【课程编号】BJ25120【课程类别】专业必修课【学分数】4【适用专业】数学与应用数学【学时数】60【适用专业】数学与应用数学（本科）【先修课程】数学分析，高等代数，复变函数一、教学目的、任务近世代数是现代数学的一个重要分支，是研究各种代数结构（系统）的一门科学，是高等院校数学专业学生的专业必修课。近世代数不仅在数学中占有及其重要的地位，而且在学科中也有广泛的应用，如理论物理、计算机学科等。其研究的方法和观点，对其他学科产生了越来越大的影响。通过本课程的学习，使学生对近世代数的最基本的知识有较全面了解，初步掌握其理论和方法，以便能更深入地理解过去所学习的相关代数的知识，并为进一步学习提高打下基础。二、课程教学的基本要求群、环、域、模是本课程的基本内容，要求学生熟练掌握群、环、域的基本理论和方法，并对模的概念有所理解。三、教学内容和学时分配（一）第一章基本概念4学时主要内容：1、集合：子集与真子集，并集、交集。2、映射：映射的定义，以及象与逆象的概念。3、代数运算：代数运算的定义及表示法，二元运算的概念。4、结合律：结合律的定义。5、交换律：交换律的定义。6、分配律：分配律的定义。7、一一映射：满射、单射、一一映射；变换、单射变换、满射变换及一一变换。8、同态：同态映射、同态满射。9、同构、自同构：同构映射、自同构。10、等价关系与集合：关系、等价关系，分类、全体代表团、剩余类。重点：一一映射、同态、同构、自同构、分类。难点：建立映射关系与同构关系，等价关系与分类之间的相互转换。教学要求：1、理解集合的概念，了解元素与集合之间的关系，以及集合之间的运算。2、理解映射的概念，能在集合之间建立映射关系，并能判断两个映射是否相同。3、掌握代数运算与映射的关系，能建立有限集合之间的运算表。4、掌握将结合律、交换律、第一、第二分配律推广到n元的定理，并能判断给定的运算能否满足结合律、交换律以及两种分配律。5、掌握一一映射的定义，并能建立两个集合之间的满射、单射、一一映射，能判定给定的映射是否是一一映射。6、掌握同态映射的概念，理解同态与同态满射的关系，并能判定映射是否是同态满射，掌握具有同态满射的集合之间的联系。7、掌握同构映射和自同构的概念，能区分同态与同构的差别，理解两个具有同构关系的集合之间的关系，并能判定给定的映射和运算是否是同构关系，能建立两个集合之间的同构映射。8、理解关系和等价关系的概念，掌握等价关系和分类之间的转换定理，熟练判定给定的关系是否是等价关系，并熟悉剩余类的基本特性，以便为群、环提供典型的范例，能建立整数间给定的模的剩余类。其它教学环节：习题课1个课时，课后练习题的讲解。（二）第二章群论16学时（课堂讲授学时+课程实验学时）主要内容：1、群的定义：群的第一定义、群的第二定义，左、右单位元，左、右逆元，群的阶，有限群和交换群的定义。2、单位元、逆元、消去律：单位元的存在性和唯一性，逆元的概念，元的阶，消去律。3、有限群的另一定义：有限群的另一定义。4、群的同态：和一个群同态的非空集合也是一个群。在同态满射下，单位元的象也是单位元，元a的逆元的象是a的象的逆。5、变换群：恒等变换，集合的若干个变换（包含恒等变换）构成的集合作成群，变换群的定义与基本定理。6、置换群：置换、置换群，对称群，k-循环置换，循环置换的乘积，有限群与置换群的关系。7、循环群：循环群、生成元，整数加群，剩余类加群，生成元的阶。8、子群：子群的定义，子集成群的充分必要条件，有限子集成群的充分必要条件，S生成的子群。