博弈论期末复习题

博弈论期末复习题1、支付矩阵给定以下博弈的支付矩阵：BAUDL1,34,1R2,56,2解：通过划线法，我们可以得到一个纯策略均衡（D，R）。为了确定是否存在混合策略均衡，我们假设B玩混合策略（γ，1-γ），则有以下均衡条件：VA(U)=1γ+2(1-γ)=2-γVA(D)=4γ+6(1-γ)=6-2γ由于2-γ=6-2γ，我们得到γ=4，这是不可能的。因此，只有一个纯策略均衡。2、支付矩阵对于以下博弈的支付矩阵：BAUDL5,64,1R2,56,2我们可以通过奇数定理来找到混合策略均衡。为了实现这一点，我们需要先找到两个纯策略均衡。在这种情况下，我们可以选择（U，L）和（D，R）。现在，我们需要找到一个混合策略均衡，假设B以（γ，1-γ）的概率玩混合策略，则有以下均衡条件：5γ+2(1-γ)=4γ+6(1-γ)2+3γ=6-2γ解出γ=4/5。同样，设A的混合策略为（θ，1-θ），则有以下均衡条件：6θ+(1-θ)=5θ+2(1-θ)1+5θ=2+3θ解出θ=1/2。因此，混合策略均衡为（D，L）和（U，R）。三、逆向归纳法对于以下不完美信息博弈：1212(5,8)(6,7)(2,0)(3,4)(1,2)(3,4)我们可以使用逆向归纳法来找到子博弈精炼均衡。首先，我们需要在第二个信息集上找到一个概率P，使得1会选择R'而不是L'。假设1认为2选择a的概率为P，则1选择L'的支付为5P+2(1-P)=2+3P，选择R'的支付为6P+3(1-P)=3+3P。因此，当P>0时，1会选择R'。因此，我们可以得到子博弈精炼均衡为{L，R'，（a，d）}。四、贝叶斯博弈对于两个厂商生产相同产品在市场上进行竞争性销售的贝叶斯博弈，其中第一个厂商的成本函数为c1=q1，第二个厂商的成本函数为c2=cq2，其中q2为第二个厂商的产量，c是第二个厂商的边际成本，且在[0,3]上呈均匀分布。两个厂商的固定成本都为零。市场需求函数为P=4-q1-q2，其中P为价格，两个厂商都以其产量为纯策略。问纯策略贝叶斯均衡为何？解：首先，我们需要找到第二个厂商的最优反应函数。对于给定的q1，第二个厂商的利润为：π2=Pq2-cq2=(4-q1-q2)q2-cq2对π2求导，我们得到：dπ2/dq2=4-2q1-2q2-c令dπ2/dq2=0，我们得到：q2=(4-2q1-c)/2因此，第二个厂商的最优反应函数为q2=(4-2q1-c)/2。现在，我们可以使用贝叶斯博弈的标准方法来找到纯策略均衡。假设第二个厂商的边际成本为c，则它会选择q2=(4-2q1-c)/2。因此，第一个厂商的利润为：π1=Pq1-c1=(4-q1-q2)q1-q1=(4-q1-(4-2q1-c)/2)q1-q1=(q1-c/2)q1对π1求导，我们得到：dπ1/dq1=2q1-c/2令dπ1/dq1=0，我们得到：q1=c/4因此，纯策略贝叶斯均衡为q1=c/4，q2=(4-c/2)/2。注意，这个均衡只在c≤2时存在。如果c>2，则不存在纯策略均衡。厂商1的问题是最大化其收益，由于不知道厂商2的成本c，所以目标函数为max∫(4-q1-q2(c)-1)q1dc，其中q2=q2(c)。可以将目标函数转化为max∫(3q1-q1q2-q1q2(c))dc，然后使用一阶条件求解q1。厂商2的问题是最大化其利润，即(P-c)q2，其中P为价格，q2为销量。将P=4-q1-q2-c代入可得2=(4-c)q2-q1q2-q2^2，然后使用一阶条件求解q2。在完全信息动态博弈中，我们可以使用策略式表达和扩展式表达来找到纳什均衡和子博弈精炼均衡。例如，在一个博弈中，存在三个纳什均衡，但这些均衡并不能帮助我们预测参与者的行为，因为纳什均衡假定每个参与者只考虑自己的最优反应，而不考虑其他参与者的选择。因此，我们需要更多的理论和方法来解决动态博弈中的合理策略选择问题。