第2章-第3节-随机变量的数字特征教学课件

前面讨论了随机变量的概率分布，它完整地描述了随机变量的概率性质，而数字特征则是由概率分布所决定的常数，它刻划了随机变量的某一方面的性质.在许多实际问题中,分布往往不易求得或不需求得，而只需了解某些数字特征，而数字特征常常容易通过数理统计的方法得到.在这些数字特征中，最常用的是数学期望和方差1一、数学期望的概念MathematicalExpectation2有甲、乙两射手，他们的射击技术如下表：1.离散型随机变量的数学期望

例1甲：击中环数

891030%10%60%频率

乙：击中环数

891020%50%30%频率

问哪一个射手水平较高？解假定各射N枪，则平均每枪所得环数约为甲：3问哪一个射手水平较高？解假定各射N枪，则平均每枪所得环数约为甲：乙：可见甲的水平高些.甲：击中环数

891030%10%60%频率

乙：击中环数

891020%50%30%频率

4定义设离散型随机变量X的概率分布为

若级数

绝对收敛，则称之为X的数学期望，记为E(X)，即50-1分布例2设随机变量X

服从参数为

p的

0-1分布,求EX.6例3面额为1元的彩票共发行1万张，其中可得奖金1000元、20元、5元的彩票分别有2张、50张和500张.若某人购买1张彩票，则他获奖金额

X的数学期望E(X)为多少？解10002050.0002XP

00.0050.050.9448则7首先要对未来市场作出适当估计.假定企业领导人认为未来市场萧条较之市场繁荣是2对1之比，即市场萧条和繁荣的概率分别为2/3和1/3,因此,如果立即扩展，则利润的期望值是例4假定有一个商业企业面临着是否扩大经营问题，根据现有资料估计，如果未来的市场繁荣而现在就进行扩展经营，则一年内可以获利328(万元)；如果未来市场萧条，则将损失80(万元).如果这个企业等待下一年再扩展，在市场繁荣的情况下，将获利160(万元),而在市场萧条的情况下，则仅能获利16(万元).现在的问题是，这个企业的领导人将怎样作出决策？数学期望在经济管理中经常用到，特别是在决策问题中.

解8市场萧条和繁荣的概率分别为2/3和1/3,如果立即扩展，则利润的期望值是如果他决定下一年再扩展，则利润的期望值为按此计算结果，自然应当以采取推迟扩展的决策为有利.如果领导人对未来市场的估计不是2:1，而是3:2，那么，他立即扩展所期望的利润为9如果领导人对未来市场的估计不是2:1，而是3:2，那么，他立即扩展所期望的利润为而推迟扩展所期望的利润为按此计算结果，则立即扩展较为有利.10例5(一种验血新技术)在一个人数很多的单位中普查某种疾病,N个人去验血,有两种方法:(1)每个人的血分别化验,共需N次;(2)把k个人的血样混在一起化验,如果结果是阴性,那么一次就够了；如果呈阳性,那么对这k个人的血样再逐次化验,共需k+1次.假定对所有人来说,呈阳性的概率为p,且相互独立,下面说明当p较小时,方法(2)能减少化验的次数.解用方法(2)验血时,每个人需化验的次数X的概率分布为

11用方法(2)验血时,每个人需化验的次数X的概率分布为

因此，N个人需化验的次数的数学期望为

例如，122.连续型随机变量的数学期望定义设连续型随机变量X的概率密度为f(x),如果积分

绝对收敛，则称之为X的数学期望，记为E(X)，即13例6设随机变量X

服从区间[a,b]上的均匀分布,求EX.解X的概率密度为区间中点14解例7设随机变量

X的概率密度函数为求

X的数学期望.15解例8某种电子元器件的使用寿命

X是个随机变量，其概率密度为

若规定使用寿命在500小时以下为废品，产值为0；在500到1000小时之间为次品，产值为10元；在1000到1500小时之间为二等品，产值为30元；1500小时以上者为一等品，产值为40元，求该种产品的平均产值.

设该种产品的产值为

Y元，

16所以17解例9设随机变量

X的概率密度函数为由规范性，

而18二、数学期望的简单性质1.E(C)=C，其中C是常数;

2.E(aX)=aE(X);3.E(X+b)=E(X)+b;4.E(aX+b)=aE(X)+b.其中a与b是常数.证略.19随机变量的函数的数学期望(1)若X是离散型随机变量，且X的概率分布为

(2)若X是连续型随机变量，且其概率密度为

f(x)，

则则证略.20解X-2-100.1P

10.20.30.4例10设随机变量X的概率分布如下：或利用性质：21解例11设随机变量X的概率密度为拉普拉斯分布

22例12设随机变量X

服从区间[a,b]上的均匀分布，求E(X2)及E(X-EX)2.解X的概率密度为23解例13游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行．假设有一游客在早上8点的第X分钟到达底层等候电梯，且X在[0,60]上均匀分布，求该游客等候时间的数学期望．以Y表示游客的等候时间，则故24三、方差(Variance)随机变量

X的数学期望，描述了随机变量

X取值的集中趋势或平均水平，但是仅仅知道

X的数学期望有时还不能完全刻划随机变量X的统计特征.比如，某厂生产一批元件，平均使用寿命E(X)=1000小时，仅由此我们还很难了解这批元件质量的好坏，因为有可能有一半的元件质量很高，寿命在1500小时以上，而另一半质量却很差，寿命不足500小时，从而反映出质量不稳定.可见应进一步考察元件寿命

X对期望E(X)的偏离程度.下面介绍的方差就是用来描述随机变量的可能取值与其期望之间的差异程度的数量特征.

25如果随机变量

X的数学期望存在，称X-E(X)为随机变量X的离差.

定义即均方差根方差26计算公式：27方差的简单性质：1.D(C)=

0，其中C是常数.2.若c是常数,则3.证其中C是常数.证281.若X是离散型随机变量，其概率分布为

则方差的具体计算公式：2.若X为连续型随机变量，其概率密度为f(x)，则先计算EX

2：29例14设

X表示机床A一天生产的产品废品数，Y表示机床B一天生产的产品废品数，它们的概率分布如下：

X0120.5P

30.30.10.1解Y0120.6P

30.10.20.1问：两机床哪台质量好？设两台机床的日产量相等.

均值相等,据此不能判断优劣,再求方差.30X0120.5P

30.30.10.1Y0120.6P

30.10.20.1均值相等,据此不能判断优劣,再求方差.由于D(X)<D(Y),因此机床A的波动较机床B的波动小,质量较稳定.31解例15设随机变量X的概率密度函数

求：EX,DX.320-1分布例16设随机变量X

服从参数为

p的

0-1分布,求DX.解33例17设随机变量

X

服从区间[a,b]上的均匀分布，求EX和DX.解X的概率密度为34*四、切比雪夫不等式随机变量的方差是刻画它围绕其期望值的离散程度的，因此我们希望用方差来估计随机变量与其期望值之间的偏差大于某一给定正数的概率的上界.

定理成立.35证设X是连续型随机变量，其概率密度为f(x),则

定理成立.36上式可改写为切比雪夫不等式具体地估算了随机变量X取值时，以数学期望E(X)为中心的分散程度.不难看出，方差D(X)越小，则随机变量X的取值越集中在数学期望E(X)的附近，由此可以进一步体会到方差的概率意义，它刻划了随机变量的分散程度.如取37