9、子群的陪集：右陪集、左陪集，左、右陪集个数的关系，指数，Lagrange定理，有限群中群的阶和元的阶的关系。10、不变子群、商群：不变子群、商群。重点：群的定义、变换群及其基本定理，置换群、子群。难点：变换群、子群的陪集、商群。教学要求：1、了解群的第一、第二定义，并掌握两者之间的等价转换，理解左、右单位元，左、右逆元的意义，掌握有限群、无限群、群的阶和交换群的概念。2、充分掌握单位元、逆元的存在性和唯一性，了解消去律的定义，能熟练掌握群与阶的关系，会计算群元素的周期。3、了解有限群的定义，并理解该定义不适用无限群的原因。4、理解群同构、同态的定义，掌握和一个群同态的集合也成群的证明，掌握群同态的有关性质，并能证明在同态满射下，单位元的象也是单位元，元a的逆元的象是a的象的逆。5、掌握循环群的定义和由生成元决定循环群的性质与特点，熟练掌握剩余类加群，并能证明任一循环群可以与整数加群或模为n的剩余类加群同构，以及与循环群同态的群的性质。6、熟练掌握变换的符号的运用和变换的乘法，能证明可以成群的变换只包含一一变换，且单位元一定是恒等变换。了解变换群的定义和性质。掌握任何一个群都同一个变换群同构的定理的证明。掌握元素求逆等运算。7、理解置换与置换群的定义与性质，掌握每一个n元置换都可以写成若干个互相没有共同数字的（不相连）的循环置换的乘积的证明与运用。理解有限群与置换群的同构关系。8、了解子群的定义，掌握群的子集成群的充分而且必要的条件与判定定理，并能掌握找出已知群的子群的一般方法，了解群与子群中的单位元与逆元的关系，以及子群与子群之间的关系。9、掌握陪集的定义，以及与等价关系和分类之间的关系，了解子群与陪集之间的映射关系，并能证明有限群的阶能被元的阶整除的定理，以及阶为素数的群一定为循环群的证明。10、了解不变子群的定义，能掌握一个群的子群是不变子群的充分必要条件的定理，理解商群的定义，了解的意义及其应用。11、能证明一个群同它的每一个商群同态的定理，了解核的定义，掌握两个具有同态关系的群之间子群或不变子群的象的性质。并能将子群或不变子群的性质运用到循环群、变换群等中。其它教学环节：习题课2个课时，课后练习题的讲解。（三）第三章环与域15学时（课堂讲授学时+课程实验学时）主要内容：1、加群、环的定义：加群、负元、零元，环。2、交换律、2、单位元、零因子、整环：交换律、交换环，单位元、逆元、零因子、模n的剩余类环、整环。3、除环、域：除环、域，除环的乘群，四元数除环。4、无零因子环的特征：没有零因子的环的性质，特征的定义，整环、除环以及环的特征的性质。5、子环、环的同态：子环、子除环，子整环、子域，同态环或子环的性质，同构环的性质。6、多项式环：多项式、系数，多项式环，未定元，次数，多项式的系数、无关未定元。7、理想：理想子环（理想），零理想，单位理想，主理想。8、剩余类环、同态与理想：模ц的剩余类环，剩余类环，在环到环的同态映射下的性质。9、最大理想：最大理想。10、商域：商域，商域适合的计算规则。重点：环、域，理想。难点：环的同态，最大理想，商域。教学要求：1、掌握加群的定义，熟悉环的定义，环中的计算规则。2、理解交换环的定义，熟悉单位元、逆元和零因子的性质并能熟练运用。掌握消去律与零因子的关系。3、了解除环的定义，与能举出域的例子，除环与加群、乘群的关系，理顺环——交换环、有单位元环和无零因子环——整环、除环——域的关系。