鹰-鸽(Hawk-Dove)博弈是由两只动物参与的争食博弈。它们的行动空间都是一样的，即可选择鹰或鸽。根据支付矩阵，此博弈有两个纯策略纳什均衡：(鹰，鸽)和(鸽，鹰)，以及一个混合策略纳什均衡：动物1和动物2各以50%的概率随机选择鹰或鸽。纯策略纳什均衡可以用划线法或箭头法求解，而混合策略纳什均衡则可根据无差异原则求解概率分布。此博弈实际上类似于斗鸡博弈，在现实生活中也有类似的现象，如市场进入、国家争夺领土等。狩猎博弈是由两个猎人参与的完全信息静态博弈，他们的行动是选择猎鹿或猎兔。根据支付矩阵，此博弈有两个纯策略纳什均衡：(鹿，鹿)和(兔，兔)。虽然存在多个纳什均衡，但是两个猎人都猎鹿是一个更好的纳什均衡。然而，在现实中，其他因素也会影响均衡的出现，如两个猎人之间的关系，他们的决策可能会受到这些因素的影响。不完全信息夫妻博弈是一种混合策略均衡的博弈，参与者是夫妻双方。在此博弈中，双方的信息不完全，他们需要根据对方的行动来做出自己的决策。由于信息不完全，此博弈没有纯策略纳什均衡，只有一个混合策略纳什均衡。在该均衡下，每个人都有一定的概率选择合作或背叛，具体的概率取决于双方的收益和策略。：不进入斗争0,0-10,30根据市场进入博弈的情况，企业A和B之间存在不确定性和信息不对称。当B的成本为高成本时，进入市场的收益高于不进入市场的收益，因此进入是唯一的精炼纳什均衡。当B的成本为低成本时，不进入市场的收益高于进入市场的收益，因此不进入是唯一的纳什均衡。但是，当A不知道B的成本情况时，他需要根据主观概率或先验概率密度来做出选择。如果A认为B的成本为高成本的概率为P，则A进入市场的期望支付为P乘以40加上（1-P）乘以-10，不进入市场的期望支付为300。当P大于等于3/7时，A不进入市场，否则进入市场。这就是贝叶斯均衡。2、拍卖博弈在拍卖博弈中，各个竞拍者的出价决策是基于对其他竞拍者出价的预期和对拍卖品价值的估计。以下是一个简单的拍卖博弈的例子。假设有两个竞拍者，他们的估价分别为v1和v2，拍卖品的真实价值为v。竞拍者的出价分别为b1和b2，出价高者将赢得拍卖品。如果两个出价相等，则拍卖品随机分配给两个竞拍者中的一个。竞拍者i的效用函数为ui=(v-bi)pi，其中pi是竞拍者i获胜的概率。在这种情况下，竞拍者i的最优出价为bi=vipi-1/2(v-vipi)，其中vip是竞拍者i的预期价值。在这个例子中，竞拍者的出价决策是基于对其他竞拍者出价的预期和对拍卖品价值的估计。每个竞拍者的最优出价取决于他们的预期价值和他们对其他竞拍者出价的预期。在最优出价下，每个竞拍者的效用函数都是最大化的。在古诺博弈中，每个厂商的成本函数是私人信息。假设两个企业生产相同产品在同一市场上进行竞争性销售，市场需求函数为Q=a-P，其中a>0，P为产品价格，Q为市场需求量。企业i的成本函数为Ci=biqi，其中Ci为企业i的总成本，qi为其产量，bi为其平均成本，bi为常数且bi>0，也是边际成本。bi是企业i的私人信息，企业j不知道bi但认为bi在[d,e]上呈均匀分布，d>0，e>0，d≤e，并且进一步假定bi在[d,e]呈均匀分布是共同知识，i≠j，i=j=1,2。企业i的支付函数是其利润函数πi=Pqi-ci=(a-Q)qi-biqi，因Q=q1+q2，故πi=(a-q1-q2)qi-biqi。设静态贝叶斯均衡为qi*，i=1,2，则由均衡战略的类型依存性有qi=qi(bi)，i=1,2。于是πi=(a-q1(b1)-q2(b2))qi*(bi)-biqi*(bi)。i的期望支付为ui=∫Pi(bj|bi)πi(bj)dbj，显然Pi(bj|bi)=Pi(bj)，由概率分布密度Pi(bj)的归一化条件∫Pi(b)dbj=1及bj在[d,e]上呈均匀分布假设，有Pi(bj)=1/(