4、熟悉无零因子环中的计算规则，掌握无零因子环中特征的性质5、理解子环、子除环的定义，并能写出子整环、子域的概念，熟悉子除环的子集作成子除环的条件，了解同态、同构环之间的性质，并对环、除环的中心有一定的了解。6、了解多项式成环，熟悉多项式环中的未定元、次数以及系数、无关未定元的作用。7、理解理想子环的构成，以及零理想、单位理想和主理想的构成，能判断一个环是否是理想子环，和理想子环是否为主理想子环。8、理解一个环的所有模ц的剩余类作成的集合也是环，且与原来的环同态。了解在同态映射下的两个环相互之间的关系、性质。9、了解什么是最大理想，且和剩余类环的关联。10、掌握没有零因子的交换环一定是一个域的子环，了解商域的构成，并掌握同构的环的商域也同构的定理。其它教学环节：习题课2个课时，课后练习题的讲解。（四）第四章整环里的因子分解9学时（课堂讲授学时+课程实验学时）主要内容：1、素元、唯一分解：整除，单位、相伴元，平凡因子、真因子、素元，唯一分解。2、唯一分解环：唯一分解环，唯一分解环的性质，公因子、最大公因子，最大公因子的存在性。3、主理想环：主理想环，主理想和最大理想、分解环的关系。4、欧氏环：欧氏环的定义，欧氏环和主理想环的关系。5、多项式环的因子分解：本原多项式的定义及其引理。6、因子分解与多项式的根：多项式的根、重根、导数，重根的判别定理。重点：唯一分解，主理想环，多项式和多项式的根。难点：唯一分解环，主理想、最大理想，欧氏环。教学要求：1、了解整除，单位、相伴元和平凡因子、真因子、素元的概念，以及掌握整环中不等于零的元有真因子的充分而且必要的条件，掌握唯一分解的定义，了解整环中的元是否都有唯一分解。2、知道唯一分解环的定义和性质，以及公因子、最大公因子的概念和定理，了解互素的概念。理解判别唯一分解环的方法。3、理解主理想环的概念和引理，能证明主理想环是唯一分解环。4、了解欧氏环的定义，理解欧氏环、整数环都是主理想环与唯一分解环的证明，并能证明域一定是一个欧氏环。5、知道本原多项式的定义，理解本原多项式的性质，和本原多项式的唯一分解性，并对分解环有进一步的认识。6、了解多项式的根和性质，掌握重根和导数的定理和推论。其它教学环节：习题课2个课时，课后练习题的讲解。（五）第五章扩域8学时（课堂讲授学时+课程实验学时）主要内容：1、扩域、素域:扩域，素域，扩域的结构，添加有限元所得的子域，单扩张。2、单扩域：代数元，超越元，单代数扩域，单超越扩域，单扩域的结构，极小多项式、次数。3、代数扩域：代数扩域，扩域在域上的次数，有限扩域，无限扩域。4、多项式的分裂域：代数闭域，多项式在域上的分裂域的定义、性质、存在性和唯一性定理。5、有限域：有限域定义、性质、存在，有限域与素域的关系。重点：扩域，素域，多项式的分裂域，有限域。难点：扩域，素域，多项式的分裂域，有限域。教学要求：1、了解扩域的概念和研究域的方法，掌握素域的概念及同构定理，讨论添加有限元所得的子域，单扩张的定义。2、知道代数元、超越元、单代数扩域和单超越扩域的定义和结构，以及极小多项式、次数的概念。3、理解代数扩域的概念，扩域在域上的次数、有限扩域、无限扩域的定义和定理。4、了解代数闭域和多项式的分裂域的定义，理解多项式的分裂域的性质、存在唯一性定理及其证明，并能证明多项式的分裂域都同构。5、知道有限域的定义，理解有限域的性质，和有限域的存在定理，并对一个有限域一定是他所含素域的一个扩张有进一步的认识。其它教学环节：习题课1个课时，课后练习题的讲解。四、教学重点、难点及教学方法重点：群、正规子群、环、理想、同态基本原理。难点：商群、商环。教学方法：课堂讲授